1、第一章 靜電場,Steady Electric Field,基本方程、分界面上的銜接條件,邊值問題、惟一性問題,分離變量法,有限差分法,鏡像法和電軸法,電容和部分電容,靜電能量與力,靜電場的應用,環(huán)路定律、高斯定律,電場強度和電位,序,下 頁,返 回,1.0 序,靜電場是相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。它是電磁理論最基本的內(nèi)容。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可應用推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。,本章要求 深刻理解電場強度、電位移矢量、電位、極化等概念。掌握靜電場基本方程和分界面銜接條件。掌握電位的邊值問題及其解法。熟練掌握電場、電位、電容、能量、力的各種計算方

2、法。,Introduction,下 頁,上 頁,返 回,靜電參數(shù)(電容及部分電容),靜電能量與力,有限差分法,鏡像法,電軸法,分離變量法,直接積分法,數(shù)值法,解析法,邊值問題,邊界條件,電位,基本方程,D 的散度,基本物理量 E、D,基本實驗定律（庫侖定律）,靜電場知識結(jié)構(gòu),E 的旋度,下 頁,上 頁,返 回,1.1.1 庫侖定律 (Coulombs Low),Electric Field Intensity and Electric Potential,N (牛頓),適用條件：,庫侖定律,1.1 電場強度和電位,圖1.1.1 兩點電荷間的作用力,兩個可視為點電荷的帶電體之間的相互作用力;,下

3、 頁,上 頁,返 回,1.1.2 電場強度 ( Electric Intensity ),V/m ( N/C ),定義：電場強度 E 等于單位正電荷所受的電場力F,（a） 單個點電荷產(chǎn)生的電場強度,V/m,圖1.1.2 點電荷的電場,一般表達式為,下 頁,上 頁,返 回,（b) n個點電荷產(chǎn)生的電場強度 ( 矢量疊加原理 ),（c) 連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度,圖1.1.4 體電荷的電場,圖1.1.3 矢量疊加原理,元電荷產(chǎn)生的電場,下 頁,上 頁,返 回,線電荷分布,體電荷分布,面電荷分布,下 頁,上 頁,返 回,解: 軸對稱場，圓柱坐標系。,例1.1.1 真空中有一長為L的均勻帶電直導線，

4、電荷線密度為 ,試求P 點的電場。,下 頁,上 頁,返 回,圖1.1.5 帶電長直導線的電場,無限長直導線產(chǎn)生的電場,平行平面場。,下 頁,上 頁,返 回,矢量積分與標量積分；,點電荷是電荷體分布的極限情況，可以把它看成是一個體積很小，電荷密度為 ，總電量不變的帶電小球體。,基本概念,平行平面場與軸對稱場；,點電荷的相對概念和數(shù)學模型,下 頁,上 頁,返 回,矢量恒等式,1. 靜電場的旋度,1.1.3 旋度和環(huán)路定律 ( Curl and Circuital Law ),點電荷電場,取旋度,下 頁,上 頁,返 回,2. 靜電場的環(huán)路定律,電場力作功與路徑無關,靜電場是保守場，是無旋場。,由St

5、okes定理，靜電場在任一閉合環(huán)路的環(huán)量,說明,即,下 頁,上 頁,返 回,1.1.4 電位函數(shù) ( Electric Potential ),負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。在直角坐標系中,1. E 與 的微分關系,根據(jù)E與 的微分關系，試問靜電場中的某一點,( ),( ),?,?,下 頁,上 頁,返 回,所以,2. 已知電荷求電位,點電荷群,連續(xù)分布電荷,以點電荷為例,下 頁,上 頁,返 回,3. 與 E 的積分關系,圖1.1.6 E 與 的積分關系,線積分,式中,設P0為電位參考點，即 ， 則P點電位為,所以,下 頁,上 頁,返 回,4. 電位參考點,例如：點電荷產(chǎn)生的電位：,

6、點電荷所在處不能作為參考點,場中任意兩點之間的電位差與參考點無關。,選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單。,電位參考點可任意選擇，但同一問題，一般只能選取一個參考點。,下 頁,上 頁,返 回,電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點。,電荷分布在無窮遠區(qū)時，選擇有限遠處為參考點，為什么？,見參考書電磁學專題研究P591P597,下 頁,上 頁,返 回,5) 電力線與等位線（面）,E 線微分方程,直角坐標系,當取不同的 C 值時，可得到不同的等位線( 面 )。,等位線(面)方程,曲線上任一點的切線方向是該點電場強度 E 的方向。,電位相等的點連成的曲面稱為等位面。,1.1.7 電力線方程,下

7、頁,上 頁,返 回,解： 在球坐標系中,所以,用二項式展開，又有rd，得,例1.2.1 畫出電偶極子的等位線和電力線 ( rd ) 。,圖1.1.8 電偶極子,下 頁,上 頁,返 回,電力線方程 ( 球坐標系 ) ：,等位線方程 ( 球坐標系 ) ：,將 和 代入 E 線方程,表示電偶極矩（dipole moment)，方向由,-q 指向 +q。,圖1.1.9 電偶極子的等位線和電力線,下 頁,上 頁,返 回,電力線與等位線（面）的性質(zhì)：,圖1.1.10 點電荷與接地導體的電場,圖1.1.11 點電荷與不接地導 體的電場,E 線不能相交,E 線起始于正電荷，終 止于負電荷;,E 線愈密處，場強

8、愈大;,E 線與等位線（面）正交；,下 頁,上 頁,返 回,圖1.1.12 介質(zhì)球在均勻電場中,圖1.1.13 導體球在均勻電場中,圖1.1.14 點電荷位于無限大介質(zhì)上方,圖1.1.15 點電荷位于無限大導板上方,下 頁,上 頁,返 回,作散度運算,1.2.1 真空中的高斯定律 (Gausss Theorem in Vacuum),高斯定律的微分形式,1. E 的散度,說明 靜電場是有源場，電荷是電場的通量源。,1.2 高斯定律,Gausss Theorem,下 頁,上 頁,返 回,2. E 的通量,S 面上的 E 是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。,E 的通量等于閉合面 S 包圍的凈電荷。,下 頁

9、,上 頁,返 回,1.2.2. 電介質(zhì)中的高斯定律 (Gausss Theorem in Dielectric),1. 靜電場中導體的性質(zhì),導體內(nèi)電場強度 E 為零，靜電平衡；,導體是等位體，導體表面為等位面；,電場強度垂直于導體表面，電荷分布在導體表面，,接地導體都不帶電。（ ）,一導體的電位為零，則該導體不帶電。 （ ）,任何導體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。 （ ）,下 頁,上 頁,返 回,2. 靜電場中的電介質(zhì),電介質(zhì)在外電場作用下發(fā)生極化，形成有向排列；,電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷 (polarized charge)；,極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。,下 頁,上

10、頁,返 回,極化強度P ( polarization intensity )表示電介質(zhì)的極化程度，即,實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中,電介質(zhì)的極化率,各向同性媒質(zhì) 媒質(zhì)特性不隨電場的方向改變,反之，稱為各向異性媒質(zhì)；,線性媒質(zhì) 媒質(zhì)參數(shù)不隨電場的值而變化，反之，稱為非線性媒質(zhì)；,均勻媒質(zhì) 媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標而變化，反 之，稱為非均勻媒質(zhì)。,下 頁,上 頁,返 回,極化強度 P 是電偶極矩體密度，單個電偶極子產(chǎn)生的電位,體積 V 內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位,3. 極化強度與極化電荷的關系,圖1.2.4 電偶極子產(chǎn)生的電位,下 頁,上 頁,返 回,矢量恒等式：,下 頁,上 頁,返 回,圖1

11、.2.5 體積 V 內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位,極化電荷面密度,下 頁,上 頁,返 回,思考,根據(jù)電荷守恒定律，極化電荷的總和為零,電介質(zhì)均勻極化時，極化電荷體密度,有電介質(zhì)時，場量為,下 頁,上 頁,返 回,4. 電介質(zhì)中的高斯定律,取體積分,下 頁,上 頁,返 回,在各向同性介質(zhì)中,介電常數(shù) F/m,其中 相對介電常數(shù)，無量綱量。,構(gòu)成方程,下 頁,上 頁,返 回,例1.2.1 平板電容器中有一塊介質(zhì),畫出D 、E 和 P 線分布。,思考,D 線由正的自由電荷出發(fā)，終止于負的自由電荷；,E 線由正電荷出發(fā)，終止于負電荷；,P 線由負的極化電荷出發(fā)，終止于正的極化電荷。,電介質(zhì)內(nèi)部的電場強度是否減

12、少了？,下 頁,上 頁,返 回,例 1.2.2 若點電荷q 分別置于金屬球殼內(nèi)外，問,（1) 穿過閉合面（金屬球殼）的 D 通量是多少？,（2) 閉合面上的 D 與 q 有關嗎？,（3) 若在金屬球殼外放置電介質(zhì)，重問 1 )，閉合 面上 的 D 與電介質(zhì)有關嗎？,下 頁,上 頁,返 回,圖1.2.7 點電荷 q 分別置于金屬球殼的內(nèi)外,計算技巧：,a） 分析場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律 求解。,b）選擇適當?shù)拈]合面作為高斯面，使 中的 D 可作為常數(shù)提出積分號外。,高斯定律適用于任何情況，但僅具有一定對 稱性的場才有解析解。,5. 高斯定律的應用,下 頁,上 頁,返 回,例1.2.3

13、試求電荷線密度為 的無限長均勻帶電體的電場。,解: 分析場分布,取圓柱坐標系,由,得,下 頁,上 頁,返 回,圖1.2.8 無限長均勻帶電體,球殼內(nèi)的電場,球殼外的電場,例1.2.4 哪些區(qū)域的電場能用高斯定律直接求解？,下 頁,上 頁,返 回,圖1.2.10 q分別在金屬球內(nèi)外,圖1.2.9 q在金屬球殼內(nèi),1.3 基本方程、分界面上的銜接條件,1.3.1 基本方程 ( Basic Equation ),靜電場是有源無旋場，靜止電荷是靜電場的源。,Basic Equation and Boundary Condition,靜電場的基本方程為,微分形式,積分形式,構(gòu)成方程,下 頁,上 頁,返

14、回,矢量 A 可以表示一個靜電場。,能否根據(jù)矢量場的散度判斷該場是否靜電場?,例1.3.1 已知 試判斷它能否表示靜電場？,解: 根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),思考,下 頁,上 頁,返 回,包圍點 P 作高斯面 ( )。,1.3.2 分界面上的銜接條件（Boundary Condition),1. D 的銜接條件,則有,根據(jù),圖1.3.1 介質(zhì)分界面,D 的法向分量不連續(xù),當 時， D 的法向分量連續(xù)。,下 頁,上 頁,返 回,2. E 的銜接條件,圍繞點 P 作一矩形回路( )。,E 的切向分量連續(xù)。,根據(jù),則有,3. 折射定理,當交界面上 時，,折射定律,下 頁,上 頁,返 回,圖1.3

15、.2 介質(zhì)分界面,4、 的銜接條件,設 P1 與 P2 位于分界面兩側(cè)，,由 ，其中,圖1.3.3 電位的銜接條件,下 頁,上 頁,返 回,說明 （1）導體表面是等位面，E 線與導體表面垂直；,圖1.3.4 導體與電介質(zhì)分界面,例1.3.2 試寫出導體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件。,解: 分界面銜接條件,導體中 E0 ，分解面介質(zhì)側(cè),（2）導體表面上任一點的 D 等于該點的 。,下 頁,上 頁,返 回,解：忽略邊緣效應,圖(a),圖(b),例1.3.3 試求兩個平行板電容器的電場強度。,下 頁,上 頁,返 回,圖1.3.5 平行板電容器,1.4 邊值問題、惟一性定理,1.4.1 泊松方程與拉普拉

16、斯方程 (Poissons Equation and Laplaces Equation),泊松方程,拉普拉斯算子,Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem,下 頁,上 頁,返 回,1.4.2 邊值問題（Boundary Problem),邊值問題,微分方程,邊界條件,初始條件,場域邊界條件(待講）,分界面銜 接條件,強制邊界條件 有限值,自然邊界條件 有限值,泊松方程,拉普拉斯方程,下 頁,上 頁,返 回,場域邊界條件,1）第一類邊界條件（狄里赫利條件，Dirichlet),2）第二類邊界條件（諾依曼條件 Neumann),3）第三類邊界條件

17、,已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合,已知邊界上導體的電位,已知邊界上電位的法向?qū)?shù)(即電荷面密度 或 電力線),下 頁,上 頁,返 回,計算法,實驗法,解析法,數(shù)值法,實測法,模擬法,邊 值 問 題,下 頁,上 頁,返 回,例1.4.2 試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。,解：根據(jù)場分布的對稱性確定計算場域，邊值問題,（陰影區(qū)域）,下 頁,上 頁,返 回,圖1.4.1 纜心為正方形的 同軸電纜,通解,例1.4.3 試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場。,解：采用球坐標系,分區(qū)域建立方程,邊界條件,參考電位,下 頁,上 頁,返 回,圖1.4.2 體電荷分布的球體,電場強度（球坐標梯度公式）：,得

18、到,圖1.4.3 隨r變化曲線,下 頁,上 頁,返 回,答案:（C ）,1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem),例1.4.4 圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？,惟一性定理 ： 在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是惟一的。,下 頁,上 頁,返 回,圖1.4.4 平板電容器外加電源U0,1.5 分離變量法,分離變量法采用正交坐標系，將變量分離后得到微分方程的通解， 當場域邊界與正交坐標面重合或平行時，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。,1.5.1 解題的一般步驟：,Separation Variable Method,分離變量，將偏微分方程分離成幾個常微

19、分方程；,解常微分方程，并疊加得到通解；,寫出邊值問題（微分方程和邊界條件）；,利用邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位的解。,下 頁,上 頁,返 回,例1.5.1 試求長直接地金屬槽內(nèi)電位的分布。,解: 邊值問題,1.5.2 應用實例,1. 直角坐標系中的分離變量法（二維場）,下 頁,上 頁,返 回,分離變量,設,-分離常數(shù),代入微分方程，,下 頁,上 頁,返 回,代入邊界條件，確定積分常數(shù),通解,沿 x方向作正弦變化，,下 頁,上 頁,返 回,圖1.5.2 雙曲函數(shù),比較系數(shù),當 時，,當 時，,下 頁,上 頁,返 回,若金屬槽蓋電位 ，再求槽內(nèi)電位分布,通解,等式兩端同乘以 ，然后從 積分

20、,左式,當 時，,下 頁,上 頁,返 回,右式 ,代入式（1）,代入通解,n奇數(shù),下 頁,上 頁,返 回,圖1.5.3 接地金屬槽內(nèi) 的等位線分布,解： 取圓柱坐標系，邊值問題,根據(jù)對稱性,例1.5.2 垂直于均勻電場 E 放置 一根無限長均勻介質(zhì)圓柱棒 ， 試求 圓柱內(nèi)外 和 E 的分布。,下 頁,上 頁,返 回,圖1.5.4 均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒,當 時，,當 時，,代入微分方程,分離變量, 設,通解,取 n2 = 常數(shù)，令,下 頁,上 頁,返 回,根據(jù) ， 比較系數(shù)得到,當 時，,根據(jù),利用給定邊界條件確定積分常數(shù),當 時，,通解,下 頁,上 頁,返 回,比較系數(shù),當n=1時，,當 時

21、，An=Bn= 0， 則最終解,由分界面 的銜接條件，得,下 頁,上 頁,返 回,圖1.5.5 均勻外電場中介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場,介質(zhì)柱內(nèi)電場均勻，并與外加電場 E0 平行，且 E2 E1 。,下 頁,上 頁,返 回,1.6 有限差分法,1.6.1 二維泊松方程的差分格式 (Difference Form of 2D Poissons Equation),（1）,二維靜電場邊值問題,Finite Difference Method,基本思想：將場域離散為許多網(wǎng)格 ，應用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù) 的微分方程問題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點上 的代數(shù)方程組的問題。,（2）,下 頁,上 頁,返 回,1.6.1

22、有限差分的網(wǎng)格分割,令 h = x - x0，將 x = x1 和 x3 分別代入式 ( 3 ),（3）,由式（4）+（5）,（6）,（7）,同理,沿 x方向在 x0 處的泰勒公式展開為,下 頁,上 頁,返 回,將式(6)、式(7)代入式(1)，得到,當場域中,即,即,若場域離散為矩形網(wǎng)格，差分格式為,1.6.2 矩形網(wǎng)格剖分,五點差分格式,下 頁,上 頁,返 回,1.6.2 邊界條件離散化（Discrete Boundary Condition),第二類邊界條件,第一類邊界條件,分界面銜接條件,對稱邊界條件,其中,圖1.6.5 介質(zhì)分界面,下 頁,上 頁,返 回,圖1.6.3 對稱邊界,圖1

23、.6.4 對稱分界,1.6.3 差分方程組的求解方法 ( Solution Method ),1、高斯賽德爾迭代法,式中：,迭代過程直到節(jié)點電位滿足 為止。,2、超松弛迭代法,式中：a 加速收斂因子（1 a 2）,下 頁,上 頁,返 回,圖1.6.5 網(wǎng)格編號,收斂速度與 a 有明顯關系：,收斂因子（ a ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次數(shù)（ N） 1000 269 174 143 122 133 171 發(fā)散,最佳收斂因子的經(jīng)驗公式（不唯一）,（正方形場域、正方形網(wǎng)格）,（矩形場域、正方形網(wǎng)格）,收斂速度與電位初始值及網(wǎng)格剖分粗細有關；,迭代次

24、數(shù)與工程精度 有關。,下 頁,上 頁,返 回,邊界節(jié)點賦已知電位值,賦節(jié)點電位初始值,累計迭代次數(shù) N=0,N=N+1,按超松弛法進行一次迭代，求,打印,N,Y,程序框圖,下 頁,上 頁,返 回,上機作業(yè)要求：,1. 試用超松弛迭代法求解接地金屬槽內(nèi)電位的分布。,給定邊值：如圖示；,已知：,計算：迭代次數(shù) N =? , 分布。,給定初值：,誤差范圍：,下 頁,上 頁,返 回,圖1.6.6 接地金屬槽的網(wǎng)格剖分,給定邊值：如圖示；,已知：,2. 按對稱場差分格式求解電位的分布,計算：1) 迭代次數(shù) N = ? , 分布；,給定初值：,誤差范圍：,2) 按電位差 畫出槽中等位線。,下 頁,上 頁,

25、返 回,圖1.6.7 接地金屬槽內(nèi)半場域的網(wǎng)格剖分,3.選做題,已知：無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導體的橫截面如圖示，且給定參數(shù)為,圖1.6.8 無限長矩形屏蔽空 腔中長直矩形導體的橫截面,要求 用超松弛選代法求解無限長矩形屏蔽空腔 中長直矩形導體周圍的電位分布;,畫出屏蔽腔中矩形導體周圍等位線分布;,下 頁,上 頁,返 回,1.7 鏡像法與電軸法,1.7.1 鏡像法（Image Method),1. 平面導體的鏡像,圖1.7.1 平面導體的鏡像,Image Method and Electric Axis Method,方程相同，邊界條件相同，解惟一。,下 頁,上 頁,返 回,空氣中除點電荷

26、外,，,a,地面上感應電荷的總量為,（方向指向地面）,例1.7.1 試求空氣中點電荷 q 在地面引起的感應電荷分布。,解：設點電荷 q 鏡像后,圖1.7.2 地面電荷分布,下 頁,上 頁,返 回,2. 球面導體的鏡像,點電荷位于接地導體球外的邊值問題,（除q點外的空間),設鏡像電荷 如圖，球面電位,下 頁,上 頁,返 回,圖1.7.3 點電荷對接地導體球的鏡像,將 r1, r2 代入方程 ，得,聯(lián)立求解,得到,下 頁,上 頁,返 回,球外任一點 P 的電位與電場為,圖1.7.5 球外的電場分布,鏡像電荷放在當前求解的場域外。,鏡像電荷等于負的感應電荷總量。,圖1.7.4 球外的電場計算,下 頁

27、,上 頁,返 回,例1.7.2 不接地金屬球附近放置點電荷q的電場分布。,則,任一點場強,解： 邊值問題,（除q點外的空間),通量為零（ 大小相等）,球面等位（ 位于球心）,思路,圖1.7.6 不接地金屬球的鏡像,下 頁,上 頁,返 回,用鏡像法求解下列問題，試確定鏡像電荷的個數(shù)，大小與位置。,圖1.7.7 點電荷位于不接地導體 球附近的場圖,任一點電位,球面電位,思考,下 頁,上 頁,返 回,圖1.7.8 點電荷對導體球面的鏡像,3. 不同介質(zhì)分界面的鏡像,根據(jù)惟一性定理,圖1.7.9 點電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像,下 頁,上 頁,返 回,圖1.7.10 電場分布圖,中的電場由 q 與 q

28、 共同產(chǎn)生，q等效替代極化電荷的影響。,中的電場由 q” 決定，q” 等效替代自由電荷與極化電荷的作用。,圖1.7.11 點電荷 q1 與 q2 分別置于 與 區(qū)域中,思考,下 頁,上 頁,返 回,1.7.2 電軸法（Electric Axis Method）,(導線以外的空間),邊值問題,下 頁,上 頁,返 回,1.7.12 長直平行雙傳輸線,1. 兩根細導線產(chǎn)生的電位,以 y 軸為參考電位， C=0， 則,令： C， 等位線方程,圖1.7.13 兩根帶電細導線,下 頁,上 頁,返 回,K 取不同值時，得到一族偏心圓。,a、h、b滿足關系,整理后，等位線方程,圓心坐標,圓半徑,圖1.7.14

29、 兩根細導線的等位線,下 頁,上 頁,返 回,根據(jù) ，得到 Ex 和 Ey 分量,圖1.7.15 兩細導線的場圖,E 線方程,思考,若在任一等位面上放一無厚度的金屬圓柱殼，是否會影響電場分布？,若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問。,下 頁,上 頁,返 回,2. 電軸法,( 以 y 軸為參考電位),例1.7.3 試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布。,b) 圓柱導線間的電場與電位,電軸位置,下 頁,上 頁,返 回,圖1.7.16 平行傳輸線電場的計算,例1.7.4 試決定圖示不同半徑平行長直導線的電軸位置。,圖1.7.17 不同半徑傳輸線的電軸位置,解：,下 頁,上 頁,返 回,1）參考電位

30、的位置； 2）有效區(qū)域。,例1.7.5 試確定圖示偏心電纜的電軸位置。,注意：,圖1.7.18 偏心電纜電軸位置,下 頁,上 頁,返 回,例1.7.6 已知平行傳輸線之間電壓為U0, 試求電位分布。,解： 確定電軸的位置,所以,設電軸線電荷 ，任一點電位,下 頁,上 頁,返 回,圖1.7.19 電壓為U0的傳輸線,鏡像法（電軸法）小結(jié),鏡像法（電軸法）的理論基礎是：,鏡像法（電軸法）的實質(zhì)是：,鏡像法（電軸法）的關鍵是：,鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū) 域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。,用虛設的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分 布，使計算場域為無限大均勻媒質(zhì)；,靜電場惟一性定理；,確

31、定鏡像電荷（電軸）的個數(shù)、大小及位置；,應用鏡像法（電軸法）解題時，注意：,下 頁,上 頁,返 回,1.8.1 電容器的電容（Capacitance of Capacitor),Capacitance and Distributed Capacitance,1.8 電容及部分電容,電容只與兩導體的幾何尺寸、相互位置及周圍的介質(zhì)有關。,工程上的電容器：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。,電容的計算思路：,設,下 頁,上 頁,返 回,解： 設內(nèi)導體的電荷為 q ，則,同心球殼間的電壓,球形電容器的電容,例1.8.1 試求同心球殼電容器的電容。,下 頁,上 頁,返 回,圖1.8.1 同心球殼電容

32、器,1.8.2 部分（分布）電容（Distributed Capacitance),1. 已知導體的電荷，求電位和電位系數(shù),圖1.8.2 三導體靜電獨立系統(tǒng),多導體系統(tǒng),靜電獨立系統(tǒng),部分電容,基本概念,下 頁,上 頁,返 回,導體的電位與電荷的關系為,下 頁,上 頁,返 回,下 頁,上 頁,返 回,矩陣形式,2. 已知帶電導體的電位，求電荷和感應系數(shù),b 靜電感應系數(shù)，表示導體電位對導體電荷的貢獻；,bii 自有感應系數(shù)，表示導體 i 電位對導體 i 電荷的貢獻；,bij 互有感應系數(shù)，表示導體 j 電位對導體 i 電荷的貢獻。,矩陣形式：,下 頁,上 頁,返 回,3. 已知帶電導體間的電壓

33、，求電荷和部分電容,矩陣形式,部分電容的性質(zhì),靜電獨立系統(tǒng)中n1個導體有 個部分電容,Ci j均為正值，,下 頁,上 頁,返 回,部分電容是否為零，取決于兩導體之間有否電力線相連；,部分電容可將場的概念與電路結(jié)合起來。,下 頁,上 頁,返 回,圖1.8.3 部分電容與電容網(wǎng)絡,例1.8.2 試計算考慮大地影響時，兩線傳輸線的部分電容及等效電容。已知da, 且ah。,解： 部分電容個數(shù),由對稱性，得,圖1.8.4 兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡,下 頁,上 頁,返 回,利用鏡像法，兩導體的電位,代入式（2），得,下 頁,上 頁,返 回,圖1.8.5 兩線輸電線對大地的鏡像,聯(lián)立解得,兩線間的等效電容：,

34、下 頁,上 頁,返 回,所以,靜電屏蔽在工程上有廣泛應用。,圖1.8.6 靜電屏蔽,三導體系統(tǒng)的方程為：,4. 靜電屏蔽,當 時，,說明 1 號與 2 號導體之 間無靜電聯(lián)系，實現(xiàn)了靜電屏蔽。,下 頁,上 頁,返 回,1.9 靜電能量與力,1.9.1 靜電能量 (Electrostatic Energy),Electrostatic Energy and Force,1. 用場源表示靜電能量,q3 從 移到 c點，所需能量,q2 從 移到 b 點，需克服 q1 的電場力做功，,q1 從 移到 a 點不受力，所需能量 W1=0，,下 頁,上 頁,返 回,圖1.9.1 點電荷的能量,總能量,推廣

35、1： 若有 n 個點電荷的系統(tǒng)，靜電能量為,單位：J（焦耳）,推廣 2 ： 若是連續(xù)分布的電荷，,下 頁,上 頁,返 回,2. 用場量表示靜電能量,矢量恒等式,能量密度,因 當 時，面積分為零，故,下 頁,上 頁,返 回,例1.9.1 試求真空中體電荷密度為 的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。,解法一 由場量求靜電能量,下 頁,上 頁,返 回,解法二 由場源求靜電能量,球內(nèi)任一點的電位,代入式（1）,(1),下 頁,上 頁,返 回,例1.9.2 原子可看成由帶正電荷q的原子核被體電荷分布的負電荷云-q包圍，試求原子結(jié)合能。,解：,例1.9.1中當 時,下 頁,上 頁,返 回,圖1.9.2 原子結(jié)構(gòu)模型,

36、1.9.2 靜電力 (Electrostatic Force),1. 虛位移法 ( Virtual Displacement Method ),功 = 廣義力廣義坐標,廣義力 f ：企圖改變廣義坐標的力。,廣義坐標 g：距離、面積、體積、角度。,下 頁,上 頁,返 回,力的方向：f 的正方向為 g 增加的方向。,（1）常電荷系統(tǒng)（ K斷開 ）,表示取消外源后，電場力作功必須靠減少電場 中靜電能量來實現(xiàn)。,在多導體系統(tǒng)中，導體p發(fā)生位移dg后,其功能關系為,外源提供能量 = 靜電能量增量 + 電場力所作功,即,圖1.9.3 多導體系統(tǒng) ( K 斷開 ),下 頁,上 頁,返 回,外源提供能量的增量,說明：外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。,（2） 常電位系統(tǒng)（ K 閉合）,廣義力是代數(shù)量 ，根據(jù) f 的“”號判斷力的方向。,圖1.9.4 多導體系統(tǒng)( K 閉合 ),下 頁,上 頁,