1、Brown運動,隨機游動,設(shè)一個粒子在直線上做隨機游動，每隔Dt時間內(nèi)等可能的向左或向右移動Dx的距離。若記X(t)記時刻t粒子的位置，則,其中,問：要令Dt和Dx趨于零，X(t)將會具有哪些性質(zhì)？,首先來看,因此，,容易證明： （1）X(t)服從均值為0，方差為s2t的正態(tài)分布； （2）X(t),t0有獨立增量 （3） X(t),t0有平穩(wěn)增量,Brown運動的定義,隨機過程B(t),t0如果滿足 （1）B(0)0 ； （2）B(t),t0有平穩(wěn)獨立增量; （3） 對每個t0，B(t) 服從正態(tài)分布N(0,s2t). 則稱B(t),t0為布朗運動，也稱為wiener過程。 如果s1，則稱為標

2、準布朗運動。,注：第(1)條并不是必須的。如果B(0)x，則稱B(t),t0為始于x的布朗運動，記為Bx(t) 。,Brown運動的另一種定義,Brown運動是具有如下性質(zhì)的隨機過程B(t), t0： （1）正態(tài)增量性： （2）獨立增量性：B(t)-B(s)獨立于過程的過去狀態(tài)B(u), 0us。 （3）路徑的連續(xù)性: B(t)是t的連續(xù)函數(shù)。,Brown的分布性質(zhì),空間齊次性,定義：,連續(xù)Markov過程的轉(zhuǎn)移概率定義為在時刻s處于狀態(tài)x的條件下，過程在時刻t的分布函數(shù),Brown的馬氏性,在Brown運動的情況下，轉(zhuǎn)移概率是正態(tài)的,轉(zhuǎn)移概率函數(shù)滿足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,

3、0 )，即,這個性質(zhì)稱為Brown運動的時間時齊性,即分布不隨時間而變化.,有限維分布密度,注：由有限維分布，可以計算任何想求的條件概率。例如，求給定B(t)=y時，B(s)，st的條件概率密度。,K1是與x無關(guān)的常數(shù)。,給定B(t)=y時，B(s)的條件分布是正態(tài)分布，其均值和方差為,習題：設(shè)B(t)是布朗運動，方差為s2，計算,類似的，若ts，則E(B(t)B(s)=s。再由正態(tài)分布的性質(zhì)和數(shù)學歸納法得到B(t)的任意有限維分布都是多元正態(tài)分布。,(5) B(t),t0是均值函數(shù)為m(t)=0, 協(xié)方差函數(shù)g(s,t)=min(s,t)高斯過程。,?,下面證明B(t)的任意有限維分布都是多

4、元正態(tài)分布。首先對任意t1t2，B(t1)N(0,t1), B(t2) N(t2)，Cov(B(t1), B(t2) )=t1，則利用正態(tài)分布的性質(zhì),利用數(shù)學歸納法可以證明(B(t1), B(t2),B(tn)服從多元正態(tài)分布。,例：,設(shè)B(t),t0是標準布朗運動， 1、求P(B(2)0)和P(B(t)0，t0,1,2)。 2、求B(1)+ B(2)+ B(3)+ B(4)的分布。 3、,解：,1、,由條件期望的性質(zhì),由積分的變量替換公式,2、考慮隨機向量X=(B(1),B(2),B(3),B(4),由定理7.2可知，X是多元正態(tài)分布，具有零均值和協(xié)方差矩陣 令A=(1,1,1,1),則,是

5、均值為0，方差為ASA30的正態(tài)分布。,請同學們思考一下第3題的答案應(yīng)該等于多少？,Brown 運動的鞅性,定理 B(t)是鞅； B(t)2t是鞅； 對任何實數(shù)u， 是鞅。,1）的證明 可積性。由Brown運動的定義，B(t)N(0, t), 所以B(t)可積，且EB(t)=0. 鞅性,2）和3）的證明參見教材P165,2）的證明：由于E(B2(t)=t，所以B(t)2可積，因此,將上式兩端同時減去ts, 注：（2）是Brown運動的特征。若連續(xù)鞅X(t)，t=0使得 是連續(xù)鞅，則是brown運動。,(3) 由于B(t)N(0,t),由正態(tài)分布的矩母函數(shù)知 這說明 可積，并且,由于布朗運動具有

6、獨立增量性，對任何函數(shù)g(x)有， 令 則,將上式兩邊同時乘以,Brown運動的路徑性質(zhì),（1）B(t),t0是t的幾乎處處連續(xù)函數(shù)； （2）在任何區(qū)間（無論區(qū)間有多小）都不是單調(diào)的； （3）幾乎處處不可微； （4）在任何區(qū)間（無論區(qū)間有多小）都是無限變差的，例：在區(qū)間0,t上的變差 （5）對任何t，在0,t上的二次變差等于t，即在幾乎處處收斂的意義下,（3）的簡要證明：由Brown運動的性質(zhì)知,取極限得,假設(shè)B(t)是可微的，其導數(shù)為B(t)存在，則,從而,與（1）式矛盾,（1）,（4）的證明：,利用有界變差函數(shù)幾乎處處可導的性質(zhì)（證明參見實變函數(shù)論徐森林著，P319）即可得證。,證明 (5

7、),取dn使得 則 ,例：,求概率 解：首先說明積分的存在性。由于B(t)具有連續(xù)的運動路徑，即對每個w，B(t)(w)是t的幾乎處處連續(xù)函數(shù)，因此Rieman積分 存在。因此隨機變量 是有意義的。 下面來求 的分布。由Rieman積分的定義知，,其中每個求和項都是均值為0的正態(tài)分布，因此 是均值為零的正態(tài)分布。下面計算 的方差。,因此， ，,Brown運動的擊中時,記Tx為標準Brown運動首次擊中x的時刻，即,下面計算PTxt。,1、對于x0，若Txt，則B(t)在0, t內(nèi)的某個點擊中x，由于對稱性，顯然有,因此，由全概率公式,因為x0，由Brown運動的連續(xù)性，B(t)不可能還未擊中x

8、，就大于x，因此上式的第二項為零。于是,對于x0，考慮概率PB(t)x ，用同樣的方法可以得到 因此 Txt與Tx t的概率一樣，因此對任意x，,密度函數(shù)為,注：由擊中時的分布可以得到,（1）常返性，即Tx幾乎必然有限。因為,（2） 零常返性。Tx的期望無窮大。因為,Pa是起點為a的Browm運動的分布,Brown運動的最大值變量,B(t)在0,t內(nèi)達到的最大值,對x0, 根據(jù)Brown運動的連續(xù)性,利用類似的方法，可以得到Brown運動的最小值 的分布為,證明做習題。,Brown運動的零點,定義：如果時間t使得B(t)=0，則稱t是Brown運動的零點。 下面計算PB(x)在區(qū)間(t1,t2)中至少有一個零點的概率。 對B(t1)取條件得,如果x0,根據(jù)Brow