1、系統(tǒng)仿真技術(shù)第1章 連續(xù)系統(tǒng)模型描述,陳無畏 合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院,1.1 連續(xù)系統(tǒng)模型描述,連續(xù)系統(tǒng)-系統(tǒng)狀態(tài)變化在時(shí)間上是連續(xù)的，可以用方程式（常微分方程、偏微分方程、差分方程）描述系統(tǒng)模型。,一個(gè)系統(tǒng)可以定義成如下集合結(jié)構(gòu)： T：時(shí)間基，描述系統(tǒng)變化的時(shí)間坐標(biāo)。 T為整數(shù)則稱為離散時(shí)間系統(tǒng)， T為實(shí)數(shù)則稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。 X：輸入集， 代表外部環(huán)境對系統(tǒng)的作用。 X被定義為 ,其中 ，X即代表n個(gè)實(shí)值的輸入變量。 ：輸入段集，描述某個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)輸入模式，是(X,T)的子集。 Q：內(nèi)部狀態(tài)集，是系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)建模的核心。,：狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，定義系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)是如何變化 的。 它是映射：

2、 其含義：若系統(tǒng)在 時(shí)刻處于狀態(tài)q，并施加 一個(gè)輸入段 ，則 表示系統(tǒng) 處于 狀態(tài)。 ：輸出函數(shù)，它是映射： 輸 出函數(shù)給出了一個(gè)輸出段集。 Y：輸出段集，系統(tǒng)通過它作用于環(huán)境。,連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型典型形式,常微分方程 傳遞函數(shù) 狀態(tài)空間描述 權(quán)函數(shù)（脈沖過渡函數(shù)）,1.1.1常微分方程-輸入/輸出水平,（1） 其中n為系統(tǒng)的階次， 為系統(tǒng)的 結(jié)構(gòu)參數(shù)， 為輸入函數(shù)的結(jié)構(gòu)參 數(shù)，它們均為實(shí)常數(shù) 。,1.1.2 傳遞函數(shù)-輸入/輸出水平,若系統(tǒng)的初始條件為零，對（1）式兩邊取拉氏變換后稍加整理： (2) (2)式稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,1.1.3 狀態(tài)空間描述-狀態(tài)結(jié)構(gòu)水平,系統(tǒng)內(nèi)部模型狀態(tài)空間模型

3、。狀態(tài)空 間描述的一般形式為： 狀態(tài)方程 : (3) 輸出方程 : (4),1.2 模型結(jié)構(gòu)變換,連續(xù)系統(tǒng)仿真要將這個(gè)系統(tǒng)的模型在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)出來，首先要把系統(tǒng)的各種描述形式轉(zhuǎn)換成內(nèi)部模型-狀態(tài)空間模型，我們將其稱為模型結(jié)構(gòu)變換。,1.2.1 輸入/輸出水平模型到內(nèi)部模型的變換,假設(shè)一連續(xù)系統(tǒng)，它的數(shù)學(xué)模型如(5)式所示: （a0=1）(5) 今引進(jìn)n個(gè)狀態(tài)變量： ， ， ，,輸入/輸出水平模型到內(nèi)部模型的變換（續(xù)）,則有 將上述n個(gè)一階微分方程寫成矩陣形式可得 （6）,輸入/輸出水平模型到內(nèi)部模型的變換（續(xù)）,（7） 外部模型變換到內(nèi)部模型不唯一，所以仿 真模型也不唯一。一個(gè)系統(tǒng)有多種實(shí)現(xiàn)，

4、最 小實(shí)現(xiàn)的充要條件是(A、B、C)為完全能控 且完全能觀測。,1.2.2 系統(tǒng)狀態(tài)初始值變換,如果系統(tǒng)是非零初始條件，那么從外部模型變 換到內(nèi)部模型還必須考慮如何將給定的初始條件轉(zhuǎn) 變?yōu)橄鄳?yīng)的狀態(tài)變量的初始值。 若系統(tǒng)是由如下一般形式的n階微分方程來描 述： 系統(tǒng)初始條件為：,伴隨方程法,一階微分方程組的狀態(tài)變量記為 ， 如果它們滿足如下關(guān)系： （8） （9） （10） （11） 該狀態(tài)方程與原方程等價(jià)。,伴隨方程法（續(xù)）,證明： 將（8）兩邊分別進(jìn)行微分n次，可得： （12） 其中p為微分算子符號。對（9）式兩邊分別進(jìn)行n-j(j=1,2,n-1)次微分，可得： （13） 對（10）式也引

5、入微分算子： （14） 將（12）、（13）、（14）所包括的n+1個(gè)等式左 右兩邊分別相加，消去同類項(xiàng)，稍加整理后就得到原高階微 分方程，表明了兩者之間的等價(jià)關(guān)系。,伴隨方程法（續(xù)）,伴隨方程法明顯地表示了狀態(tài)變量與原輸入/輸出變量 及其高階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，因而易于進(jìn)行初始值的轉(zhuǎn)換。這 樣得到狀態(tài)方程及輸出方程： （15） 其中,伴隨方程法（續(xù)）,設(shè)a0=1,初值轉(zhuǎn)換方程： 伴隨方程有多種形式，因而得到的狀態(tài)方程也不 唯一。那么，實(shí)現(xiàn)這種初值轉(zhuǎn)換的條件是什么呢？,伴隨方程法（續(xù)）,考慮轉(zhuǎn)換后得到的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為: 即假定u的n階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)c0=0，已知系統(tǒng)的初始條件為: 則為了由上述初

6、始值求出狀態(tài)變量的初始值，可列出以下方 程:,伴隨方程法（續(xù)）,于是可得下列矩陣方程 (16) 其中,伴隨方程法（續(xù)）,由(16)式可得： (17) 即若 存在，則可由(17)式求出 x(t) 的初始 值。 由控制理論可知，是(A、B、C)的能觀判別 陣，若(A、B、C)是完全能觀的，則非奇異。這 就是說，由高階微分方程輸入/輸出變量初始值轉(zhuǎn)變 為狀態(tài)初始值的條件是：內(nèi)部模型(A、B、C)是完 全能觀的。,1.2.3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),控制系統(tǒng)由許多元件組合而成，這些元件的物理結(jié)構(gòu)和作用原理是多種多樣的，但拋開具體結(jié)構(gòu)和物理特點(diǎn)，從傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來看，可以劃分成幾種典型環(huán)節(jié)，常用的典型環(huán)

7、節(jié)有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)等。,1. 比例環(huán)節(jié),環(huán)節(jié)輸出量與輸入量成正比，不失真也無時(shí)間滯后的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，也稱無慣性環(huán)節(jié)。輸入量與輸出量之間的表達(dá)式為,c(t)=Kr(t),比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,式中K為常數(shù)，稱為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。,2. 慣性環(huán)節(jié)(非周期環(huán)節(jié)),慣性環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程是一個(gè)一階微分方程,其傳遞函數(shù)為,式中 T 慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) K 慣性環(huán)節(jié)的增益或放大系數(shù),當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，其單位階躍響應(yīng)為,單位階躍響應(yīng)曲線,慣性環(huán)節(jié)實(shí)例很多，如圖所示的R-L網(wǎng)絡(luò)，輸入為電壓u，輸出為電感電流i，其傳遞函數(shù),式中,3. 積分環(huán)節(jié),輸出量正

8、比于輸入量的積分的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，其動(dòng)態(tài)特性方程,其傳遞函數(shù),式中Ti為積分時(shí)間常數(shù)。,積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為,它隨時(shí)間直線增長，當(dāng)輸入突然消失，積分停止，輸出維持不變，故積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，如圖所示。,上圖為運(yùn)算放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)，輸入ui(t)，輸出u0(t)，其傳遞函數(shù)為,式中Ti = RC,4. 微分環(huán)節(jié),理想微分環(huán)節(jié)的特征輸出量正比于輸入量的微分，其動(dòng)態(tài)方程,其傳遞函數(shù),式中 Td 稱微分時(shí)間常數(shù),它的單位階躍響應(yīng)曲線,如圖所示，理想微分環(huán)節(jié)實(shí)際上難以實(shí)現(xiàn)，因此我們常采用帶有慣性的微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù),其單位階躍響應(yīng)為,曲線如下圖所示，實(shí)際微分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律下降，

9、若K值很大而Td值很小時(shí)，實(shí)際微分環(huán)節(jié)就愈接近于理想微分環(huán)節(jié)。,5. 二階振蕩環(huán)節(jié)(二階慣性環(huán)節(jié)),二階振蕩環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程為,其傳遞函數(shù),式中 為無阻尼自然振蕩角頻率，為阻尼比。,圖中所示為RLC網(wǎng)絡(luò)，輸入為u0(t)、輸出ui(t)，其動(dòng)態(tài)特性方程,其傳遞函數(shù),式中,6. 延遲環(huán)節(jié)(時(shí)滯環(huán)節(jié)),延遲環(huán)節(jié)是輸入信號加入后，輸出信號要延遲一段時(shí)間后才重現(xiàn)輸入信號，其動(dòng)態(tài)方程為,其傳遞函數(shù)是一個(gè)超越函數(shù),式中稱延遲時(shí)間,需要指出，在實(shí)際生產(chǎn)中，有很多場合是存在遲延的，比如皮帶或管道輸送過程、管道反應(yīng)和管道混合過程，多個(gè)設(shè)備串聯(lián)以及測量裝置系統(tǒng)等。遲延過大往往會(huì)使控制效果惡化，甚至使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。,

10、1.2.4 分解結(jié)構(gòu)水平轉(zhuǎn)換-面向結(jié)構(gòu)圖的模型變換,對于任何一個(gè)組合的典型環(huán)節(jié)都可以用狀態(tài)方程 表示：,（20）,面向結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)方程描述,面向結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)方程描述（續(xù)）,U=WY+W0y0 (21) W稱為系統(tǒng)的連接矩陣，它描述了系統(tǒng)內(nèi)部各環(huán)節(jié)連接情況，每個(gè)元 素Wij 表示第 j 個(gè)環(huán)節(jié)的輸出到第 i 個(gè)環(huán)節(jié)的輸入之間的聯(lián)接系數(shù)。 W0稱為外部輸入的連接矩陣，它描述了外部輸入對系統(tǒng)的作用情 況。對單輸入系統(tǒng)，W0是一個(gè)列矢量，Woj 表示外部輸入信號 y0 作用在 第j個(gè)環(huán)節(jié)上的作用系數(shù)。在上圖中，y0 只作用在第一個(gè)環(huán)節(jié)上，故W01 1。若為多輸入系統(tǒng)則W0也是一個(gè)矩陣，它的列數(shù)等于輸入量的

11、個(gè)數(shù)。,系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)換,將(21)式代入(20)式，則可得： （22） （23） 其中：Q=BDW，P=CWA ，V1=CW0 ， V2=DW0 如果Q 陣的逆存在，那么對(23)式兩邊左乘Q1，則得： （24） 這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一階常微分方程組。,系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)換（續(xù)）,說明： （1）矩陣方程的右端有兩項(xiàng)與外加作用信號 有關(guān)，一 項(xiàng)是 ，另一項(xiàng) 。若外加作用函數(shù)是單位階躍陣，此 時(shí) ，為了便于計(jì)算，就要求V2是零向量。 如果外加作用信號是階躍信號，那么必須限制外加作用信號 所用的那個(gè)環(huán)節(jié)Di=0。 （2）只有當(dāng)Q 陣能求逆時(shí)，才能獲得(14)式。當(dāng)系統(tǒng)中 各環(huán)節(jié)不存在純微分環(huán)節(jié)或純比例環(huán)節(jié)時(shí)就能保證

12、Q陣可以求 逆。 （3）關(guān)于Q 的逆陣不存在時(shí)的結(jié)構(gòu)變換，以下例說明：,結(jié)構(gòu)變換例子,則 Q=BDW P=CW-A V1=CW0,因?yàn)镼 陣中出現(xiàn)1、3兩列全零，所以Q -1不存在。其原因是1、3兩個(gè)環(huán)節(jié)是比例和微分環(huán)節(jié)。對于上述系統(tǒng)，可以將其結(jié)構(gòu)加以變換。,結(jié)構(gòu)變換例子（續(xù)）,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變換的程序法： 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： Q 陣中有(NM)列元素為全零，這說明有(NM)個(gè)環(huán) 節(jié)的Y不出現(xiàn)在方程的左端。也就是說，系統(tǒng)中有(NM)個(gè) 代數(shù)方程。 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變換程序法就是通過矩陣的初等變換，把系統(tǒng) 中(NM)個(gè)代數(shù)方程分離出來。具體做法，就是對Q、 P、 V各矩陣線性變換，使上述方程中的各矩陣變?yōu)?

13、， 從而Y變?yōu)?，方程變?yōu)椋?(25),結(jié)構(gòu)變換例子（續(xù)）,其中： (26),結(jié)構(gòu)變換例子（續(xù)）,在變換的過程中，對Q、P、V作列變換，將使 Y原來的編號改變。所以程序中應(yīng)將列變換的情況 記錄下來，以便在最后求出 后，經(jīng)過反變換而仍 能恢復(fù)Y。 完成變換后，系統(tǒng)可以分為M個(gè)微分方程與(N- M)個(gè)代數(shù)方程。而該M個(gè)微分組的 的逆存在。 因此: (27) 由此解得 ，然后再解(N-M)個(gè)代數(shù) 方程：,結(jié)構(gòu)變換例子（續(xù)）,(28) 由當(dāng) 時(shí)， ， 由此方程（28）可以寫成：,1.3 微分方程的線性化,實(shí)際的物理系統(tǒng)往往有間隙、死區(qū)、飽和等各類非線性現(xiàn)象。嚴(yán)格地講，幾乎所有實(shí)際物理和化學(xué)系統(tǒng)都是非線

14、性的。目前，線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，但非線性系統(tǒng)的理論還遠(yuǎn)不完善。因此，在工程允許范圍內(nèi)，盡量對所研究的系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，然后用線性理論進(jìn)行分析不失為一種有效的方法。,當(dāng)非線性因素對系統(tǒng)影響較小時(shí)，一般可直接將系統(tǒng)當(dāng)作線性系統(tǒng)處理。另外，如果系統(tǒng)的變量只發(fā)生微小的偏移，則可通過切線法進(jìn)行線性化，以求得其增量方程式。,非線性函數(shù)的線性化，是指將非線性函數(shù)在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級數(shù)，忽略掉高階無窮小量及余項(xiàng)，得到近似的線性化方程，來替代原來的非線性函數(shù)。,假如元件的輸出與輸入之間關(guān)系x2=f(x1)的曲線如圖，元件的工作點(diǎn)為(x10，x20)。將非線性函數(shù)x2= f(x1)在工作點(diǎn)(x10，

15、x20)附近展開成泰勒級數(shù),當(dāng)(x1x10)為微小增量時(shí)，可略去二階以上各項(xiàng)，寫成,其中 為工作點(diǎn)(x10，x20)處的斜率，即此時(shí)以工作點(diǎn)處的切線代替曲線，得到變量在工作點(diǎn)的增量方程，經(jīng)上述處理后，輸出與輸入之間就成為線性關(guān)系。,圖2-8為一鐵芯線圈，輸出為ui(t)，輸入為i(t)。 線圈的微分方程為,當(dāng)工作過程中線圈的電壓和電流只在工作點(diǎn)（u0,i0）附近變化時(shí)，即有,線圈中的磁通 對 也有增量變化，假如在i0附近連續(xù)可微，將在i0 附近展開成泰勒級數(shù)，即,因是微小增量，將高階無窮小量略去，得近似式,這就是鐵芯線圈的增量化方程，為簡便起見，常略去增量符號而寫成,1.4 方框圖,在控制工程

16、中，為了便于對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，常將各元件在系統(tǒng)中的功能及各部分之間的聯(lián)系用圖形來表示，即方框圖和信號流圖。,1.4.1 方框圖,方框圖也稱方塊圖或結(jié)構(gòu)圖，具有形象和直觀的特點(diǎn)。系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)中各元件功能和信號流向的圖解，它清楚地表明了系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系。構(gòu)成方框圖的基本符號有四種，即信號線、比較點(diǎn)、傳遞環(huán)節(jié)的方框和引出點(diǎn)。,1.5 在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示,線性系統(tǒng)理論中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達(dá)式等,而這些模型之間又有著某些內(nèi)在的等效關(guān)系。MATLAB主要使用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式來描述線性時(shí)不變系統(tǒng)(Linear Time Invariant簡記

17、為LTI)。,1.5.1 傳遞函數(shù),單輸入單輸出線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,其中mn。G(s)的分子多項(xiàng)式的根稱為系統(tǒng)的零點(diǎn),分母多項(xiàng)式的根稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)。令分母多項(xiàng)式等于零,得系統(tǒng)的特征方程為,D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在MATLAB下可由其分子和分母多項(xiàng)式唯一地確定出來,其格式為,sys=tf(num,den),其中num為分子多項(xiàng)式，den為分母多項(xiàng)式,num=b0,b1,b2,bm； den=a0,a1,a2,an；,對于其它復(fù)雜的表達(dá)式,如,可由下列語句來輸入,num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6); den=conv(1,

18、0,0,conv(1,3,1,2,3,4); G=tf(num,den),Transfer function:,1.5.2 傳遞函數(shù)的特征根及零極點(diǎn)圖,傳遞函數(shù)G(s)輸入之后,分別對分子和分母多項(xiàng)式作因式分解,則可求出系統(tǒng)的零極點(diǎn),MATLAB提供了多項(xiàng)式求根函數(shù)roots(),其調(diào)用格式為,roots(p),其中p為多項(xiàng)式。,例如,多項(xiàng)式p(s)=s3+3s2+4,p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i,反過來,若已知特征多項(xiàng)式的特征根,可調(diào)用MATLAB中的

19、poly( )函數(shù),來求得多項(xiàng)式降冪排列時(shí)各項(xiàng)的系數(shù),如上例,poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000,而polyval函數(shù)用來求取給定變量值時(shí)多項(xiàng)式的值,其調(diào)用格式為,polyval(p,a) 其中p為多項(xiàng)式;a為給定變量值。,例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5時(shí)值：,n=conv(3,2,1,1,4); value=polyval(n,-5) value=66,p,z=pzmap(num,den) 其中, p傳遞函數(shù)G(s)= numden的極點(diǎn) z傳遞函數(shù)G(s)= numden的零點(diǎn) 例如,傳遞函數(shù),傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的零極點(diǎn)

20、圖,采用pzmap()函數(shù)來完成,零極點(diǎn)圖上,零點(diǎn)用“?！北硎?極點(diǎn)用“”表示。其調(diào)用格式為：,用MATLAB求出G(s)的零極點(diǎn),H(s)的多項(xiàng)式形式,及G(s)H(s)的零極點(diǎn)圖 。,numg=6,0,1; deng=1,3,3,1; z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)的零點(diǎn) p=roots(deng) p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的極點(diǎn) 1.0000+0.0000i, n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3; numh=conv(n1,n2); denh=

21、conv(d1,conv(d2,d3); printsys(numh,denh),numh/denh=,%H(s)表達(dá)式,pzmap(num,den) %零極點(diǎn)圖 title(pole-zero Map),零極點(diǎn)圖如圖所示 ：,1.5.3 控制系統(tǒng)的方框圖模型,若已知控制系統(tǒng)的方框圖,使用MATLAB函數(shù)可實(shí)現(xiàn)方框圖轉(zhuǎn)換。,1.串聯(lián) 如圖所示G1(s)和G2(s)相串聯(lián),在MATLAB中可用串聯(lián)函數(shù)series( )來求G1(s)G2(s),其調(diào)用格式為 num,den=series(num1,den1,num2,den2) 其中：,2.并聯(lián) 如圖所示G1(s)和G2(s)相并聯(lián),可由MATL

22、AB的并聯(lián)函數(shù)parallel( )來實(shí)現(xiàn),其調(diào)用格式為,num,den=parallel(num1,den1,num2,den2),其中：,3.反饋,反饋連接如圖所示。使用MATLAB中的feedback( )函數(shù)來實(shí)現(xiàn)反饋連接,其調(diào)用格式為,num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign),式中：,sign為反饋極性,若為正反饋其為1,若為負(fù)反饋其為1或缺省。,例如 G(s)= ,H(s)= ,負(fù)反饋連接。,numg=1,1;deng=1,2; numh=1;denh=1,0; num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1

23、); printsys(num,den),num/den=,MATLAB中的函數(shù)series,parallel和feedback可用來簡化多回路方框圖。另外,對于單位反饋系統(tǒng),MATLAB可調(diào)用cloop( )函數(shù)求閉環(huán)傳遞函數(shù),其調(diào)用格式為,num,den=cloop(num1,den1,sign),1.5.4 控制系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型,傳遞函數(shù)可以是時(shí)間常數(shù)形式,也可以是零極點(diǎn)形式,零極點(diǎn)形式是分別對原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母進(jìn)行因式分解得到的。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了零極點(diǎn)模型與時(shí)間常數(shù)模型之間的轉(zhuǎn)換函數(shù),其調(diào)用格式分別為,z,p,k= tf2zp(num,den) num,den=

24、 zp2tf(z,p,k),其中第一個(gè)函數(shù)可將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)表示形式,而第二個(gè)函數(shù)可將零極點(diǎn)表示方式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。,例如 G(s)=,用MATLAB語句表示,num=12 24 12 20;den=2 4 6 2 2; z,p,k=tf2zp(num,den) z= 1.9294 0.03530.9287i 0.03530.9287i,p=0.95671.2272i 0.95671.2272i 0.04330.6412i 0.04330.6412i k=6,即變換后的零極點(diǎn)模型為 G(s)=,可以驗(yàn)證MATLAB的轉(zhuǎn)換函數(shù),調(diào)用zp2tf()函數(shù)將得到原傳遞函數(shù)模型。 num,

25、den=zp2tf(z,p,k) num = 0 6.0000 12.0000 6.0000 10.0000 den = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.0000,即,1.5.5 狀態(tài)空間表達(dá)式,狀態(tài)空間表達(dá)式是描述系統(tǒng)特性的又一種數(shù)學(xué)模型,它由狀態(tài)方程和輸出方程構(gòu)成,即 x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t),式中 x(t)Rn 稱為狀態(tài)向量,n為系統(tǒng)階次;,ARnn 稱為系統(tǒng)矩陣; BRnp 稱為控制矩陣,p為輸入量個(gè)數(shù); CRqn 稱為輸出矩陣; DRqp 稱為連接矩陣,q為輸出量個(gè)數(shù)。,在一般情況下,控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式項(xiàng)簡記

26、為(A,B,C,D)。,例如：設(shè)一個(gè)雙輸入雙輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,系統(tǒng)模型可由MATLAB命令直觀地表示,A=1,2,4;3,2,6;0,1,5 B=4,6;2,2;0,2 C=0,0,1;0,2,0 D= zeros(2,2),MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱提供了由狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)或由傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達(dá)式的轉(zhuǎn)換函數(shù)ss2tf( )和tf2ss( )。其調(diào)用格式為,num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu),反過來,若已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù),求取系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的調(diào)用格式為 A,B,C,D=tf2ss(num,den),例如系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

27、,num=1,2,3; den=1,3,6,1; A,B,C,D=tf2ss(num,den),A= -3 -6 -1 1 0 0 0 1 0 B = 1 0 0 C = 1 2 3 D = 0,1.6 用MATLAB和SIMULINK進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析,1.6.1 單位脈沖響應(yīng) 當(dāng)輸入信號為單位脈沖函數(shù)(t)時(shí)，系統(tǒng)輸出 為單位脈沖響應(yīng)，MATLAB中求取脈沖響應(yīng)的函數(shù)為 impulse( )，其調(diào)用格式為 y，x，t=impulse(num，den，t) 或 impulse(num，den) 式中G(s)=num/den； t為仿真時(shí)間； y為時(shí)間t的 輸出響應(yīng)；x為時(shí)間t的狀態(tài)響應(yīng)。,例 試求下列系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) MATLAB命令為： t=0：0.1：40； num=1； den=1，0.3，1； impulse(num，den，t)； grid； title(Unit-impulse Response of G(s)=1/(s2+0.3s+1) 其響應(yīng)結(jié)果如圖所示。,例 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 求取其單位脈沖響應(yīng) 的MATLAB命令為 t=0：0.1：10；num=1； den=1，1，1； y，x，t=impulse(num，den，t) plot(t，y)；grid xlabel(t)； ylable(y)； 其響應(yīng)結(jié)果如