1、,倍長(zhǎng)中線法 基本要點(diǎn)與應(yīng)用,試講人：,1,授課對(duì)象：初二年級(jí)學(xué)生 基本掌握三角形、全等三角形知識(shí)后學(xué)習(xí)本課內(nèi)容,主要內(nèi)容,2,2,學(xué)習(xí)導(dǎo)入,2312,在ABC中，D是BC的重點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD,你能得出哪些結(jié)論呢？,3, ACD BDE ABD ECD ABEC是平行四邊形,AC=BE AB=EC ，ACBE ABBC,學(xué)習(xí)導(dǎo)入,2312,在ABC中，D是BC的重點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD, ACD BDE ABD ECD ABEC是平行四邊形,AC=BE AB=EC ，ACBE ABBC,A,C,B,E,D,可得,由圖觀察，輔助線有什么特點(diǎn)？,4,倍長(zhǎng)中線法,5,基本要點(diǎn)

2、延長(zhǎng)底邊的中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等， 連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，構(gòu)造出全等三角形、平行四邊形,想一想 通過(guò)添加輔助線，還有哪些方式可以構(gòu)造全等三角形？ 除了構(gòu)造SAS全等三角形，可否構(gòu)造AAS的全等三角形？,倍長(zhǎng)中線法,6,方法總結(jié)： 延長(zhǎng)一倍中線 作直角三角形 過(guò)中點(diǎn)另作一條直線，與另一邊相交，延長(zhǎng)相等線段 核心點(diǎn)：利用中點(diǎn)延長(zhǎng)相等線段、構(gòu)造直角、作被中點(diǎn)平分的線段的方法構(gòu)造全等三角形、平行四邊形,實(shí)戰(zhàn)演練證明線段相等,7,例一: 已知在ABC 中,AD是BC 邊上的中線,E是AD 上一點(diǎn),且 BE=AC,延長(zhǎng)BE交AC于F,求證:AF=EF,實(shí)戰(zhàn)演練,8,解： 作輔助線，使ED=DM，連接CM，

3、由SAS可得BEDCMD 故BED=EMC BE=AC CM=BE AC=CM, EMC=CAE=BED BED=AEF（對(duì)頂角） CAE=AEF，AF=EF 解題要點(diǎn)： 延長(zhǎng)中線ED，構(gòu)造平行四邊形,例一: 已知在ABC 中,AD是BC 邊上的中線,E是AD 上一點(diǎn),且 BE=AC,延長(zhǎng)BE交AC于F,求證:AF=EF,M,實(shí)戰(zhàn)演練證明角相等,9,例二：已知CD=AB,BDA=BAD，AE是ABD的中線，求證：C=BAE,實(shí)戰(zhàn)演練,10,解： 延長(zhǎng)中線AE，使EF=AE，連接BF,DF,可知ABFD為平行四邊形， 故AB=DF，DF=CD BAD+ABD=ADC（鄰角和=外角） BDA +E

4、DF=ADF 且BDA=BAD（已知） ，ABD=EDF（內(nèi)錯(cuò)角相等） ADC=ADF AD=AD ADC=ADF DC=DF ADCADF（SAS），C=BAE,例二：已知CD=AB,BDA=BAD，AE是ABD的中線，求證：C=BAE,F,解題要點(diǎn)： 延長(zhǎng)中線AE，構(gòu)造平行四邊形。利用已知條件，證明全等。,實(shí)戰(zhàn)演練探究線段位置關(guān)系,11,例三: 已知AD是 ABC 的中線,AB=AE,AC=AF,BAE=FAC=90, 試探究線段AD與EF 的位置關(guān)系,并加以證明,實(shí)戰(zhàn)演練,12,例三: 已知AD是 ABC 的中線,AB=AE,AC=AF,BAE=FAC=90, 試探究線段AD與EF 的位

5、置關(guān)系,并加以證明,解： 延長(zhǎng)AD到M,使DM=AD，AM=2AD， 可得 BDM CDA，CAD=DMB，AC/BM BM=AC, AF=AC BM=AF BAE=FAC=90 EAF +BAC=180 ABM+BAC=180（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)） 故EAF=ABM BM=AF EAF=ABM AB=EA 得EAFABM,M,N,實(shí)戰(zhàn)演練,13,例三: 已知AD是 ABC 的中線,AB=AE,AC=AF,BAE=FAC=90, 試探究線段AD與EF 的位置關(guān)系,并加以證明,BAD=NAF EAN=DAC 延長(zhǎng)線構(gòu)造的對(duì)頂角相等 DAC=DMB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） AEF +EAN

6、= ANF FAN+EFA = ANE ANF+ ANE=180 ANF=ANE=90 ADEF,M,N,解題要點(diǎn)： 延長(zhǎng)中線AD，構(gòu)造平行四邊形。在證明全等三角形的基礎(chǔ)上，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的數(shù)量關(guān)系,實(shí)戰(zhàn)演練探究角的數(shù)量關(guān)系,14,例四：在平行四邊形 ABCD中,AB=5,BC=10,F為AD 的中點(diǎn),CEAB 于E,設(shè)ABC=0(60090）， 是否存在正整數(shù) k,使得EFD=kAEF?若存在,求出k 的值:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。,實(shí)戰(zhàn)演練,15,解： k存在且k=3,理由如下： 連接CF，并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G, F為AD的中點(diǎn),AF=FD, 在平行四邊形ABCD中,

7、ABCD,G=DCF 在AFG和DFC中, G=DCF AFG=DFC(對(duì)頂角相等), AF=FD AFGDFC(AAS),CF=GF（F為CG中點(diǎn)）,AG=CD CEAB EF=GF(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半) AEF=G AB=5,BC=CD=10,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn), AG=5,AF= AD=5 AG=AF，AFG=G 在EFG中,EFC=AEF+G=2AEF, 又CFD=AFG(對(duì)頂角相等), CFD=AEF EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF, 因此,存在正整數(shù)k=3,使得EFD=3AEF,G,小結(jié)： 倍長(zhǎng)中線法只是解題的第一步！注重把握中點(diǎn)與直角三角形相關(guān)

8、定理的結(jié)合，以及等邊等角、對(duì)頂角相等相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用。,實(shí)戰(zhàn)演練 一題多解,16,例五：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF,求證：BD=CE,實(shí)戰(zhàn)演練,17,例五：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF,求證：BD=CE,解法一: 過(guò)點(diǎn)D作DMAC，交BC于M DMB=ACB,FDM=E AB=AC B=ACB B=DMB BD=DM 在DMF和ECF中 MDF=E DF=EF MFD=CFE（對(duì)頂角相等） DMFECF(ASA） 可得DM=CE BD=DM BD=CE,實(shí)戰(zhàn)演練,18,例五：

9、已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF,求證：BD=CE,解法二: 過(guò)點(diǎn)E作EGAB，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G EGAB B=G AB=AC B=ACB 又ACB=ECG G=ECG，CE=GE 在BDF和GEF中 B=G BFD=EFG DF=EF BDFGEF(AAS) GE=BD CE=GE BD=CE,G,實(shí)戰(zhàn)演練,19,例五：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF,求證：BD=CE,解法三: 過(guò)點(diǎn)D作DMBC,交BC于M，過(guò)點(diǎn)E作ENBC,交BC延長(zhǎng)線于N，在DMF和ENF中 DMF= ENF=90 MFC= NFE DF=EF 可得DMFENF