1、1、定義：令G=A1, A2,An; u1, u2,un)表示n個(gè)局中人的完全信息博弈，對(duì)G重復(fù)若干次，稱G為階段博弈。 給定階段博弈G，令G(T)表示G 實(shí)施T（T為大于1的整數(shù)）次的重復(fù)博弈。在某次階段博弈開(kāi)始之前，所有已采取過(guò)的前面階段的行動(dòng)都可以觀察到。局中人在G(T)的盈利函數(shù)或效用簡(jiǎn)單的為來(lái)自T個(gè)階段博弈盈利現(xiàn)時(shí)值之和。,第二節(jié) 有限重復(fù)博弈,定理：如果階段博弈G有唯一的Nash均衡，那么對(duì)任意有限次T，重復(fù)博弈G(T)有唯一的子博弈完美結(jié)局：在每一階段取G的Nash均衡策略。 注1：定理中要求的唯一Nash均衡可以是混合策略均衡。如猜謎游戲。 注2：階段博弈G可以不是靜態(tài)的，假如

2、階段博弈G是完全且完美信息動(dòng)態(tài)博弈時(shí)，且具有唯一的“后退歸納”結(jié)局，那么G(T)有唯一的子博弈完美結(jié)局。,2、當(dāng)階段博弈具有唯一的Nash均衡時(shí),3、當(dāng)階段博弈具有多重Nash均衡時(shí),兩階段博弈的子博弈完美均衡：(U,L), (U,L)；(U,L), (D,R)；(D,R),(U,L); (D,R),(D,R),考慮策略組合： (M,M), (D,R)和(x,y), (U,L) (x,y) (M,M),結(jié)論：如果階段博弈G=A1, A2,An; u1, u2,un)具有多重Nash均衡，那么可能（但不必）存在重復(fù)博弈G(T)的子博弈完美均衡結(jié)局，其中對(duì)于任意的tT，在t階段的結(jié)局并不是G的Na

3、sh均衡。,短期無(wú)息國(guó)庫(kù)券拍賣,背景：美國(guó)財(cái)政部定期地出售有價(jià)證券來(lái)募集資金為聯(lián)邦政府開(kāi)支籌資和償還到期的債務(wù)。這些有價(jià)證券通過(guò)拍賣出售，拍賣的主要買者是大型金融機(jī)構(gòu)的政府債務(wù)部，如Saloman Brothers、Merrill Lynch、Morgan Stanley。13周和26周的短期國(guó)庫(kù)券每周提供，兩年或五年以上的中期國(guó)庫(kù)券一個(gè)月發(fā)行一次。,操作過(guò)程,財(cái)政部大約在每次拍賣前一周頒布公告，宣布拍賣日期、數(shù)量和待出售的有價(jià)證券類型。預(yù)期的購(gòu)買者遞交具體說(shuō)明，說(shuō)明他們?cè)敢獬龅膬r(jià)格和數(shù)量的“投標(biāo)”。在收到所有的投標(biāo)后，財(cái)政部將確定一個(gè)固定價(jià)格，稱為單價(jià)拍賣，購(gòu)買者獲得相同利率，需求量等于出售

4、量，或價(jià)格的范圍，稱為多價(jià)拍賣，支付最高價(jià)格的購(gòu)買者最先分配到他們所需要的量，然后分配給第二高價(jià)格者，等等。 問(wèn)題：如果財(cái)政部希望最大化籌資數(shù)量，它應(yīng)采取那種拍賣方式？,模型假定,博弈類型：以一年為一組，考慮52次（13周或26周的短期國(guó)庫(kù)券）。這顯然是一個(gè)有限次重復(fù)博弈，階段博弈就是每周拍賣。 階段博弈中所出售的數(shù)量不變，等于100。 局中人：兩家金融機(jī)構(gòu)A和B。 行動(dòng)空間：兩個(gè)購(gòu)買量50及75，和兩個(gè)價(jià)格H及L。 盈利函數(shù)：購(gòu)買者只關(guān)心利潤(rùn)，如果價(jià)格為h，則利潤(rùn)為H，如果價(jià)格為L(zhǎng)，則利潤(rùn)為L(zhǎng),LH.,階段博弈：?jiǎn)蝺r(jià)拍賣,單價(jià)拍賣,競(jìng)爭(zhēng)的情況：50H25L,結(jié)論：階段博弈有唯一的Nash均衡

5、（H,H），也是有限重復(fù)博弈的唯一子博弈完美均衡。,串謀的情況：50H25L,結(jié)論：階段博弈的優(yōu)策略是L，從而購(gòu)買者由于報(bào)價(jià)低而虧待財(cái)政部。,純策略Nash均衡,固定q，局中人A的盈利是：50pqH+75p(1-q)L+25(1-p)qL+50(1-p)(1-q)L。對(duì)p求導(dǎo)數(shù)，并令其等于0,混合策略Nash均衡,結(jié)論：在混合策略Nash均衡中，財(cái)政部發(fā)現(xiàn)至少某些時(shí)候?yàn)楦邇r(jià)格，顯然財(cái)政部覺(jué)得這樣更可取。,階段博弈：多價(jià)拍賣,多價(jià)拍賣,競(jìng)爭(zhēng)的情況：75H50L,結(jié)論：階段博弈有唯一的Nash均衡（H,H），也是有限重復(fù)博弈的唯一子博弈完美均衡。,串謀的情況：100H50L75H,結(jié)論：（L,L）

6、也是階段博弈的Nash均衡，即購(gòu)買者企圖無(wú)保留的進(jìn)行串通，使價(jià)格保持低位。因而有限重復(fù)博弈的一個(gè)子博弈完美均衡是雙方購(gòu)買者一直都出價(jià)L。,串謀的情況：50H25L,結(jié)論：階段博弈有唯一的Nash均衡（L,L），也是有限重復(fù)博弈的唯一子博弈完美均衡,從而購(gòu)買者由于報(bào)價(jià)低而虧待財(cái)政部。,結(jié)論：總的來(lái)說(shuō)，單價(jià)拍賣總是受到財(cái)政部的青瞇。,1、無(wú)限重復(fù)博弈模型 模型為可觀察行動(dòng)的重復(fù)博弈 G=A1, A2,An; g1, g2, gn)為階段博弈 at=(at1,atn)表示t周期的行動(dòng) ht=(a1,a2,at-1)表示t周期開(kāi)始時(shí)的歷史,第三節(jié) 無(wú)限重復(fù)博弈,觀察結(jié)果,結(jié)論：如果階段博弈G有m個(gè)靜態(tài)

7、Nash均衡aj, j=1m，那么令j(t)為時(shí)間周期t到指數(shù)j的一個(gè)任意映射，策略組合周期t采取行動(dòng)aj(t) 是子博弈完美均衡。,懦夫博弈（chicken game）,2、保留效用（reservation utility）,定義：又稱最小最大值（minmax value），局中人i的保留效用為,上有政策，下有對(duì)策,例、性別戰(zhàn)（battle of sexes）,設(shè)妻子以概率q選擇B，以概率1-q選擇F，那么 當(dāng)丈夫選擇B時(shí)，丈夫的盈利為：q 當(dāng)丈夫選擇F時(shí)，丈夫的盈利為：2(1-q),結(jié)論：丈夫的保留效用為,設(shè)丈夫以概率p選擇B，以概率1-p選擇F，那么 當(dāng)妻子選擇B時(shí)，妻子的盈利為：2p

8、當(dāng)妻子選擇F時(shí)，妻子的盈利為：1-p,結(jié)論：妻子的保留效用為,習(xí)題：求妻子的保留效用,保留效用的意義,在任何靜態(tài)均衡和在重復(fù)博弈的所有Nash均衡中，局中人i的盈利至少為其保留效用，不管折扣因子如何取值。,3、階段博弈的可行盈利（效用）,性別戰(zhàn)有三個(gè)Nash均衡 (B,B),雙方盈利為(1,2) (F,F),雙方盈利為(2,1) 第三個(gè)Nash均衡為混合策略Nash均衡。,混合策略為 (1/3,2/3) ， (2/3,1/3) ，雙方盈利為(2/3,2/3),奇數(shù)周期取(F,F) ，偶數(shù)周期取(B,B) ，那么在無(wú)限周期博弈中，丈夫的盈利為：,4、無(wú)限階段博弈的可行盈利,奇數(shù)周期取(F,F)

9、，偶數(shù)周期取(B,B) ，在無(wú)限周期博弈中，妻子的盈利為：,隨機(jī)化裝置 (Fudenberg, Maskin, 1986),假設(shè)在每一周期，以概率p取(F,F)，概率1-p取(B,B) 。丈夫在每一周期的期望盈利為： 2p+(1-p)=p+1 在無(wú)限周期博弈中，丈夫的期望盈利為： u1=(1-)(p+1)+(p+1)+2(p+1)+) =(1-)(p+1)/(1-)=p+1 妻子在每一周期的期望盈利為： p+2(1-p)=2-p 因此，在無(wú)限周期博弈中，妻子的期望盈利為： u2=2-p 結(jié)論：通過(guò)設(shè)計(jì)隨機(jī)化裝置，可以實(shí)現(xiàn)階段博弈有限個(gè)盈利向量的任何凸組合。,結(jié)論：通過(guò)設(shè)計(jì)隨機(jī)化裝置，可以實(shí)現(xiàn)階段博弈有限個(gè)盈利向量的任何凸組合。,5、可行且嚴(yán)格個(gè)體理性集合,定義：,6、無(wú)名氏（Folk）定理,定理：對(duì)于每一個(gè)可行的盈利（效用）向量v，其中對(duì)所有局中人i成立vivi，存在一個(gè) (1)，使得對(duì)一切(, 1)，存在G(,)的一個(gè)Nash均衡具有盈利v。,證明,假設(shè)g(a)=v。對(duì)每一個(gè)局中人i，采取如下策略組合