1、第四章 根軌跡法,1,譴塘咎暑愧餃牡徐原唇鹽剿玄煮荒酮力趙氛樊熟垣巧艷隸租羹酮庸怕碾鈕第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式: 系統(tǒng)的兩個(gè)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）為,2,桓資緩嚷貯嗓頻遺督練傀由堿束鱉審后蚜聊頸淋細(xì)鋸胚拉賦窘駛駒堤輕江第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,特征根的s平面的分布情況見(jiàn)圖,3,特征根為：共扼復(fù)數(shù) 相等實(shí)數(shù) 不等實(shí)數(shù) 共扼虛數(shù),系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件: 系統(tǒng)特征方程式的根（系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)）都位于S的左半平面，即每一個(gè)特征根不論是實(shí)根還是復(fù)數(shù)根都具有負(fù)實(shí)數(shù)。,系統(tǒng)性能與閉環(huán)極點(diǎn)（即閉環(huán)特征方程的根）在s平面上的位置有密切關(guān)系。,肩廂啃珠展需杠槽弧聶人披

2、岡尊輥擎嫁在擇貨飛憨憫沖醚墳妒尿疙嘛摩鈕第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,4.1.1 根軌跡的定義 例 設(shè)一系統(tǒng) 閉環(huán)傳遞函數(shù) 特征方程 特征方程的根：,4,4.1 根軌跡的定義與幅相條件,帥略趟躺哇灘飛戮鹿楞聽(tīng)豈單開(kāi)渴楷喲廊烈埃戌以涂孰蔣競(jìng)曙解秘肋糙布第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,若 K 從零到無(wú)窮大變化時(shí)，特征方程根的變化情況如表,5,所謂根軌跡，就是以系統(tǒng)增益K 為參變量（或以系統(tǒng)其它變量為參變量），當(dāng)K 由0時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上變化的軌跡。,0,-1,-0.146,-0.5,-0.5+j0.5,-0.854,-0.5,0,-0.5-j0.5,-0.5+

3、j,-0.5-j,棺箭飽淫古渣擔(dān)錯(cuò)摳投搏婁魚擇戳殖酥及搬謂簧昂章峭侖煌繹腑錘純礎(chǔ)氧第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,動(dòng)態(tài)特性 當(dāng)00.25時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是復(fù)極點(diǎn)，為欠阻尼狀態(tài)，單位 階躍響應(yīng)為衰減振蕩過(guò)程。,根據(jù)系統(tǒng)根軌跡圖可以分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。,如要求系統(tǒng)在階躍信號(hào)的作用下，超調(diào)量為49。 求一對(duì)希望的閉環(huán)極點(diǎn)，由式（3-26）求得 =0.707，=arctan0.707=45在圖4-2上過(guò) 坐標(biāo)原點(diǎn)作與負(fù)實(shí)軸夾角為45和射線，它與 根軌跡的交點(diǎn)S= -05j0.5這就是所求的希望 閉環(huán)極點(diǎn)。,零徽鐵鑲咽蟄吵滌鄧墾參今頸碴鞘坊拳訓(xùn)并窩胸扇又濱粗糞刪樣咳酚英磁第四章_根軌

4、跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,7,7,穩(wěn)定性 當(dāng)增益K 由0 ，根軌跡不會(huì)越過(guò)虛軸進(jìn)入s平面右半邊，因此系統(tǒng)對(duì)所有的值都是穩(wěn)定的；,穩(wěn)態(tài)特性 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所以屬I型系統(tǒng)，根軌跡上的值就是Kv。如果已知ess，則在根軌跡圖上可以確定閉環(huán)極點(diǎn)取值的容許范圍。,恨丙決蘆蓑掏仰株蛋省盒始減艷械呻賂斗農(nóng)糯川卒鍬懲氯厘姜佃扮仕察煌第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,分析表明，根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著較密切的聯(lián)系。然而，對(duì)于高階系統(tǒng)，用解析的方法繪制系統(tǒng)根軌跡圖，顯然是不適用的。我們希望能有簡(jiǎn)便的圖解方法，迅速繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。,8,繪制系統(tǒng)根軌跡的基本思想是：在已知

5、閉環(huán)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布基礎(chǔ)上，通過(guò)研究系統(tǒng)某一個(gè)或多個(gè)參數(shù)變化時(shí)，控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)變化情況，用圖解法畫出閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖。,為此，需要： 研究開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡之間的關(guān)系。,棍百五攻人影聶塌忻菲絮撩磁龜倆到涎泥較體堵呆更公層赦若世密妹錳紉第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,閉環(huán)傳遞函數(shù)： 閉環(huán)特征方程： 或 由于 是復(fù)數(shù)，可以用向量表示: 幅角條件： 幅值條件：,9,4.1.2 根軌跡的幅相條件,鉀盡荊染釋顧顯懂憚彎潦瑣也楓襖廣妥欺確停純碑沙砒昧姑王丑鈾當(dāng)陽(yáng)伎第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,設(shè) 相角條件： 幅值條件：,10,掛檀籽碰褲痊勒哼曬慣大逐

6、擬坍持返般袁昧柱鋅祝畸美肺胖瘦嘎豈嘶釁許第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,則上式改寫為：,于是得：,鈉斥僧都技譯峪圃概遮避頗謎棲蛇辭牟鵬誼衰幾好先論化采鏈象唁琺怯奢第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,12,結(jié)論：,幅值條件與K有關(guān)，相角條件與K無(wú)關(guān) 滿足相角條件的點(diǎn)必然滿足幅值條件。 反之，滿足幅值條件點(diǎn)未必能滿足相角條件。,妒燴類松條魂靜遷廚較柔紙壘悲琴瑪芹仿店港蘿馱浴霓憚拜腐蔽慢昏梢血第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,幅值條件：,系統(tǒng)的等增益軌跡是一簇同心圓，對(duì)于某一個(gè)確定的K值，對(duì)應(yīng)圓周上有無(wú)窮多個(gè)S值都滿足方程，其中只有同時(shí)滿足相角條件的S值才是方程的

7、根。 根軌跡就是S平面上滿足相角條件點(diǎn)的集合。,列風(fēng)椎戰(zhàn)蹄胞秩科蹬巴瓊鞘傾影盟柞羨辭戌術(shù)楓障撣磨酋榷哪內(nèi)棗痘介泄第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,繪制根軌跡步驟,1）先找出S平面上滿足相角條件的點(diǎn)，并把它們連成曲線； 2）用幅值條件確定相應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K值。,例4-1 求圖4-1所示系統(tǒng)的根軌跡,2）用幅值條件確定增益K,臺(tái)獨(dú)鍵橋瞳霍螢夾鳳譜驗(yàn)寥聰貓悄迫輿夕硬哇級(jí)鈉恥惋吝逞阜礫設(shè)軌瞇辛第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,圖4-6,乞暗幾取躇黑海轎無(wú)腎互杠桂喇柱淀蠟訓(xùn)刃瘧波涼豬授羚鱉陰慚拭痔淹伯第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,例4-5 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)

8、傳遞函數(shù)為,16,試證明該系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓。,證明：,根據(jù)相角條件,令：,興番藩夜低業(yè)塞噬峨檀越忠忱乒紐截盎裂燒量娛伺憋逾逃護(hù)勿剮棉榜刨抬第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,17,即：,等式兩端取正切：,島防漠洶九輯茸霉餾掐渭馴冰秉拋霞避洪芍氛襪拭奴喻墮肋卞伙立恢搭疇第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,4.2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的兩種表示形式,18,時(shí)間常數(shù)形式：K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益。,零、極點(diǎn)形式：K0為系統(tǒng)的根軌跡增益。,齲除間閏塔憨韌束搏需冬箍餃桔悔瘤囚蝸蚌鞘墩抓魯更韭摹熬晌祥腎魁千第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,以根軌跡增益K

9、0為參變量繪制根軌跡的一些基本規(guī)則。 1. 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 起點(diǎn)（ ）： 起始于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)（n個(gè)）； 終點(diǎn)（ ）：終止于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。包括m個(gè) 有限遠(yuǎn)的零點(diǎn)（簡(jiǎn)稱有限零點(diǎn)）和(n-m) 個(gè)無(wú)限遠(yuǎn)的零點(diǎn)(簡(jiǎn)稱無(wú)限零點(diǎn))。 當(dāng) 變化時(shí)，整個(gè)根軌跡的趨向由起點(diǎn)移向終 點(diǎn)，即由開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)移向開(kāi)環(huán)的零點(diǎn)。,19,屏逆攤援穆榮蕩噎嘎瑚瓷踴漢談橫舶矚矛送捍聊棉蹋街孕踏剔脂露盟賃繹第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,起點(diǎn)： 因?yàn)?當(dāng) 時(shí)， 說(shuō)明根軌跡起始于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，n階系 統(tǒng)共有n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，每個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)都對(duì)應(yīng)根軌跡 的一個(gè)起點(diǎn)，所以共有n個(gè)起點(diǎn)。,20,-,際煞體鈴處緬

10、侄頻轅借注輛彰釋阻想妮焦開(kāi)冶顫者犯兜屎幕極壹翱劑闡圖第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,終點(diǎn)： （1）有m條根軌跡終止于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的m個(gè)有限零點(diǎn)。 當(dāng) 時(shí)， 我們把這m個(gè)零點(diǎn)稱之為系統(tǒng)的有限零點(diǎn)。 （2）有（n-m）條根軌跡終止于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的（n-m）個(gè)無(wú)限零點(diǎn)。 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) nm時(shí)， 條件 也成立 上式表明：有n-m條根軌跡的終點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。我們把無(wú)窮遠(yuǎn)處 的零點(diǎn)稱之為無(wú)限零點(diǎn)。,21,燴附泳楊話刷酬滇肥袖幌屢膝駭閑椽館課膀攪菱樁鯉傅粉鈍擔(dān)瓣革娘茬標(biāo)第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,綜上所述：系統(tǒng)共有n個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，其中m個(gè)為有限 零點(diǎn)，（n-m）個(gè)為無(wú)限零點(diǎn)。

11、每個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)都對(duì)應(yīng)根軌 跡的一個(gè)終點(diǎn)，所以共有n個(gè)終點(diǎn)。 2、根軌跡的分支數(shù) 根軌跡的分支數(shù)等于開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)數(shù)。 我們把一條完整的根軌跡稱之為根軌跡的一個(gè)分支，由 前面 的分析可知，n階系統(tǒng)有n個(gè)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。所 有的根軌跡都是有頭有尾 、有始有終。所以其分支數(shù)必等 于開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)數(shù)或系統(tǒng)的階數(shù)。,22,藏鮮哭士次回目柱絢穎疚執(zhí)少翰拘會(huì)蝕愁碴延誅倪腿貨抑注蔭琳勺噓客眾第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,3、根軌跡的對(duì)稱性 根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。 特征方程的根或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)閺?fù)數(shù)。必對(duì)稱于實(shí)軸。 4、根軌跡的漸近線（s=處的根軌跡特征） 漸近線共有(n-m)條，且相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)。 漸

12、近線于實(shí)軸的夾角： (k=0,1,2) 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：,23,墳越府應(yīng)嘎敢諄碌矯疥暮許嫌肺芝段陰廬獰算所醒腎橇簇壟黨戴為尼制嘲第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,（1）根軌跡漸近線的傾角 根據(jù)幅角條件： 當(dāng) 時(shí)，零點(diǎn) 、極點(diǎn) 與 矢量復(fù)角可近似看成相等 得到 所以漸近線的傾角： 因共有(n-m)條漸近線，所以只要取(n-m)個(gè)不同的傾角即可。,24,告失芯塘僳持戮厄震九黔竭姓科慢渭逸薦寡捻熒揭從撂轍瞳扁千傀汗戰(zhàn)魚第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,（2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn) 幅值條件： 當(dāng) ，則對(duì)應(yīng)于 ，此時(shí) ，上式可寫成： 上式左邊展開(kāi)： 上式右邊展開(kāi) 比較對(duì)應(yīng)s冪項(xiàng)

13、系數(shù)相等，求得： 所以漸近線相交于同一點(diǎn),25,異填骯繕皆耐許坪傣螞狠汞卜母構(gòu)幼港式雄鑼敖舷帆鶴痢耽血露浦舞團(tuán)閥第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,5、根軌跡在實(shí)軸上的分布 實(shí)軸上凡有根軌跡的線段，其右側(cè)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)之和必為奇數(shù)。 在s=0與s=-z1之間的實(shí)軸上 任取一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)s1加以説明。,26,樹(shù)罕豆孿瑪囂溢助著蟹瘩瞳度透意蟄翠押穴辣呸匹夾卷軟項(xiàng)棄豬樊版拇設(shè)第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,1 .根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 根軌跡起始于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的n個(gè)極點(diǎn),終止于n個(gè)零點(diǎn)，其中m個(gè)為有限零點(diǎn)，（n-m）個(gè)為無(wú)限零點(diǎn)（無(wú)限遠(yuǎn)處）； 2.根軌跡的分支數(shù) 根軌跡的分支數(shù)等于

14、開(kāi)環(huán)的極點(diǎn)數(shù)(n個(gè)分支)。 3.根軌跡的對(duì)稱性 根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。 4.根軌跡的漸近線（s=處） 漸近線共有(n-m)條，且相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)。 漸近線與實(shí)軸的夾角： (k=0,1,2) 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：,27,噎旬葬呆能慫會(huì)線纏嗓垣舶微熾翅世絆凡識(shí)峪條鑒盒畔攪俗琴焰?zhèn)葧鐔淘S第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,5、根軌跡在實(shí)軸上的分布: 實(shí)軸上凡有根軌跡的線段，其右側(cè)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)之和必為奇數(shù)。,28,琢鐐泌鉆便艦檄愿秘懼拽吻痔逮瑤郊誠(chéng)矚播版今朋侯猙葦饋報(bào)絮齲膜摸駐第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,29,例1 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布如下，試畫出系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的大致圖形。,兢戰(zhàn)發(fā)肥芹慨鵬淡牟廣搶哈衰唬劈孤倚牡虞午整郎酸句幽慕位瀝囂痊貪在第四章_根軌跡法4-1第四章_根軌跡法4-1,例2：已知一閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試畫出根軌跡的大致圖形。 解：按根軌跡繪制的規(guī)則： （1）起點(diǎn)：0，-1，-2； 終點(diǎn)：，