1、第4章 隨機向量,二維隨機向量及其分布 二維離散型隨機向量 二維連續(xù)型隨機向量 邊緣分布 隨機變量的相互獨立性 條件分布 隨機變量函數(shù)的分布,定義1 設(shè)1()，2()，n()是定義在樣本空間上的隨機變量，則 n維向量(1()，2()，n()稱為 上的n維隨機向量或n維隨機變量。,4.1 二維隨機向量及其分布,i() (i=1,2, ,n) 稱為第i個分量（或坐標(biāo)） (1()，2()，n()簡記為 (1，2，n),聯(lián)合分布函數(shù),定義 設(shè)(,)是二維隨機變量，對任意實數(shù)x、y，函數(shù)F(x,y) =Px， y 稱為(,)的（聯(lián)合）分布函數(shù)。,Px1 x2，y1 y2 =P x2，y2P x2，y1

2、P x1，y2P x1，y1 =F(x2，y2) F(x2，y1) F(x1，y2) F(x1，y1),(x1,y2),(x2,y2),(x2,y1),y,x,(x1,y1),定理 設(shè)F(x,y)為隨機向量(,)的分布函數(shù)，則 () 對x或y都是單調(diào)增的，即 當(dāng) x1x2時，F(xiàn)(x1,y) F(x2,y) 當(dāng)y1y2時，F(xiàn)(x,y1) F(x,y2) ()對x或y都是左連續(xù)的，即 F(x0,y)=F(x,y) F(x,y0)=F(x,y),（）F(,y)F(x,) F(,)0 F(+,+)1 （）對任意兩點(x1，y1) 、(x2，y2) ，若x1x2， y1y2，則 F(x2，y2) F(x

3、2，y1) F(x1，y2) F(x1，y1) 0,4.2 二維離散型隨機向量,定義 若隨機向量(,) 所有可能取值是有限對或可列多對(xi，yj)(i，j=1,2, )，則稱(,)是二維離散型隨機變量； 設(shè) P=xi,=yj=pij ， (i，j=1,2, ) 則pij (i，j=1,2, )稱為(,)的(聯(lián)合)概率分布律。,(,)的分布律常用下面的表格給出,根據(jù)pij的定義，立即得出它們具有下列兩性質(zhì)：,(1),(2),例 袋中有五件產(chǎn)品，其中兩件次品，三件正品，從袋中任意依次取出兩件，每次取出的產(chǎn)品進行檢查后放回袋中，設(shè)每次取出產(chǎn)品時，袋中每件產(chǎn)品被取到的可能性相等，定義下列隨機變量。,

4、求(,)的分布律。,解: (,)的分布律為,1,0,1,0,例 在例中，如果每次取出后不放回，求(,)的分布律。,解 (,)的分布律為,1,0,1,0,4.3 二維連續(xù)型隨機向量,定義 對于隨機向量(,)，若存在函數(shù)f(x,y)0 (x、yR) ，使得(,)的分布函數(shù) 則稱(,) 是二維連續(xù)型的隨機向量；f(x,y) 稱為(,)的密度函數(shù)。,密度函數(shù)f(x,y)具有以下性質(zhì)： （）f(x,y) 0； （） ； （）若f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，則,（）若是xoy平面內(nèi)的任一區(qū)域，則,若隨機向量(,)以(x,y)為密度函數(shù)，則稱 (,)服從二元正態(tài)分布。,例1 （二元正態(tài)分布）,其中,其中

5、1,2,1,2,r為常數(shù)；且1 0,2 0, r1 ，稱為二元正態(tài)分布密度函數(shù)。,我們可以證明：,例2 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(,)的分布函數(shù)為 F(x,y)=(A+Barctanx)(C+arctany) （）求常數(shù)，； （）求(,)的分布密度； （）D=(x,y):xy0,x1 ，求 P(,)D。,解 （）由二維分布函數(shù)性質(zhì)，得,由以上三式可得到,（） (,)的分布密度,（）,例3,已知二維隨機向量（，）的密度為,試確定k的數(shù)值，并求(,)落在區(qū)域D=(x，y)|x2yx，0 x1的概率。,解,由概率密度性質(zhì)，知,二維均勻分布,為密度函數(shù)的隨機向量(,)服從二維均勻分布。其中SD為平面區(qū)域D

6、的面積。,4.4 邊緣分布,定義1：對隨機向量(,)，若已知其聯(lián)合分布，則或的概率分布稱為它的邊緣分布。,定義2：隨機向量(,)分量、的分布函數(shù)稱為(,)關(guān)于、的邊緣分布函數(shù)。,設(shè)(,)的分布函數(shù)為F(x,y) ，則(,)關(guān)于的邊緣分布函數(shù)為,由上述可知，F(xiàn)(x)、F(y)由F(x,y)唯一確定，但其逆并不一定成立。,同理,離散型的邊緣分布律,二維離散型隨機向量(,)的分量、都是一維離散型隨機變量，、的分布律分別稱為(,)關(guān)于、的邊緣分布律。,設(shè)(,)的聯(lián)合分布律為P=xi , =yj= pij (i,j=1,2, ) ，則(,)關(guān)于的邊緣分布律有,簡記為,同理， (,)關(guān)于的分布律為,例 一

7、袋中有五件產(chǎn)品，其中兩件次品，三件正品，從袋中任意依次取出兩件，分別采用有放回與不放回兩種方式進行抽樣檢查，規(guī)定隨機變量,則(,)的聯(lián)合分布律如下（并可求得邊緣分布律）：,表 有放回抽樣的分布律,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,表 不放回抽樣的分布,設(shè)連續(xù)型隨機變量(,)的密度函數(shù)為(x,y)，則(,)關(guān)于的邊緣分布函數(shù)F(x)有,連續(xù)型的邊緣分布密度函數(shù),其分量是一維連續(xù)型隨機變量，且的分布密度為,分別稱為隨機變量(,)關(guān)于，的邊緣分布密度。,同理，,例 設(shè)(,)在橢圓 所圍成的區(qū)域上服從均勻分布。即其聯(lián)合密度為,求它的邊緣密度。,解,(1)當(dāng)xa時，,(2)當(dāng)xa時，,同理，可得關(guān)

8、于的邊緣密度,例 設(shè) (,)服從二維正態(tài)分布，其聯(lián)合分布密度為,求邊緣分布密度。,證明：,證：,則,同理:,其中用到：,4.5 隨機變量的相互獨立性,定義 F(x,y)及F(x)、F(y) 分別是(,)的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對任意實數(shù)x、y有F(x,y)= F(x) F(y),即,則稱隨機變量、是相互獨立。,定理 設(shè)(,)是二維連續(xù)型隨機變量，(x,y)及(x)、(y)分別是(,)的聯(lián)合分布密度及邊緣分布密度，則、相互獨立的充要條件是：對任意點(x,y)，有 (x,y)=(x) (y),證明,若，相互獨立，即有,此式的兩邊對x及y求導(dǎo)，便可得到,定理 設(shè)(,)是二維離散型隨機變量，則

9、、相互獨立的充要條件是：對(,)的任意一組可能值(xi,yj)有,即,證明 只證充分性,即，相互獨立，這就證明了條件的充分性。必要性的證明復(fù)雜一些，證明略。,解,表 有放回抽樣的分布律,例1 檢驗4.4中例有放回抽樣和無放回抽樣條件下，、邊緣分布的獨立性。,（p36）,p56,從表知：pij=pi.pj. i,j=1,2 所以， ，相互獨立。,1,1,0,1,0,表 不放回抽樣的分布,從表知：,所以，不相互獨立。,例2 檢驗4.4例中、邊緣分布的獨立性。（p41）,解 顯然， 所以，不相互獨立。,p59,例3 (,)服從參數(shù)為1，2，1，2，r的二元正態(tài)分布,證明、相互獨立的充要條件是r0。,

10、證 因為，,充分性 若r=0 ，則對任意實數(shù)x，y有,即、相互獨立。,必要性 若、相互獨立，則對任意實數(shù)x，y有,取x=1，y=2時上式也成立，此時上式化為,從而得到r=0。,例4 在某一分鐘內(nèi)的任何時刻，信號進入收音機是等可能的。若收到兩個相互獨立的信號的時間間隔小于.秒，則信號相互干擾。求：兩信號相互干擾的概率。,解,把一分鐘取作區(qū)間0，1，設(shè)兩信號進入收音機的時刻分別為、（單位：分）,、相互獨立，所以(,)的聯(lián)合分布密度如下：,D,相互獨立的概念可以推廣到多于兩個隨機變量的情形。 (1) n個隨機變量1,2,n相互獨立，就是說，對任意個實數(shù)x1,x2,xn 有,(2) 一系列隨機變量1,

11、2,n ,相互獨立，就是指，對于任意有限個自然數(shù)k1,k2,kn有 k1, k2,kn相互獨立； 定理和定理也可以推廣到多于兩個隨機變量的情形。,4.6 條件分布,對于離散型隨機向量，當(dāng)p.j0時，稱,為=yj條件下的條件分布律。,離散型隨機變量的條件分布,當(dāng)pi.0時，在=xi條件下的條件分布律,類似地,例1,在整數(shù)15中任取一數(shù)， (1)取后放回去再取另一數(shù)。 (2)取后不放回去再取另一數(shù)。 在這兩種情況下分別求(,)的聯(lián)合分布律、邊緣分布律、P=2。,解,連續(xù)型隨機變量的條件分布,類似地，的條件分布函數(shù)及條件密度函數(shù)為,綜上所述,例2,設(shè)(,)的密度函數(shù)為,解,例3,解,由此可知,由此可知,4.7 隨機向量函數(shù)的分布,離散型隨機向量和函數(shù)的分布,設(shè) (,)的布律為P=i,=j=pij （i=0，1，2，; j=0，1，2，）,令=+ 則取值為0,1,2, ,特別地，當(dāng),獨立時，有,故,例1,解,P(1),P(2)，且,相互獨立。求 的分布。,P(1+2),例2,解,連續(xù)型隨機向量和函數(shù)的分布,設(shè)(,)的聯(lián)合密度為f(x,y),令=+,卷積公式