1、第六節(jié) 空間曲線及其方程,一、空間曲線的一般方程,設(shè)有兩塊曲面S1, S2, 它們的方程依次為:,S1: F (x, y, z) = 0 S2: G (x, y, z) = 0,S1 , S2的交線C上的點一定同時滿足這兩個方程,而不在交線上的點絕不會同時滿足這兩個方程.因此,即為交線C的方程, 稱為空間曲線C的一般方程.,(1),例1: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32與平面 z = 2的交線是一個圓, 它的一般方程是,x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2,解: 方程 表示球心在原點O, 半徑為a的上半球面.,方程 表示母線平行于z 軸的圓柱面.,它的準線xOy

2、面上的圓, 圓心在點,所以方程組表示上述半球面與圓柱面的交線.,二、空間曲線的參數(shù)方程,將曲線C上動點的坐標x, y, z都表示成一個參數(shù)t的函數(shù).,x = x (t) y = y (t) (2) z = z (t),當給定 t = t1時, 就得到C上一個點(x, y, z), 隨著 t的變動便可得曲線C上的全部點. 方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程.,例3: 如果空間一點 M 在圓柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 同時又以線速度v 沿平行于z 軸的正方向上升(其中,v都是常數(shù)), 那末點M 構(gòu)成的圖形叫做螺旋線, 試建立其參數(shù)方程.,解: 取時間t為參數(shù), 設(shè)

3、當t = 0時, 動點位于x軸上的一點 A(a, 0, 0)處, 經(jīng)過時間t, 由A運動到M(x, y, z), M在xOy面上的投影為M (x, y, 0).,(1) 動點在圓柱面上以角速度 繞z軸旋轉(zhuǎn), 所以經(jīng)過時間t, AOM = t. 從而,x = |OM | cosAOM = acos t,y = |OM | sinAOM = asin t,(2) 動點同時以線速度v沿 z 軸向上升. 因而,z = MM = vt,得螺旋線的參數(shù)方程,x = acos t y = asin t z = vt,注: 還可以用其它變量作參數(shù).,例如: 令 = t. 為參數(shù); 螺旋線的參數(shù)方程為:,x =

4、 acos y = asin z = b,當從 0變到 0 + 是, z由b 0變到 b 0+ b ,即M點上升的高度與OM 轉(zhuǎn)過的角度成正比.,特別, 當 = 2 時, M點上升高度h = 2 b,在工程上稱 h = 2 b為螺距.,三、空間曲線在坐標面上投影,設(shè)空間曲線C的一般方程,F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0,(3),由方程組(3)消去z后得方程,H (x, y) = 0 (4),方程(4)表示一個母線平行于z 軸的柱面, 曲線C 一定在曲面上.,以曲線C為準線, 母線平行于z 軸(即垂直xOy面)的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面, 投影柱面與xO

5、y面的交線叫做空間曲線在xOy面上的投影曲線, 或簡稱投影.,所以方程所表示的曲線必定包含了空間曲線C在xOy面上的投影.,H (x, y) = 0 z = 0,注: 同理可得曲線在yOz面或xOz面上的投影曲線方程.,例4: 已知兩個球面的方程分別為: x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它們的交線C在xOy面上的投影曲線的方程.,解: 聯(lián)立兩個方程消去 z ,得,這是母線平行于z 軸的橢圓柱面,兩球面的交線C在xOy面上的投影曲線方程為,解: 半球面與錐面的交線為,由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1,這是一個母線平行于z 軸的

6、圓柱面.于是交線C 在xoy面上的投影曲線為,x2 + y2 = 1 z = 0,這是xoy面上的一個圓.,所以, 所求立體在xoy面上的投影為: x2 + y2 1,四、二次曲面,1. 定義: 由x, y, z的二次方程:,ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0,所表示的曲面, 稱為二次曲面. 其中a, b, , i, j 為常數(shù).,研究方法是采用平面截痕法.,2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得橢圓,當 |k | c 時, |k |越大, 橢圓越小;,當 |k | = c 時, 橢圓退縮成點.,2. 幾

7、種常見二次曲面.,(1) 橢球面,1 用平面z = 0去截割, 得橢圓,3 類似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得橢圓:,特別: 當a=b=c時, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原點o, 半徑為a的球面.,(2) 橢圓拋物面:,1 平面 z = k ,(k 0)截割, 截線是平面 z = k上的橢圓.,k = 0時, 為一點O(0,0,0); 隨著k增大, 橢圓也增大.,2 用平面 y = k去截割, 截線是拋物線,3 類似地，用平面 x = k 去截割, 截線是拋物線.,第七節(jié) 平面及其方程,一、平面的點法式方程,1. 法向量:,若一非零向量n垂直于

8、一平面. 則稱向量n為平面 的法向量.,注: 1 對平面, 法向量n不唯一;,2 平面 的法向量n與 上任一向量垂直.,2. 平面的點法式方程,設(shè)平面過定點 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=A,B, C.,得:,A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0,稱方程(1) 為平面的點法式方程.,(1),例1: 求過點(2, 3, 0)且以 n = 1, 2, 3為法向量的平面的方程.,解: 根據(jù)平面的點法式方程(1), 可得平面方程為:,1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0,即: x 2y + 3z 8 = 0,解: 先找出該平面的法向量

9、n.,= 14i + 9j k,例2: 求過三點M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.,所以, 所求平面的方程為:,14(x 2) + 9(y + 3) (z 4) = 0,即: 14x + 9y z 15 = 0,二、平面的一般方程,證: A, B, C不能全為0, 不妨設(shè)A 0, 則方程可以化為,它表示過定點 , 且法向量為 n = A, B, C的平面.,注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2),稱為平面的一般方程.,例2: 已知平面過點M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其

10、方程.,解: 所求平面與已知平面有相同的法向量n =2 3, 4,2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0,即: 2x 3y + 4z 4 = 0,2. 平面方程的幾種特殊情形,(1) 過原點的平面方程,由于O(0, 0, 0)滿足方程, 所以D = 0. 于是, 過原點的平面方程為:,Ax + By + Cz = 0,(2) 平行于坐標軸的方程,考慮平行于x軸的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = A, B, C與x 軸上的單位向量 i =1, 0, 0垂直, 所以,n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0,于是:,平行于x 軸的平

11、面方程是 By + Cz + D = 0;,平行于y 軸的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;,平行于z 軸的平面方程是 Ax + By + D = 0.,特別: D = 0時, 平面過坐標軸.,(3) 平行于坐標面的平面方程,平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;,平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0;,平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.,例3: 求通過x 軸和點(4, 3, 1)的平面方程.,解: 由于平面過x 軸, 所以 A = D = 0.,設(shè)所求平面的方程是 By + Cz = 0,又點(4, 3, 1)在平面上, 所以,3B C

12、 = 0,C = 3B,所求平面方程為 By 3Bz = 0,即: y 3z = 0,例4: 設(shè)平面與x, y, z 軸的交點依次為P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三點, 求這平面的方程.,解: 設(shè)所求平面的方程為,Ax + By + Cz + D = 0,因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三點都在這平面上, 于是,aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0,解得:,所求平面的方程為:,即:,(3),三、兩平面的夾角,1. 定義: 兩平面的法向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角.,若已知兩平面方

13、程是:,1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,法向量 n1 = A1, B1, C1,2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,法向量 n2 = A2, B2, C2,所以,2. 平面1與2 相互垂直 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0,平面1與2 相互平行,規(guī)定: 若比例式中某個分母為0, 則相應(yīng)的分子也為0.,例6: 一平面通過兩點M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程.,解: 設(shè)所求平面的一個法向量 n =A, B, C,已知平面 x+y+z = 0的法向量 n1=1, 1, 1,于是:,A (1) + B 0 + C (2) = 0 A 1 + B 1 + C 1 = 0,解得:,B=C A= 2C,取C = 1, 得平面的一個法向量,n = 2, 1, 1,所以, 所求平面方程是,2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0,即: 2x y z = 0,例: 設(shè)P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一點, 求P0到這平面的距離d.,解: 在平面上任取一點P1(x1, y1, z1),P