1、第2節(jié) 平面力系的平衡,一 力的投影和合力矩定理 二 力的平移定理 三 平面任意力系的簡(jiǎn)化 四 平面力系的平衡方程及應(yīng)用,1,平面力系的平衡,平面力系及其分類 平面力系： 各力作用線都在同一平面內(nèi)的力系。 平面匯交力系：在平面力系中，各力作用線匯交于一點(diǎn)的力系。 平面力偶系： 在平面力系中，全部由力偶組成的力系。 平面平行力系：在平面力系中，各力作用線互相平行的力系。 平面任意力系：在平面力系中，各力作用線任意分布的力系。,1,力的投影與合力矩定理 1 力在直角坐標(biāo)軸上的投影與分解 2 合力投影定理 3 合力矩定理,平面力系的平衡,x,y,a,b,a,b,o,1、 力在直角坐標(biāo)軸上的投影與分解

2、,A,B,1）若已知合力 F及其與X軸的夾角，則F在直角坐標(biāo)系 xoy 的 X、Y軸上的投影分別為Fx及Fy : 2) 投影的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：對(duì)Fx，若從a到b的方向與X軸正向一致，則取正號(hào),反之取負(fù)號(hào)。對(duì)Fy，則以類似方法決定其正負(fù)號(hào).,3）若已知合力 F在X、Y軸上的投影 Fx、Fy，則合力F的大小由右式之標(biāo)量F表示、其方向由tan表示：,(A) 力在直角坐標(biāo)軸上的投影,在力F作用的平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xoy，由力F的起點(diǎn)A和終點(diǎn) B分別作x軸的垂線，垂足分別為 a、b，線段ab冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào) 即稱為力F在x軸上的投影，用Fx表示之，即：Fx=ab. 同理，力F在y軸上的投影，用Fy表示

3、之，即：Fy=ab.,（B）力在直角坐標(biāo)軸上的分解,若將力 F（矢量，以紅色表示，下同）沿直角坐標(biāo)軸方向分解，可得兩個(gè)分力Fx及Fy。必須注意，分力亦為矢量，其作用點(diǎn)必須與原力 F 的作用點(diǎn)相同，其大小及方向則按照力的平行四邊形公理來(lái)確定。而前述之投影Fx及Fy（標(biāo)量，以黑色表示）則為代數(shù)量，代數(shù)量無(wú)作用點(diǎn)，兩者不可混淆。只有在沿直角坐標(biāo)軸方向分解時(shí)，分力的大小才與對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影的絕對(duì)值相等。,1）平面匯交力系的合力 設(shè)一剛體受平面匯交力系 F1, F2, , Fn 作用，多次利用力在剛體中的可傳性和力的平行四邊形公理，可推出： 此力系可合成為一個(gè)合力FR，即平面匯交力系的合力矢量等于該力

4、系各分力的矢量和，此合力矢量可由下式表示：,FR= F1+ F2+ Fn = F,2、 合力投影定理,合力投影定理,2）合力投影定理 將上述等式 ( FR= F1+ F2+ Fn = F ) 各端分別向 x、y 軸投影，可得出合力投影定理：合力在坐標(biāo)軸上的投影等于各分力在同軸上投影的代數(shù)和。,合力投影定理,合力的大小 FR 、方向可分別表示為 ：,式中：表示合力FR與x軸所夾的銳角，F(xiàn)R的指 向由Fx和Fy的正負(fù)來(lái)確定。,求如圖所示平面匯交力系的合力。其中：F1 = 200 N，F(xiàn)2 = 300 N，F(xiàn)3 = 100 N，F(xiàn)4 = 250 N。 各力與x軸之夾角如圖所示。,解：,根據(jù)合力投影定

5、理，得合力在軸 x，y上的投影分別為：,例 題 1. 5,合力投影定理,合力的大?。?合力與軸x的夾角的正切為：,所以，合力與軸x的夾角為,例 題 1. 5,合力投影定理,FR,合力矩定理,設(shè)剛體上作用有一個(gè)平面匯交力系 F1,F2，F(xiàn)n, 其合力為 FR，由于合力FR與該力系等效，所以得出：合力對(duì)平面內(nèi)任意點(diǎn)之矩，等于所有各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。此即為合力矩定理，如下式所示： 當(dāng)合力的力臂不易求出時(shí)，常將合力正交分解為兩個(gè)易確定力臂的分力，然后應(yīng)用合力矩定理計(jì)算力矩。,Mo(FR)= Mo(F1)+ Mo(F2)+.+ Mo(Fn) =Mo(F),3、 合力矩定理,圖 a）所示圓柱直齒輪

6、的齒面受一嚙合角=20的法向壓力Fn=1 kN的作用，齒面分度圓直徑d=60 mm。試計(jì)算力對(duì)軸心O的力矩。,解1：按力對(duì)點(diǎn)之矩的定義,例 題 1.6,合力矩定理,Mo（FR）Mo（Ft）Mo（Fr） Ft r 0 Fn cos r 28.2 Nm,b),解2：按合力矩定理,例 題 1. 6,合力矩定理,一輪在輪軸B處受一切向力F的作用，如圖2-10a所示。已知F、R、r和，試求此力對(duì)輪與地面接觸點(diǎn)A的力矩。,例 題 1.7,合力矩定理,合力矩定理,C,MA（F）=MA（Fx）+ MA（Fy） MA（Fx）= -Fx CA = -Fx (OA - OC) = -Fcos (R - rcos )

7、 MA（Fy） =Fy rsin =Frsinsin =Frsin2 MA（F）= -Fcos (R - rcos ) + Frsin2 =F ( r - Rcos ),合力矩定理,C,二、 力的平移定理,1,作用在剛體上A點(diǎn)處的力F，可以平移到剛體內(nèi)任意點(diǎn)O，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原來(lái)的力F對(duì)新作用點(diǎn)O之矩。,力的平移定理,1,力的平移定理圖解說(shuō)明,O,O,O,A,A,A,O,F,F,F,F,F”,F,F”,F,A,d,d,d,M=Fd,1,2,3,4,力的平移定理,力的平移定理：揭示了力與力偶在對(duì)物體的作 用效應(yīng)方面的區(qū)別和聯(lián)系： 可以將一個(gè)力轉(zhuǎn)換或分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶，

8、也可以將同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為 一個(gè)力。 也就是說(shuō)：一個(gè)力不能與一個(gè)力偶等效，但一 個(gè)力可以和一個(gè)與它平行的力和一個(gè)力偶的 聯(lián)合作用等效。,三、 平面任意力系的簡(jiǎn)化,平面任意力系的簡(jiǎn)化,平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)的簡(jiǎn)化 1、設(shè)剛體上作用有一個(gè)平面任意力系 F1, F2, , Fn, 各力的作用點(diǎn)分別為 A1,A2,An, 在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，稱為簡(jiǎn)化中心，多次利用力的平移定理，可將力系中的各力分別平移到點(diǎn)O。平移的結(jié)果，得到一個(gè)作用于O點(diǎn)的平面匯交力系 F1 , F2 , , Fn, 和一個(gè)附加的平面力偶系M1=MO(F1),M2=MO(F2),Mn=MO(Fn)； 2、主矢：對(duì)平

9、移后得到的平面匯交力系 F1, F2, , Fn，反復(fù)利用平行四邊形公理，可將 此力系合成為一個(gè)合力 F R ，該合力 F R 即稱為原平面任意力系的“主矢”。主矢的作用點(diǎn)在簡(jiǎn)化中心O ，主矢的矢量大小等于平移后得到的平面匯交力系中各分力的矢量和，亦等于原任意力系中各分力的矢量和（注意：主矢不能稱為原任意力系的合力，因?yàn)樗鼈儾⒉坏刃?。），即?FR = F1 + F2 + Fn = F1 + F2 + + Fn = F = F 主矢的標(biāo)量大小和方向分別為：,平面任意力系的簡(jiǎn)化,3、主矩：對(duì)前述附加的平面力偶系M1=MO(F1),M2=MO(F2),Mn=MO(Fn),根據(jù)力偶的性質(zhì)可知，力偶對(duì)

10、剛體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，且轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的大小完全取決于力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向，因此該附加的平面力偶系可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶， 該合力偶之矩為 MO 。 MO 即稱為原平面任意力系對(duì)簡(jiǎn)化中心 O 的 “主矩”。 主矩的大小等于各個(gè)分力偶矩的代數(shù)和，亦即等于原任意力系 中各力 F1, F2, , Fn, 對(duì)簡(jiǎn)化中心 O 之矩的代數(shù)和， 即： Mo = M1 + M2 + + Mn = M =Mo(F) 4、注意事項(xiàng)： （1）關(guān)于主矢：選取不同的簡(jiǎn)化中心，主矢不會(huì)改變，因?yàn)橹魇缚偸堑扔谠我饬ο抵懈髁Φ氖噶亢停簿褪钦f(shuō)，主矢與簡(jiǎn)化中心 O 的 位置無(wú)關(guān)。 （2）關(guān)于主矩：主矩的大小等于原任意力系 中各力 F1, F

11、2, , Fn, 對(duì)簡(jiǎn)化中心 O 之矩的代 數(shù)和。因此，一般來(lái)說(shuō)，主矩與簡(jiǎn)化中心 O 的 位置有關(guān)，提到主矩時(shí)一定要指明是對(duì)哪一點(diǎn)的主矩。 （3）關(guān)于等效：主矢與主矩的共同作用才與原任意力系等效。,平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化可以得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力等于力系中各力的矢量和，作用于簡(jiǎn)化中心，稱為原力系的主矢；這個(gè)力偶的矩等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和，稱為原力系的主矩。,平面任意力系的簡(jiǎn)化,（5）結(jié)論,6、平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的簡(jiǎn)單總結(jié)：,FR=F =F MO = M1 + M2 + Mn =MO (F),平面任意力系的簡(jiǎn)化,（1）簡(jiǎn)化結(jié)果：,（2）主矢的矢量大小及主矩的大小分

12、別表示如下：,平面任意力系的簡(jiǎn)化,（3）主矢在X,Y軸的投影、主矢的標(biāo)量大小及方向分別表示如下：,應(yīng)用實(shí)例,平面任意力系的簡(jiǎn)化,應(yīng)用實(shí)例,平面任意力系的簡(jiǎn)化,應(yīng)用實(shí)例,平面任意力系的簡(jiǎn)化,四、平面力系的平衡方程及應(yīng)用,對(duì)平面任意力系簡(jiǎn)化（或稱合成）結(jié)果的分析,（1）FR=0，Mo0,（2）FR 0，Mo =0,（3）FR 0，Mo0,（4）FR=0，Mo = 0,平面力系的平衡方程及應(yīng)用,平面力系的平衡方程及應(yīng)用,根據(jù)以上分析可知， 平面任意力系平衡的充要條件是：FR=0，Mo = 0，即：,由此可得平面任意力系的平衡方程：,一矩式方程 （基本形式）,平面力系的平衡方程及應(yīng)用,二矩式方程,平面

13、力系的平衡方程及應(yīng)用,其中：A、B兩點(diǎn)的連線不能與x軸垂直。,三矩式方程,平面力系的平衡方程及應(yīng)用,其中：A、B、C三點(diǎn)不能共線。,平面力系的平衡方程及應(yīng)用,上述三組方程都可以用來(lái)求解平面任意力系的平衡問(wèn)題，可視具體情況選擇使用。由平面任意力系的平衡方程，還可方便地得到平面特殊力系的平衡方程。,平面力系的平衡方程及應(yīng)用,（1）平面匯交力系的平衡方程 由于平面匯交力系中各力的作用線匯交與同一點(diǎn)，所以各力對(duì)該點(diǎn)之矩均為零。就取該點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心O，則簡(jiǎn)化后其主矩為零的條件，即Mo(F)=0 的條件已自然滿足，故前述平面任意力系的平衡方程中，只剩有兩個(gè)獨(dú)立平衡方程，即平面匯交力系的平衡方程為：,兩個(gè)獨(dú)立

14、平衡方程可以解出兩個(gè)未知量。, M =0,平面力系的平衡方程及應(yīng)用,（2）平面力偶系的平衡方程 因?yàn)槠矫媪ε枷抵忻繉?duì)力偶在任意坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，也就是 Fx0, Fy0, 又知力偶對(duì)作用面內(nèi)任意點(diǎn)之矩恒等于力偶矩,故前述平面任意力系的平衡方程中，只剩有一個(gè)獨(dú)立平衡方程，即平面力偶系的平衡方程為：,一個(gè)獨(dú)立平衡方程只可以解出一個(gè)未知量。,平面力系的平衡方程及應(yīng)用,基本式,二矩式,（3）平面平行力系的平衡方程 在平面平行力系中，若選擇直角坐標(biāo)軸的y（或 x）軸與力系中各力的作用線相平行，則每個(gè)力在 x（或 y）軸上的投影均為零，即Fx0（或Fy0），故前述平面任意力系的平衡方程中，只剩有兩個(gè)

15、獨(dú)立平衡方程，即平面平行力系的平衡方程為：,注意:（a）其中A、B兩點(diǎn)的連線不能與各力平行。 （b）兩個(gè)獨(dú)立平衡方程可以解出兩個(gè)未知量。,（4）關(guān)于平面力系平衡問(wèn)題的解題步驟：,1）確定研究對(duì)象； 2）去除約束物，代之以相應(yīng)的約束反力； 3）畫受力圖(包括所有主動(dòng)力和約束反力)； 4）針對(duì)研究對(duì)象建立平衡方程，并求解。,平面力系的平衡方程及應(yīng)用,在長(zhǎng)方形平板的 O，A，B，C 四點(diǎn)上分別作用有四個(gè)力：F1=1 kN，F(xiàn)2=2 kN，F(xiàn)3=F4=3 kN（如圖），試求：（1）以上四個(gè)力構(gòu)成的力系對(duì)O點(diǎn)的簡(jiǎn)化結(jié)果。（2）該力系的最后合成結(jié)果。,F1,F2,F3,F4,O,A,B,C,x,y,2m,

16、3m,30,60,例 題 1. 8,平面力系的平衡方程及應(yīng)用,（1）求向O點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果,建立如圖坐標(biāo)系Oxy。,1.求主矢FR。,解：,例 題 1.8,主矢的方向,所以，主矢的大小, = 52.1,2. 求主矩Mo,Mo=Mo(F)=2F2cos60-2F3+3F4sin30=0.5kNm,例 題 1. 8,（2）求最后合成結(jié)果,由于主矢和主矩都不為零，所以最后合成結(jié)果是一個(gè)合力FR，如右圖所示。,合力FR到O點(diǎn)的距離,例 題 1. 8,FR = FR,如圖所示為一懸臂梁，A為固定端，設(shè)梁上受強(qiáng)度為q的均布載荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度為l，求固定端的約束力。,例 題 1. 9,1,1,3. 列平衡方程：,4. 解方程：,取梁為研究對(duì)象； 受力分析如圖；,解：(AB 梁受平面任意力系作用),例 題 1. 9,塔式起重機(jī)如圖所示。機(jī)架重G1=700 kN，作用線通過(guò)塔架的中心。最大起重量G2=200 kN，最大懸臂長(zhǎng)為12 m，軌道AB的間距為4 m。平衡荷重G3到機(jī)身中心線距離為6 m。試問(wèn)： (1)保證起重機(jī)在滿載和空載時(shí)都不翻倒，求平衡荷重G3應(yīng)為多少?