1、第十章 排列、組合、 二項(xiàng)式定理和概率,相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),第 講,6,（第一課時(shí)）,1. 事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率_，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件. 2. 事件A、B是相互獨(dú)立事件，它們同時(shí)發(fā)生記作_.兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的_，即P(AB)=_.,AB,沒(méi)有影響,積,P(A)P(B),3. 一般地，如果事件A1，A2，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的_，即P(A1A2An)=_. 4. 如果在n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都_其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱(chēng)這n次試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). 5. 如

2、果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=_.,積,P(A1)P(A2)P(An),不依賴(lài)于,6. 一般地，對(duì)相互獨(dú)立事件A，B，有 (1)P(A+B)=_； (2)P(A+B)+P(AB)=_.,P(A)+P(B)-P(AB),1,1.將一枚硬幣連擲5次，如果出現(xiàn)k次正面的概率等于出現(xiàn)k+1次正面的概率，那么k的值為( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：由 ， 得 ，即k+(k+1)=5，所以k=2.,C,2.一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，甲解出它的概率為 ，乙解出它的概率為 ，丙解出它的概率為 ，由甲、乙、丙三人獨(dú)立解答此題只有一

3、人解出的概率為( ) A. 49 B. C. D. 59 解： .,B,3.一出租車(chē)司機(jī)從飯店到火車(chē)站途中有六個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是 .那么這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過(guò)了兩個(gè)交通崗的概率是 _. 解：因?yàn)檫@位司機(jī)在第一、二個(gè)交通崗未遇到紅燈，在第三個(gè)交通崗遇到紅燈， 所以 .,1. 甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知前2局中，甲、乙各勝1局.求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率.,題型1 求相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率,解：記“第i局甲獲勝”

4、為事件Ai(i=3,4)， “第j局乙獲勝”為事件Bj(j=3,4). 設(shè)“再賽2局結(jié)束這次比賽”為事件A， 則A=A3A4+B3B4， 由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立， 故P(A)=P(A3A4+B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4) =0.60.6+0.40.4=0.52. 所以再賽2局結(jié)束比賽的概率為0.52.,點(diǎn)評(píng)：相互獨(dú)立事件的概率求解，先將整個(gè)事件進(jìn)行劃分：即分成各個(gè)基本事件，這與計(jì)數(shù)中的分步計(jì)數(shù)原理類(lèi)似，劃分的標(biāo)準(zhǔn)是這些基本事件發(fā)生的概率相互之間是沒(méi)有影響的；然后求得各基本事件的概率之積，即為所求事件的概率.,在一天內(nèi)甲、乙、丙三臺(tái)設(shè)備

5、是否需要維護(hù)相互之間沒(méi)有影響，且甲、乙、丙在一天內(nèi)不需要維護(hù)的概率依次為0.9、0.8、0.85.則在一天內(nèi)三臺(tái)設(shè)備都需要維護(hù)的概率是多少？,解：設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)設(shè)備在一天內(nèi)不 需要維護(hù)的事件分別為A、B、C， 則P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85. 三臺(tái)設(shè)備都需要維護(hù)的概率 =(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003. 答：三臺(tái)設(shè)備都需要維護(hù)的概率為0.003.,2. 某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是13，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2 min.求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間至多是4 min的

6、概率. 解：設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間至多是4 min”為事件B，“這名學(xué)生在上學(xué)路上遇到k次紅燈”為事件Bk(k=0,1,2).,題型2 求獨(dú)立重復(fù)事件中事件A 恰好發(fā)生k次的概率,則由題意，得 ， , . 由于事件B等價(jià)于“這名學(xué)生在上學(xué)路 上至多遇到兩次紅燈”， 所以事件B的概率為 P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)= . 點(diǎn)評(píng)：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算直接按公式計(jì)算即可.,甲、乙兩名職業(yè)圍棋手進(jìn)行圍棋比賽，已知每賽一局甲獲勝的概率為0.6，問(wèn)比賽采用三局兩勝制還是五局三勝制對(duì)甲更有利？ 解：(1)當(dāng)采用三局兩勝制時(shí)， 設(shè)A1表示事件“甲凈勝第一、二局”， A2

7、表示事件“前兩局甲、乙各勝一局， 第三局甲獲勝”，則P(A1)=0.62=0.36， . 因?yàn)锳1、A2互斥，所以甲獲勝的概率為 P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.36+0.288=0.648.,(2)當(dāng)采用五局三勝制時(shí), 設(shè)B1表示事件“甲凈勝第一、二、三局”; B2表示事件“前三局甲勝兩局,第四局甲勝”; B3表示事件“前四局甲、乙各勝兩局, 第五局甲勝”,則 ， ， .,因?yàn)锽1、B2、B3互斥,所以甲獲勝的 概率為P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3) =0.216+0.259+0.207=0.682. 因?yàn)?.6820.648, 故采用五局三勝制對(duì)甲更

8、有利.,3. 在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐.已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是 . (1)求油罐被引爆的概率； (2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為，求不小于4的概率.,題型3 求“綜合事件”的概率,解：(1)解法1： . 解法2： . 即油罐被引爆的概率為 .,(2)當(dāng)=4時(shí)記為事件A，則 , 當(dāng)=5時(shí)，意味著前4次射擊只擊中一 次或一次也未擊中，記為事件B， 則 ， 所以所求概率為 . 即不小于4的概率為 .,點(diǎn)評(píng)： 綜合事件的概率求解，一般先按互斥事件進(jìn)行分類(lèi)，然后

9、考慮用等可能性事件、相互獨(dú)立事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件求解基本事件的概率.注意從正面求解較復(fù)雜時(shí)，從其對(duì)立面來(lái)解.,某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行,每部分考核成績(jī)只記“合格”與“不合格”,兩部分考核都是“合格”, 則該課程考核“合格”.若甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9, 0.8, 0.7; 在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為0.8, 0.7, 0.9, 所有考核是否合格相互之間沒(méi)有影響. (1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率； (2)求這三個(gè)人該課程考核都合格的概率(結(jié)果保留三位小數(shù)).,解：設(shè)“甲理論考核合格”為事件A1，“乙理論考核合格”為事件A2，“丙理論考核

10、合格”為事件A3， 為Ai的對(duì)立事件，i=1，2，3，設(shè)“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B1，“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B2，“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B3.,(1)設(shè)“理論考核中至少有兩人合格”為 事件C， 為C的對(duì)立事件， 所以，理論考核中至少有兩人合格的 概率為0.902.,(2)設(shè)“三個(gè)人該課程考核都合格”為事件D. P(D)=P(A1B1)(A2B2)(A3B3) =P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3) =P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3) =0.90.80.80.70.70.9=0.254. 所以，這三個(gè)人該課程考核都合格的 概率為0.254.,1. 如果事件A與B相互獨(dú)立，則事件A與 ， 與B， 與 也都相互獨(dú)立.相互獨(dú)立事件與互斥事件是兩個(gè)不同的概念.兩個(gè)相互獨(dú)立事件可以同時(shí)發(fā)生，其發(fā)生的概率相互沒(méi)有影響，而兩個(gè)互斥事件不能同時(shí)發(fā)生，其發(fā)生的概率相互有影響.任何兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，兩兩獨(dú)立的n個(gè)事件總起來(lái)不一定是獨(dú)立的.,2. 在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，即要么A發(fā)生，要么A不發(fā)生，二者必居其一.計(jì)算公式 就是二項(xiàng)式(1-p)+pn展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng). 3. 解題過(guò)程中，要明確事件中的“至少 有一個(gè)發(fā)生”“