1、第二章導(dǎo)熱動(dòng)方程、第一節(jié)導(dǎo)熱方程的導(dǎo)出和解定條件、一、導(dǎo)熱方程的導(dǎo)出：給出空間內(nèi)的物體，取其上點(diǎn)在時(shí)刻的溫度。 模型：?jiǎn)栴}：研究溫度的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 解析： (兩個(gè)物理定律)、1、熱守恒定律3360、2、傅里葉熱傳導(dǎo)定律：溫度變化吸收的熱、通過(guò)邊界流入的熱、熱源放出的熱是熱傳導(dǎo)系數(shù)。 物體內(nèi)光滑閉曲面包圍的區(qū)域，研究該區(qū)域內(nèi)物體的熱變化規(guī)律。 導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程式：熱守恒定律、區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的溫度由時(shí)刻溫度變?yōu)闀r(shí)刻溫度而吸收(或釋放)的熱量，必須等于從時(shí)刻到時(shí)刻之間通過(guò)曲面流入(或流出)的熱量與熱源提供(或吸收)的熱量之和。 即，內(nèi)溫度變化所需的熱量=從曲面流入內(nèi)的熱源供給的熱量，(1)分別校正內(nèi)溫度變化

2、所需的能量時(shí)，從包含點(diǎn)的體積微單元的溫度所需的熱量，通過(guò)將物體、比熱(單位質(zhì)量的物體溫度變化、所需的熱量)設(shè)為密度的(2)曲面進(jìn)入的熱量根據(jù)傅立葉熱傳導(dǎo)規(guī)律，在此期間進(jìn)入的熱量可以根據(jù)高斯方程式，(3)來(lái)自熱源的熱量代表熱源的強(qiáng)度，即每單位時(shí)間放出的熱量，在此期間來(lái)自熱源的熱量可以根據(jù)熱守恒規(guī)則獲得通常在(1.5)中進(jìn)行非齊次熱傳導(dǎo)、二、定解條件(初始條件和邊界條件)、初始條件：邊界條件：1、第一邊界條件、(Dirichlet邊界條件)，特別是：的情況下，物體表面保持恒溫。 2、第二邊界條件，(Neumann邊界條件)，特別是：的情況下，表示物體的絕熱。 3，第三邊界條件，(D-N混合邊界條件

3、):表示沿邊界上單位外法線方向的方向?qū)?shù)，注意：第三邊界條件的推導(dǎo)：研究物體和周?chē)橘|(zhì)在物體表面的熱交換問(wèn)題，將有溫度變化規(guī)律的物體放入空氣介質(zhì)中，已知與物體表面接觸，這表示第三邊界條件的提取法、導(dǎo)熱試驗(yàn)法則或牛頓法則、從物體流向介質(zhì)的熱量與兩者的溫度差成比例：比例常數(shù)稱為熱交換系數(shù)，在物體表面流動(dòng)的流量可以由物質(zhì)內(nèi)部(傅立葉法則)和外部介質(zhì)(牛頓法則)雙方?jīng)Q定：或得到(1.10 ) :例如， 三維熱傳導(dǎo)方程式初始值的問(wèn)題在定義2、區(qū)域中，由式(1.5)和初始、起始條件(1.7)和邊界條件(1.9)、(1.10 )、(1.11 )中的任一個(gè)構(gòu)成的例如三維熱傳導(dǎo)方程式的第一初始邊值的問(wèn)題為、2，

4、上述邊界條件形式與波動(dòng)方程式的邊界條件相同，但1、方程式(1.6)不僅可以描繪熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，還可以描繪分子、氣體的擴(kuò)散等，也稱為擴(kuò)散方程式，除了注、4、3維熱傳導(dǎo)方程式之外，在物理上，溫度的分布在同一界面上相同，可以得到1維熱傳導(dǎo)方程式：但是關(guān)于片材的熱傳導(dǎo)， 二維熱傳導(dǎo)方程：第二節(jié)初邊值問(wèn)題的分離變量法，考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題，不失一般性，考慮一次，(II )的解為：?jiǎn)栴}(I )的解形式為：其中，給出：齊次方程，考慮齊次邊界條件的混合問(wèn)題(I ) :問(wèn)題(I ) 齊次方程式、齊次邊界條件的混合問(wèn)題的解在有界函數(shù)的情況下，假設(shè)(2.14 )式所給出的形式解關(guān)系及都能夠任意連續(xù)地導(dǎo)出，并且

5、滿足式(2.1)和邊界條件(2.3)- (2. 4)，分離變量法的解題步驟：1，代入方程式和邊界條件， 確定滿足常微分方程式的特征值問(wèn)題和滿足方程式，2 .求解常微分方程式的特征值問(wèn)題，求出所有特征值和特征函數(shù)，求出相應(yīng)的表達(dá)式，3 .將所有變量分離形式的解重疊，用初始值確定所有保留常數(shù)，4 .證明形式解用真解求級(jí)數(shù)解的收斂性注意： 1、在使用變量分離法的情況下，邊界條件的一次化是重要的，構(gòu)筑輔助函數(shù)是重要的，對(duì)于2 .非齊次方程式，通常使用齊次化原理變換為齊次化方程式來(lái)求解，但也可以直接求解。 (1)將變量的分離形式代入相應(yīng)的一次方程式和下一邊界條件，得到相應(yīng)的特征值問(wèn)題，求全部的特征值和特

6、征函數(shù)，(2)、將、方程式的非齊次項(xiàng)和初始值全部按照特征函數(shù)進(jìn)行Fourier展開(kāi)，其中：(3)、解初始值問(wèn)題、解：非齊次第三節(jié)初始值問(wèn)題Cauchy問(wèn)題，一維熱傳導(dǎo)方程的初始值問(wèn)題，一、傅立葉變換及其基本性質(zhì)如果能夠在(Fourier積分定理)上絕對(duì)積累，并且能夠連續(xù)地微減，則有：簡(jiǎn)記為：將式(3.5)表示為f 考慮到性質(zhì)1、(線性性質(zhì))、性質(zhì)2、(微商性質(zhì))、性質(zhì)3、(乘多項(xiàng)式性質(zhì))、性質(zhì)4、(卷積性質(zhì))、性質(zhì)5、(積性質(zhì))、1 )、(位移性質(zhì))、齊次熱傳導(dǎo)方程式的初始值問(wèn)題，解為3360，對(duì)于非齊次熱傳導(dǎo)方程式的齊次初始條件問(wèn)題，解為： 非齊次熱傳導(dǎo)方程式的非齊次初始條件問(wèn)題的解為：定理

7、3.2 :函數(shù)為柯西問(wèn)題(3.14)-(3.15 )的有界解，且若為有界，則由(3.17 )式給出的一維齊次弦振動(dòng)方程式的初始值問(wèn)題為：解為：知識(shí)評(píng)論，例如求出下述定解問(wèn)題的有界解第四節(jié)極值原理、定解問(wèn)題解，此外，由表示矩形的兩個(gè)側(cè)邊和底邊構(gòu)成的邊界曲線被稱為拋物邊界，必須到達(dá)邊界上，即在矩形上連續(xù)，且滿足式(4.1)。 另外，上面的最小值，推論4.1 :在矩形上連續(xù)并且滿足，推論4.2:成立，示例(最大值原理的應(yīng)用)滿足，并且獲得下面的最大值和最小值。解：考慮到一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題，二，初邊值問(wèn)題解的唯一性和穩(wěn)定性，定理4.2 :初邊值問(wèn)題(4.3)為區(qū)域，上述古典解是唯一的，并且連續(xù)依賴于拋物邊界給出的初始條件和邊界條件。 注：如果解在方程式中出現(xiàn)的所有偏導(dǎo)函數(shù)都連續(xù)的話，就把這個(gè)解稱為古典解。 考慮到一維熱傳導(dǎo)方程的混合初始邊值問(wèn)題，如果是定理4.3 :初始邊值問(wèn)題(4.4)的古典解，則正常數(shù)滿足以上，如果是以上，則從定理4.3得到，如果是推論4.3 :初始邊值問(wèn)題，則對(duì)于混合初始邊值問(wèn)題，定理4.3仍然成立。 考慮到一維熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題、三、初邊值問(wèn)題解的唯一性和穩(wěn)定性，定理4.5 :初值問(wèn)題(4.10 )是有界函數(shù)類(lèi)上唯一且連續(xù)依賴于給定的