1、北京市西城區(qū) 2014 2015 學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷 高三數(shù)學(xué)（理科） 2015.1 第卷第卷（選擇題 共 40 分） 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出 符合題目要求的一項 1設(shè)集合A 1,0,1，B x| x x 2，則集合AI B （） （A）1,0,1（B）1,0（C）0,1（D）1,1 2 2設(shè)命題p：平面向量a a和b b，|a a b b|a a |b b|，則p為（） （A）平面向量a a和b b，|a a b b|a a |b b|（B）平面向量a a和b b，|a a b b|a a |b b| （C）平面向量a

2、a和b b，|a a b b|a a |b b| 3在銳角ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c. 若a 2b，sin B （D）平面向量a a和b b，|a a b b|a a | |b b| 3 ，則（） 4 2 3 （A）A 3 （B）A 6 3 （C）sin A 3 （D）sin A 4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x 值為（） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 開始 a=2，x=3 y ax 否 x=x+1 y10 x3 是 輸出 x 結(jié)束 5設(shè)函數(shù)f (x) 3xbcosx，xR，則“b 0”是“函數(shù)f (x)為奇函數(shù)”的（） （A）充分而不必要條件 （C）充

3、分必要條件 6一個四棱錐的三視圖如圖所示，那么對于這個四棱錐，下列說法中正確的是（） （A）最長棱的棱長為6 （B）最長棱的棱長為3 （C）側(cè)面四個三角形中有且僅有一個是正三角形 （D）側(cè)面四個三角形都是直角三角形 1 1 俯視圖 11 正(主)視圖 1 側(cè)(左)視圖 22 （B）必要而不充分條件 （D）既不充分也不必要條件 7. 已知拋物線C : y 4x，點P(m,0)，O 為坐標原點，若在拋物線 C 上存在一點Q，使得 2 ? OQP90o，則實數(shù) m 的取值范圍是（ ） （B）(4,+ ? ) （D）(8,+ ? ) （A）(4,8) （C）(0,4) x y1, 8. 設(shè) D 為不等

4、式組若對于 2x y1,表示的平面區(qū)域， 點 B(a,b)為坐標平面xOy內(nèi)一點， x 2y1 uuu r uuu r 區(qū)域 D 內(nèi)的任一點A(x, y)，都有OAOB1成立，則a b的最大值等于（） （A）2 （C）0 （B）1 （D）3 第卷第卷 （非選擇題共 110 分） 二、填空題：本大題共6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9. 復(fù)數(shù)z 2i ，則| z |_ 12i x2y2 10設(shè)F 1,F2 為雙曲線 C： 2 1(a 0)的左、右焦點，點P 為雙曲線 C 上一點，如果 a16 | PF 1 | PF 2 |4，那么雙曲線 C 的方程為_；離心率為_. 11在右側(cè)的表格中，

5、各數(shù)均為正數(shù)，且每行中的各數(shù)從左到右 成等差數(shù)列，每列中的各數(shù)從上到下成等比數(shù)列，那么 2 y x a 3 3 2 z x y z _ 12 如圖，在ABC中，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點 1 2 5 8 A F E BC AF _；A _ E，F(xiàn)，且AC 2AE，那么 AB 13現(xiàn)要給 4 個唱歌節(jié)目和 2 個小品節(jié)目排列演出順序， 要求 2 個小品節(jié)目之間恰好有 3 個 唱歌節(jié)目，那么演出順序的排列種數(shù)是_. （用數(shù)字作答） 14. 設(shè) P，Q 為一個正方體表面上的兩點，已知此正方體繞著直線PQ 旋轉(zhuǎn) （ 角后能與自身重合，那么符合條件的直線PQ 有_ 條. ） 三、解答題：本大

6、題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步 驟 15 （本小題滿分 13 分） 已知函數(shù)f (x) 2 3sin xxx coscos, xR R 的部分圖象如圖所示. 442 （）求函數(shù)f (x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； （） 設(shè)點 B 是圖象上的最高點，點A 是圖象與 x 軸的交點，求tanBAO的值. 16 （本小題滿分 13 分） 現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下： （1）投資股市： 投資結(jié)果 概率 （2）購買基金： 投資結(jié)果 概率 （）當p = 獲利 20%不賠不賺虧損 10% 獲利 40%不賠不賺虧損 20% y y B B O OA Ax

7、 x 1 2 1 8 3 8 p 1 3 q 1 時，求 q 的值； 4 4 ，求p的取值范圍； 5 （）已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進行投資，如果一年 后他們中至少有一人獲利的概率大于 （）丙要將家中閑置的10 萬元錢進行投資，決定在“投資股市”和“購買基金”這 兩種方案中選擇一種，已知p = 11 ，q =，那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后 26 投資收益的數(shù)學(xué)期望較大？給出結(jié)果并說明理由 17 （本小題滿分 14 分） 如圖，在四棱柱ABCD A 1B1C1D1 中，A 1A 底面ABCD，BAD90o，AD / BC， 且A 1A AB AD 2BC 2 ，

8、點 E 在棱 AB 上，平面A 1 EC與棱C 1D1 相交于點 F. （）證明：A 1F 平面B 1CE ； （）若 E 是棱 AB 的中點，求二面角A 1 ECD的余弦值； （）求三棱錐B 1 A 1EF 的體積的最大值. 18 （本小題滿分 13 分） 已知函數(shù)f (x) ax bx(a 0)和g(x) lnx的圖象有公共點 P， 且在點 P 處的切線相 同. （）若點 P 的坐標為( ,1)，求a, b的值； （）已知a b，求切點 P 的坐標. 19 （本小題滿分 14 分） 2 A1D1 B1 C1 F A E BC D 1 e x2y2 已知橢圓 C： 1的右焦點為 F，右頂點為

9、 A，離心率為 e，點P(m,0)(m 4)滿 1612 足條件 | FA| e. | AP| （）求 m 的值； （）設(shè)過點 F 的直線 l 與橢圓 C 相交于 M，N 兩點，記PMF和PNF的面積分別 為S1，S2，求證： S 1 | PM | . S 2 | PN | 20 （本小題滿分 13 分） 設(shè)函數(shù)f (x) x(9 x)，對于任意給定的m位自然數(shù)n 0 a mam1L a2a1 （其中a 1 是個位 數(shù)字，a 2 是十位數(shù)字，L） ，定義變換A：A(n 0 ) f (a 1) f (a2 ) L f (a m ). 并規(guī)定 A(0) 0記n 1 A(n 0 )，n 2 A(n

10、1) ，L，n k A(n k1) ，L （）若n 0 2015，求n 2015 ； （）當m 3時，證明：對于任意的m(mN N*)位自然數(shù)n均有A(n) 10m1； （）如果n 0 10m(mN N*,m 3)，寫出nm的所有可能取值.（只需寫出結(jié)論） 北京市西城區(qū) 2014 2015 學(xué)年度第一學(xué)期期末 高三數(shù)學(xué)（理科）（理科）參考答案及評分標準 2015.12015.1 一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共 8 8 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1C2D3A4C 5C6D7B8A 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題

11、小題，每小題 5 5 分，共分，共 3030 分分. . x2y2 911015 416 1 111712 23 4 13961413 注：第注：第 1010，1212 題第一問題第一問 2 2 分，第二問分，第二問 3 3 分分. . 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 6 小題，共小題，共 8080 分分. . 其他正確解答過程，請參照評分標準給分其他正確解答過程，請參照評分標準給分. . 15 （本小題滿分 13 分） （）解：因為f (x) 2 3sin xxx coscos 442 xx 3sincos 2 22 x 2 6 分 =2sin()， 4 分 所以T 2 4.

12、1 2 故函數(shù)f (x)的最小正周期為4. 6 分 x 2k， 2262 42 解得4kx4k+， 33 由題意，得2k 所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k 分 42 ,4k+,(kZ Z). 9 33 y y B B O OC C A A （）解：如圖過點B作線段BC垂直于x軸于點C. 3T 3，BC 2， 4 BC2 所以tanBAO . AC3 由題意，得AC x x 13 分 16 （本小題滿分 13 分） （）解：因為“購買基金”后，投資結(jié)果只有“獲利” 、 “不賠不賺” 、 “虧損”三種， 且三種投資結(jié)果相互獨立， 所以p+ 分 又因為p = 所以q= 1 +q=1. 2 3

13、1 ， 4 5 3 分 12 （）解：記事件 A 為 “甲投資股市且盈利” ，事件 B 為“乙購買基金且盈利” ，事 件 C 為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利” ， 4 分 則C = ABU ABU AB，且 A，B 獨立. 由上表可知， P(A)= 1 ，P(B)= p. 2 所以P(C)= P(AB)+ P(AB)+ P(AB) 5 分 = 1 ? (1 2 p)+ 1 ? p 2 1 ? p 2 = 1 + 1 p. 6 22 分 因為P(C)= 1 + 1 p 4 ， 225 所以p 3 . 7 5 分 又因為p+ 1 + q = 1，q0， 3 所以 p 2 . 3 所以 3

14、 p 2 . 8 53 分 （）解：假設(shè)丙選擇“投資股票”方案進行投資，且記 X 為丙投資股票的獲利金額 （單位： 萬元） ， 所以隨機變量X的分布列為： X402 3 8 P 1 2 1 8 9 分 1135 則EX 40(2).10 2884 分 假設(shè)丙選擇“購買基金”方案進行投資，且記Y 為丙購買基金的獲利金額（單位：萬 元） ， 所以隨機變量Y的分布列為： Y2 1 2 0 1 3 1 1 6 P 11 分 1115 則EY 20(1). 12 2366 分 因為EX EY， 所以丙選擇“投資股市” ，才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大 13 分 17 （本小題滿分 14 分） （

15、）證明：因為ABCD A 1B1C1D1 是棱柱， 所以平面ABCD平面A 1B1C1D1 . 又因為平面ABCDI平面A 1ECF EC ，平面A 1B1C1D1 I平面A 1ECF A1F ， 所以A 1F EC.2 分 又因為A 1F 平面B 1CE ，EC平面B 1CE ， 所以A 1F 平面B 1CE .4 分 （）解：因為AA 1 底面ABCD，BAD 90o， 所以AA1，AB，AD兩兩垂直，以 A 為原點，以AB，AD，AA 1 分別為x軸、y軸 和z軸，如圖建立空間直角坐標系.5 z 分 A1D1 M 則A 1(0,0,2) ，E(1,0,0)，C(2,1,0)， F B1

16、C1 uuuruuur 所以A 1 E (1,0,2),AC (2,1,2). 1 u r 設(shè)平面A 1ECF 的法向量為m (x, y,z), uuur u ruuur u r 由A 1Em 0 ，AC 1 m 0, A E x BC D y x2z 0, 得2x y2z 0. u r 令z 1,得m (2,2,1).7 分 r 又因為平面DEC的法向量為n (0,0,1)，8 分 u r r u r r mn1 r r ，所以cos m,n u |m|n|3 由圖可知，二面角A 1 EC D的平面角為銳角， 所以二面角A 1 EC D的余弦值為 1 .10 3 分（）解：過點 F 作FM

17、A 1B1 于點M, 因為平面A 1 ABB 1 平面A 1B1C1D1 ，F(xiàn)M 平面A 1B1C1D1 , 所以FM平面A 1ABB1 , 所以V B A EF V FB A E S A B E FM12 111 11 1 分 1 3 1222 FM FM. 323 因為當 F 與點D1重合時，F(xiàn)M取到最大值 2（此時點 E 與點 B 重合） ， 所以當 F 與點D 1 重合時，三棱錐B 1 A 1EF 的體積的最大值為 分 18.（本小題滿分 13 分） （）解：由題意，得f ( ) 分 且f (x) 2axb，g(x) 分 由已知，得f( ) g( )，即 4 .14 3 1 e ab

18、1，1 e2e 1 ，3 x 1 e 1 e 2a b e， e 解得a 2e2，b 3e.5 分 （）解：若a b，則f (x) 2axa，g(x) 設(shè)切點坐標為(s,t)，其中s 0, 由題意，得as2as lns， 2asa 1 ， x 1 ，6 s 分 11 ，其中s ， 2s(2s1) s1 代入，得 lns.（*）7 2s1 由，得a 分 1 0，且s 0， s(2s1) 1 所以 s .8 2 因為 a 分 x11 ln x，x( ,)， 2x12 (4x1)(x1) 則F(x) .9 x(2x1)2 設(shè)函數(shù)F(x) 分 令F(x) 0，解得x 1或x 分 當x變化時，F(xiàn)(x)與

19、F(x)的變化情況如下表所示， 1 (舍).10 4 x 1 ( ,1) 2 1 0 (1,) F(x) F(x) 12 分 1 所以當x 1時，F(xiàn)(x)取到最大值F(1) 0，且當x( ,1)U (1,)時F(x)0. 2 因此，當且僅當x 1時F(x) 0. 所以方程（*）有且僅有一解s 1. 于是t lns 0， 因此切點 P 的坐標為(1,0).13 分 19 （本小題滿分 14 分） x2y2 （）解解：因為橢圓 C 的方程為1， 1612 所以 a 4,b 2 3,c a2b2 2,2 分 則e 因為 c1 ，| FA| 2，| AP| m4.3 分 a2 | FA|21 ， |

20、AP|m42 所以m8.5 分 （）解解：若直線 l 的斜率不存在， 則有 S 1 S 2 ，| PM | PN |，符合題意. 6 分 若直線 l 的斜率存在，則設(shè)直線l 的方程為y k(x2)，M(x 1, y1) ，N(x 2 , y 2 ). x 2y2 1, 由 16 12 y k(x2), 得(4k23)x216k2x16k248 0， 7 分 16k216k248 可知 0恒成立，且x 1 x 2 2 ，x 1x2 . 8 4k 34k23 分 因為k PM k PN 分 y 1 yk(x 1 2)k(x 2 2) 10 2 x 1 8x 2 8x 1 8x 2 8 k(x 1 2)(x 2 8) k(x 2 2)(x 1 8) (x 1 8)(x 2 8) 2kx 1 x 2 10k(x