1、第13章 電磁場(chǎng)與麥克斯韋方程組,電 流,磁 場(chǎng),電磁感應(yīng),感應(yīng)電流,1831年法拉第,問題的提出,實(shí)驗(yàn)一：,當(dāng)磁鐵插入或拔出線圈回路時(shí)，線圈回路會(huì)產(chǎn)生電流，當(dāng)磁鐵與線圈保持相對(duì)靜止時(shí)，回路中不存在電流。,13.1 電磁感應(yīng)基本定律,法拉第電磁感應(yīng)定律:,1. 載流主線圈相對(duì)副線圈運(yùn)動(dòng)時(shí)，副線圈回路內(nèi)有電流產(chǎn)生。,2. 載流主線圈相對(duì)于副線圈靜止時(shí)，如果改變主線圈的電流，則副線圈回路中也會(huì)產(chǎn)生電流。,實(shí)驗(yàn)二： 以通電線圈代替條形磁鐵。,實(shí)驗(yàn)三：,將閉合回路置于穩(wěn)恒磁場(chǎng)B中，當(dāng)導(dǎo)體棒在導(dǎo)體軌道上滑行時(shí)，回路內(nèi)出現(xiàn)了電流。,結(jié)論：,穿過閉合回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，不管這種變化是由什么原因產(chǎn)生的，回

2、路中有電流產(chǎn)生。這一現(xiàn)象稱為電磁感應(yīng)現(xiàn)象。,電磁感應(yīng)現(xiàn)象中產(chǎn)生的電流稱為感應(yīng)電流，相應(yīng)電動(dòng)勢(shì)稱感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。,法拉第電磁感應(yīng)定律: 當(dāng)穿過閉合回路的磁通量發(fā)生變化，閉合導(dǎo)體回路中就產(chǎn)生了的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。 當(dāng)采用國際單位制時(shí)，比例系數(shù)為 1，數(shù)學(xué)表達(dá)式為,大小: 回路磁通量對(duì)時(shí)間的變化率,方向: 負(fù)號(hào)為楞次定律的數(shù)學(xué)表示,楞次定律: （1）感應(yīng)電流的方向，總是使其磁場(chǎng)阻礙原磁通量（引起感應(yīng)電流的）的變化。,（2）感應(yīng)電流的效果總是反抗引起感應(yīng)電流的原因。,全磁通：,磁通鏈數(shù)：,N匝線圈的總電動(dòng)勢(shì)為各匝產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)之和：,感應(yīng)電流：,感應(yīng)電量（一定時(shí)間內(nèi)通過回路截面的）:,解：,例如圖半徑為r的小金屬

3、圓環(huán)，在初始時(shí)刻與半徑為a( )的大金屬圓環(huán)共面且同心。在大圓環(huán)中通以恒定電流I，如果小圓環(huán)以角速度 繞其任一方向的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，并設(shè)小圓環(huán)的電阻為R，求： （1）任一時(shí)刻t通過小圓環(huán)的磁通量 ； （2）小圓環(huán)中的感應(yīng)電流。,（1）因ar，故小圓環(huán)中B均勻,t 時(shí)刻通過小圓環(huán)的磁通量,方向：,（2）小圓環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),感應(yīng)電流,例. 一長(zhǎng)直導(dǎo)線通以電流 ，旁邊有一個(gè)共面的矩形線圈abcd。求線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。,解：建立坐標(biāo)系Ox如圖,例. 導(dǎo)線彎成如圖形狀，半徑r=0.10m，B=0.50T ,轉(zhuǎn)速n=3600轉(zhuǎn)/分。電路總電阻為1000。求：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流及最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和最大感應(yīng)電流,

4、解：,練習(xí)：等邊三角形平面回路ACDA放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于回路平面，如圖所示?；芈返腃D段為以勻速 v 遠(yuǎn)離A端滑動(dòng)，設(shè)任意時(shí)刻導(dǎo)線CD離A端的距離為x處時(shí)，且初時(shí) 。試求： （1）回路中的磁通量 與時(shí)間t 的關(guān)系； （2）回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 和時(shí)間t的關(guān)系。,解：,（1）回路中的磁通量,（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律得：,感生電動(dòng)勢(shì)：導(dǎo)體不動(dòng)，因磁場(chǎng)的變化產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。,磁通量變化產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：,（1）B 變化 感生電動(dòng)勢(shì),（2） 變化,（3）S 變化（部分導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)）,動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)：在穩(wěn)恒磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)著的導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。,13.2 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),一、產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)

5、勢(shì)的機(jī)理,電荷受洛侖茲力：,電荷積累在導(dǎo)體內(nèi)建立電場(chǎng) ：,動(dòng)態(tài)平衡無宏觀定向運(yùn)動(dòng) ：,導(dǎo)體相當(dāng)一電源（ a為負(fù)極， b 為正極）,非靜電力,非靜電場(chǎng)強(qiáng),動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)：,說明：1. 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生于運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體；不動(dòng)的導(dǎo)體 不產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，提供電流通路。,2. 非回路的導(dǎo)體切割磁感線，產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，無感應(yīng)電流。,二、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算：,1. 定義求解,2. 法拉第定律求解,若回路不閉合，需增加輔助線使其閉合。計(jì)算時(shí)只計(jì)大小，方向由楞次定律決定。,方向：電源內(nèi)部，從低電位指向高電位。 電流的流向由 確定。,對(duì)閉合回路,作為特例條件為：直導(dǎo)線；B均勻；導(dǎo)線上v相等；L、B、v三者互相垂直。,例. 一矩形導(dǎo)

6、體線框，寬為l，與運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體棒構(gòu)成閉合回路。如果導(dǎo)體棒以速度v作勻速直線運(yùn)動(dòng)，求回路內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。,解：法一,ab,法二,電動(dòng)勢(shì)指向 ab,例. 一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的銅棒，在均勻磁場(chǎng)B中以角速度在與磁場(chǎng)方向垂直的平面上作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。求棒的兩端之間的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小。,方向：a 0,解一： 取線元,與 反向,練習(xí)：如圖，金屬框架回路abc放在均勻磁場(chǎng)中。當(dāng)它繞ab邊以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)( 的方向與 相同)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) = ；bc中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)問為 ；b、c兩點(diǎn)中 點(diǎn)的電勢(shì)較高 。,0,c,解：,當(dāng)回路以ab為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，,bc中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：,由 或楞次定律可知，c點(diǎn)電勢(shì)高于b點(diǎn)電勢(shì)。,所以,練習(xí)：如圖

7、所示，通以電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線與矩形線圈共面，其中a、b、L的尺寸均為已知。當(dāng)線圈以勻速v向右運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)， 求：（1）導(dǎo)線AB中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，A、B哪點(diǎn)電勢(shì)高？ （2）線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與方向。,解：（1）長(zhǎng)直導(dǎo)線在AB處的磁場(chǎng),（2）AB中電動(dòng)勢(shì),方向：BA A點(diǎn)電勢(shì)高,CD中電動(dòng)勢(shì),沿順時(shí)針方向,方向：CD,線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),例. 長(zhǎng)直導(dǎo)線通電流 I = 10A，一長(zhǎng)為L(zhǎng)= 0.2m的金屬棒與導(dǎo)線垂直共面。當(dāng)棒以速度v =2m/s平行與長(zhǎng)直導(dǎo)線勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求棒產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。,解：,例. 某空間區(qū)域存在垂直向里且隨時(shí)間變化的非均勻磁場(chǎng)B=kxcost。其中有一彎成角的金屬框CO

8、D，OD與x軸重合。一導(dǎo)體棒沿x方向以速度v勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)t=0時(shí)x=0，求框內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。,解：設(shè)某時(shí)刻導(dǎo)體棒位于l處,麥克斯韋感生電場(chǎng)假設(shè)（1861年）：變化的磁場(chǎng)將在其周圍空間激發(fā)感生電場(chǎng)（非靜電場(chǎng)、渦旋電場(chǎng)）。,13.3 感生電動(dòng)勢(shì)和感生電場(chǎng),感生電動(dòng)勢(shì)：導(dǎo)體回路不動(dòng)，由于磁場(chǎng)變化產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。,有無導(dǎo)體：變化的磁場(chǎng)都要激發(fā)感生電場(chǎng),存在導(dǎo)體：電場(chǎng)力對(duì)電荷作功產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì),導(dǎo)體閉合：電荷的定向運(yùn)動(dòng)形成感應(yīng)電流,由法拉第電磁感應(yīng)定律：,感生電場(chǎng)力產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)：,電磁場(chǎng)的基本方程,式中 S 是以 L 為邊界的，環(huán)路的繞向與面積的法向成右手螺旋關(guān)系為正。,左螺旋,變化磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng),感生

9、電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比較：,相同點(diǎn)： 對(duì)電荷有作用力,感生電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算:,（2）法拉第電磁感應(yīng)定律求解,導(dǎo)體不閉合作輔助線成閉合回路,（1）電動(dòng)勢(shì)定義求解,若導(dǎo)體不閉合,解：（1）,例：半徑為R的長(zhǎng)直螺線管中電流隨時(shí)間變化，若管內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間增大，即 = 恒量0，求感生電場(chǎng)分布及棒AB上的感生電動(dòng)勢(shì)。,取逆時(shí)針繞行回路L,（2）,棒AB上的感生電動(dòng)勢(shì),方向：A指向B,解二：,作輔助線,O,形成閉合回路,半徑,通過 的磁通量:,練習(xí)：在圓柱形空間內(nèi)有一磁感應(yīng)強(qiáng)度為 的均勻磁場(chǎng)，如圖所示。 的大小以速率 變化，有一長(zhǎng)度為 的金屬棒先后放在磁場(chǎng)的兩個(gè)不同位置ab和ab，那么，金屬棒在這兩個(gè)位置時(shí)棒內(nèi)的

10、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小關(guān)系為,(B),渦電流,當(dāng)大塊導(dǎo)體放在變化的磁場(chǎng)中，在導(dǎo)體內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，這種電流在導(dǎo)體內(nèi)自成閉合回路故稱為渦電流。,渦電流的熱效應(yīng),一、自感,13.4 自感和互感,由于回路中電流變化，引起回路中全磁通變化，從而在回路自身中產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象叫自感現(xiàn)象。,自感電動(dòng)勢(shì),自感現(xiàn)象：,電磁感應(yīng)定律：,L: 自感系數(shù)簡(jiǎn)稱自感,取決于: 回路自身性質(zhì),單位：亨利（H）,由畢薩定律:,自感系數(shù)的物理意義：當(dāng)線圈中電流變化率為一個(gè)單位時(shí)，線圈中自感電動(dòng)勢(shì)的大小。,負(fù)號(hào)表示：L的方向總是阻礙 I 的變化,例. 長(zhǎng)為l 的螺線管，橫斷面為S，線圈總匝數(shù)為N，管中磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率為 。求自感系數(shù)。

11、,解：,線圈體積：,提高L有效途徑：,練習(xí)：對(duì)于線圈其自感系數(shù)的定義式為，當(dāng)線圈的幾何形狀、大小及周圍磁介質(zhì)分布不變，且無鐵磁性物質(zhì)時(shí)，若線圈中的電流變小，則線圈的自感系數(shù)L （A）變大，與電流成反比關(guān)系； （B）變?。唬–）變大，但與電流不成反比關(guān)系； （D）不變。,(D),解：對(duì)于無鐵芯線圈的自感系數(shù)為,它只取決于線圈本身性質(zhì)，而與線圈中的電流無關(guān),例. 有一電纜，由兩個(gè)“無限長(zhǎng)”的同軸圓桶狀導(dǎo)體組成，其間充滿磁導(dǎo)率為 的磁介質(zhì)，電流I從內(nèi)桶流進(jìn)，外桶流出。設(shè)內(nèi)、外桶半徑分別為R1和R2 ，求長(zhǎng)為l的一段導(dǎo)線的自感系數(shù)。,解：,兩圓柱面間磁場(chǎng)為,例：一截面積為長(zhǎng)方形的環(huán)式螺線管。其尺寸如圖

12、所示，共有N 匝，求此螺線管的自感系數(shù)。,解：,二、互感,M：互感系數(shù),單位：亨利（H）,一個(gè)載流回路中電流變化，引起鄰近另一回路中產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)的現(xiàn)象稱為互感現(xiàn)象，所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)稱為互感電動(dòng)勢(shì)。,互感現(xiàn)象：,互感系數(shù)的物理意義：一個(gè)回路中通過單位電流時(shí)，穿過另一回路的全磁通。,本質(zhì)：表征兩耦合回路相互提供磁通量的強(qiáng)弱。,M 的計(jì)算：類似于自感的計(jì)算,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律：,例：如圖（a），一無限長(zhǎng)直導(dǎo)線，與一矩形線圈在同一平面內(nèi)，矩形線圈通以電流I=I0cost （1）求它們的互感系數(shù).（2）長(zhǎng)直導(dǎo)線的互感電動(dòng)勢(shì).（3）若長(zhǎng)直導(dǎo)線與矩形線圈按圖（b）放置，互感系數(shù)又為多少？,解：（1）,如圖情

13、況有,互感系數(shù),（2）,（3）,例. 設(shè)在一長(zhǎng)為1m，橫斷面積S =10cm2，密繞N1 =1000匝線圈的長(zhǎng)直螺線管中部，再繞N2=20匝的線圈。（1）計(jì)算互感系數(shù)（2）若回路1中電流的變化率為10A/s。求回路2中引起的互感電動(dòng)勢(shì)。（3）M和L的關(guān)系。,解：,同理：,一般情況：,k :偶合系數(shù),k=1時(shí)，稱無漏磁,練習(xí)：一環(huán)形管上用表面絕緣的導(dǎo)線均勻地密繞了兩個(gè)線圈，一個(gè)N1匝，一個(gè)N2匝。螺繞環(huán)截面半徑為a，環(huán)中心線的半徑為R（R遠(yuǎn)大于a），求兩個(gè)線圈的互感系數(shù)M。,解：,設(shè)第一個(gè)線圈通以電流I，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為：,第二個(gè)線圈中的全磁通：,兩線圈的互感系數(shù)：,a,13.5 磁場(chǎng)的能量,一、

14、自感磁能,自感電動(dòng)勢(shì)：,回路方程：,兩邊乘以idt,電源所作的功,消耗在電阻上的焦耳熱,電源反抗自感電動(dòng)勢(shì)作的功，轉(zhuǎn)化為磁場(chǎng)的能量。,線圈的磁場(chǎng)能量：,二、磁場(chǎng)能量,長(zhǎng)直螺線管為例：,磁場(chǎng)的能量密度：,均勻磁場(chǎng)：,非均勻磁場(chǎng)：,例. 長(zhǎng)直同軸電纜，由半徑為R1和R2的兩同心圓柱組成，電纜中有穩(wěn)恒電流I，經(jīng)內(nèi)層流進(jìn)，外層流出形成回路。試計(jì)算長(zhǎng)為l的一段電纜內(nèi)的磁場(chǎng)能量。,解：設(shè)電纜中通有如圖流向電流I 由安培環(huán)路定理：,方法二：,先計(jì)算自感系數(shù),練習(xí)：自感系數(shù)L = 0.3 H的長(zhǎng)直螺線管中通以I = 8 A的電流時(shí)，螺線管存儲(chǔ)的磁場(chǎng)能量W =。,解：,根據(jù)自感線圈的磁能公式：,9.6 J,電容

15、器儲(chǔ)能,自感線圈儲(chǔ)能,電場(chǎng)能量密度,磁場(chǎng)能量密度,能量法求,能量法求,電場(chǎng)能量,磁場(chǎng)能量,電場(chǎng)能量,磁場(chǎng)能量,電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量比較,渦旋電場(chǎng)假說：變化的磁場(chǎng)可激發(fā)電場(chǎng),位移電流假說：變化的電場(chǎng)可激發(fā)磁場(chǎng),電場(chǎng),電荷激發(fā)的靜電場(chǎng),變化磁場(chǎng)激發(fā)的渦旋電場(chǎng),磁場(chǎng),傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng),變化的電場(chǎng)（位移電流）激發(fā)的磁場(chǎng),13.6 麥克斯韋方程組,麥克斯韋假說：,位移電流 ：通過截面電位移通量對(duì)時(shí)間的變化率,位移電流密度：場(chǎng)中某點(diǎn)電位移變化率,就磁效應(yīng)而言，變化電場(chǎng)也是一種電流，其密度與電位移相聯(lián)系，故稱位移電流和位移電流密度。,全電流安培環(huán)路定律:,麥克斯韋方程組積分形式：,方程中各量關(guān)系：,確定電磁場(chǎng)：由麥克斯韋方程組、邊界條件、初始條件、各電磁量關(guān)系可確定。,電場(chǎng)性質(zhì),磁場(chǎng)性質(zhì),變化磁場(chǎng) 產(chǎn)生電場(chǎng),變化電場(chǎng) 產(chǎn)生磁場(chǎng),方程組微分形