1、,兩個原理(3),一、排數(shù)問題,例1 用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字, (1)可以組成多少個沒有重復數(shù)字的的三位奇數(shù) (2)可以組成多少個沒有重復數(shù)字的小于1000的自然數(shù) (3)可以組成多少個大于3000且小于5421的無重復數(shù)字的四位數(shù),分析:,(1)先考慮末位,可從1,3,5中選擇,有3種選法; 再考慮首位,可從余下的4個非零數(shù)中選擇,有4種選法 后考慮中間位,可從余下的4個數(shù)中選擇,有4種選法 故共有 344=48個沒有重復數(shù)字的三位奇數(shù),3種,4種,4種,分步解決,用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字, (2)可以組成多少個沒有重復數(shù)字的小于1000的自然數(shù),(2)分類解決: 1位

2、自然數(shù), 有6個 2位自然數(shù),5種,5種,3位自然數(shù),有25個,5種,5種,4種,有100個,故共有6+25+100=131個,用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字, (3)可以組成多少個大于3000,小于5421且沒有重復數(shù)字的的四位數(shù),首位是3或4, 有2543=120個,3或4,2種,5種,4種,3種,5,4種,4種,3種,03,5,2種,3種,4,0或1,5,4,2,0,首位是5, 有443+23+1=55個,共120+55=175個,題后反思,1)注意特殊位置與特殊數(shù)字,2)合理地分類與分步解決,將數(shù)字1,2,3,4,填入標號為1,2,3,4的四個方格里,每格填一個數(shù)字,則每個格子的標

3、號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種,再填與號方格內(nèi)數(shù)字相同的號的方格,又有種填法 其余兩個方格只有種填法。 所以共有331=9種不同的方法。,變式,同一寢室四個人各寫一張賀卡,放在一起,再各取一張不是自己送出的賀卡,共有多少種不同的方法？,2或3或4,號方格里可填,三個數(shù)字,有種填法,3,3種,3種,二、映射問題:,例2 設A=a,b,c,d,e,B=m,n,f,g,從A到B共有多少種不同的映射?,根據(jù)映射的定義, 集合A中的每一個元素,在集合B中都有唯一一個元素與它對應. 可以對照把信投入郵箱這個模型 故共有45個不同的映射 問: 從B到A有多少個不同的映射? 54個,三、染色問題:,例3:

4、如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？,解: 按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 種, 第二步, m2 = 2 種, 第三步, m3 = 1 種, 第四步, m4 = 1 種, 所以根據(jù)乘法原理, 得到不同的涂色方案種數(shù)共有 N = 3 2 11 = 6 種。,若4色、5色等,結(jié)果又怎樣呢？,答:分別是 4322 = 48、 5433 = 180種,思考:如圖,用5種不同顏色給地圖A,B,C,D四個區(qū)域涂色,每一部分涂1種顏色,任何相鄰(有公共邊)的兩部分

5、涂不同的顏色,那么共有多少種不同的涂色方案?,分析:必須分A、C同色與A、C不同色兩種情況分類： 若A、C同色,則有544=80種 若A、C不同色,則有5433=180種,題后反思,1)可否同色,按步試涂,2)發(fā)現(xiàn)問題,分類解決,規(guī)律：n元集合 的不同子集有個 。,例4：集合A=a,b,c,d,e,它的子集個數(shù)為 ，真子集個數(shù)為 ，非空子集個數(shù)為 ，非空真子集個數(shù)為 。,四、子集問題,32,31,31,30,五、綜合問題:,例5 若直線方程ax+by=0中的a,b可以從0,1,2,3,4這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字,則方程所表示的不同的直線共有多少條?,分析 根據(jù)系數(shù)是否為0分三類 1)a=

6、0, b0,表示的都是同一條直線(y=0) 2)a0,b=0,都表示直線x=0 3)a0,b0,a有4種選擇,b有3種選擇,43=12 但1x+2y=0與2x+4y=0為同一直線 2x+1y=0與4x+2y=0為同一直線 故有122=10條 綜上,共有10+1+1=12條不同的直線,題后反思,結(jié)合解析幾何有關性質(zhì),例6、75600有多少個正約數(shù)?有多少個奇約數(shù)?,解:由于 75600=2433527,75600的每個約數(shù)都可以寫成 2i3j5m7n 的形式，其中0i4,0j3,0m2,0n1,為整數(shù),要確定75600的一個約數(shù),只要分別確定i,j,m,n的一個取值,可分四步: i有5種取法,j有4種取法,k有3種取法,l有2種取法 根據(jù)分步計數(shù)原理,有5432=120個約數(shù).,分析:約數(shù)問題,先將已知數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)的積的形式,奇約數(shù)?,題后反思,結(jié)合整除問題有關性質(zhì),小 結(jié),1. 排數(shù)問題