1、1.5 平面標量場,在物理和工程上經(jīng)常需要研究各種各樣的場，如電場、聲場、 溫度場等，這些場隨時間而變化，隨空間而不同，如果場與時 間無關(guān)，則稱為恒定場，例如靜電場、流體中的定常流速場等。 如果研究的場在空間某方向上是均勻的，只需要在垂直于該方 向的平面上研究它，這樣的場叫做平面場。,首先來看平面靜電場，在沒有電荷的區(qū)域，靜電場的電勢滿足二 維拉普拉斯方程，這樣，電場所處區(qū)域的某一解析函數(shù) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的實部或者虛部就可以被用來表示該區(qū)域上靜 電場的電勢,把這一解析函數(shù)叫做該平面靜電場的復(fù)勢. 它的實部或虛部就是電勢.,U(x,y)是電勢,曲線族U(x,y)=常數(shù)是

2、等勢線族,由前面的知識可知,曲線族 V(x,y)=常數(shù)垂直于等勢曲線族 U(x,y)=常數(shù),因此,V(x,y)=常數(shù)正是 電場線族,并且V的值本身具有物理意義。,取兩點A(x1,y1)和B(x1,y1),任作一曲線連接A和B,如圖,計算穿過曲線AB的電通量,曲線AB的切線方程余弦是,所以法線n的方向余弦是,這樣,則,V(x,y)在A和B兩點所取的值之差就是A和B兩點之間穿過的電通 量,函數(shù)V(x,y)叫做通量函數(shù),由以上可知,只要給出了復(fù)勢,就不僅 給出了電勢分布,而且還直接給出電場線族的方程、電通量密度 并給出了電荷密度。,同理，在液體的無旋流動中，有所謂平面無旋液流，由于沒有 渦旋，速度矢

3、量可以表為某個標量的梯度，這個標量叫做速度勢 借助于速度勢就可把平面無旋液流問題表為平面標量場問題，在 沒有源和匯的區(qū)域上，速度勢滿足拉普拉斯方程，某個區(qū)域上,解析函數(shù),f(z)=u(x,y)+iv(x,y),實部或虛部總可以表示該區(qū)域,上某種平面無旋流的速度勢，解析函數(shù)f(z)就叫做該平面無旋液 流的復(fù)勢，為確定，設(shè)v(x,y)是速度勢，則曲線族u(x,y)常數(shù) 就是流線族，u(x,y)是流量函數(shù)，它在A和B兩點所取的值之差 就是A和B兩點之間穿過的流量。,同理，在物體的穩(wěn)定分布中，有所謂平面溫度場，均勻物體 中的穩(wěn)定溫度分布滿足拉普拉斯方程，因此某個區(qū)域上的解析 函數(shù)f(z)u(x,y)i

4、v(x,y)的實部或虛部總可以表示該區(qū)域上某 種平面溫度場的溫度分布，為確定設(shè)u(x,y)是溫度分布，則曲線 族v(x,y)常數(shù)就是熱流線族，v(x,y)是熱流量函數(shù)，它在A和B 兩點所取的值之差正比于A和B兩點之間穿過的熱流量。,借用平面溫度場的詞匯把曲線族u(x,y)常數(shù)和v(x,y)常數(shù) 叫做等溫網(wǎng),例1,開平面上的解析函數(shù),的實部和虛部分別是,如圖，虛線描述曲線族u(x,y)常數(shù) 實線描述曲線族v(x,y)常數(shù)，后者 包括實軸和虛軸在內(nèi),作為平面靜電場，是兩塊互相垂直的很大的帶電導(dǎo)體平面的靜 電場，實線是等勢線，虛線是電場線。作為平面無旋液流來看， 這是液體從虛軸的 方向流來，被x軸阻擋分流的情形，實線 是流線，虛線是等速度勢線。,例2,已知平面靜電場的電場線為拋物線族，,求等勢線,解：,從電場線方程解出參數(shù)c,這里取+號,即,電場線方程應(yīng)該是v(x,y)=常數(shù),V(x,y)=,我們知道v(x,y)必須是調(diào)和函數(shù)(滿足拉普拉斯方程),但,不是調(diào)和函數(shù),我們令,F為待定函數(shù)關(guān)系,把它代入,V=常數(shù),同樣可得電場線方程,下面我們由v(x,y)是調(diào)和函數(shù)這一前提來確定F(t),同理可得,代入拉普拉斯方程