1、第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量及其概率密度,連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義 概率密度的性質 三種重要的連續(xù)型隨機變量 小結 布置作業(yè),連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間, 對這種類型的隨機變量, 不能象離散型隨機變量那樣, 以指定它取每個值概率的方式, 去給出其概率分布, 而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.,下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.,則稱 X為連續(xù)型隨機變量, 稱 f (x) 為 X 的概率密度 函數(shù)，簡稱為概率密度 .,一、 連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義,有,連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在 上連續(xù),二、概率密度的性質,1 o,2 o,利用概率密度可確 定隨機點落在某

2、個 范圍內的概率,對于任意實數(shù) x1 , x2 , (x1 x2 ) ,若 f (x) 在點 x 處連續(xù) , 則有,故 X的密度 f(x) 在 x 這一點的值，恰好是X 落 在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極 限. 這里，如果把概率理解為質量， f (x) 相當于線密度.,若 x 是 f(x) 的連續(xù)點，則,對 f(x)的進一步理解:,若不計高階無窮小，有,表示隨機變量 X 取值于 的概率近似等于 .,要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.,a

3、,(1) 連續(xù)型r.v取任一指定實數(shù)值a 的概率均為0. 即,這是因為,請注意:,當 時,得到,(2) 對連續(xù)型 r.v X , 有,由P(B)=1, 不能推出 B=S,由P(A)=0, 不能推出,1. 均勻分布,則稱X在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布，,X U(a, b),三、三種重要的連續(xù)型隨機變量,若 r .v X的概率密度為：,記作,公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.,均勻分布常見于下列情形：,如在數(shù)值計算中，由于四舍五 入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；,例2 某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:

4、45 等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機變量, 試求他候車時間少于5 分鐘的概率.,解,依題意， X U ( 0, 30 ),以7:00為起點0，以分為單位,為使候車時間X少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達車站.,所求概率為：,即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是1/3.,指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命.,2 . 指數(shù)分布,若 r .v X具有概率密度,為常數(shù),則稱 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.,若X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布, 則其分布函數(shù)為,事實上 ,當 時,當 時,

5、3. 正態(tài)分布,若連續(xù)型 r .v X 的概率密度為,記作,其中 和 ( 0 )都是常數(shù), 則稱X服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布或高斯分布.,事實上 ,則有,曲線 關于 軸對稱；,x = 為 f (x) 的兩個拐點的橫坐標；,當x 時，f(x) 0.,f (x) 以 x 軸為漸近線,根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖.,決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度.,正態(tài)分布 的圖形特點,正態(tài)分布 的分布函數(shù),正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)和唯一確定， 當和不同時，是不同的正態(tài)分布。,標準正態(tài)分布,下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布,的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.,其密度函數(shù)和分布

6、函數(shù)常用 和 表示：,標準正態(tài)分布,的性質 :,事實上 ,標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準 正態(tài)分布.,定理1,證,Z 的分布函數(shù)為,則有,根據(jù)定理1,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.,于是,書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.,正態(tài)分布表,當 x 0 時 ,表中給的是 x 0 時, (x)的值.,若,若 XN(0,1),由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，,這說明，X的取值幾乎全部集中在-3,3區(qū)間 內，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.,當XN(0,1)時，,P(

7、|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,3 準則,將上述結論推廣到一般的正態(tài)分布,這在統(tǒng)計學上稱作“3 準則” .,N(0,1),時，,標準正態(tài)分布的上 分位點,設,若數(shù) 滿足條件,解,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我們來求滿足上式的最小的h .,看一個應用正態(tài)分布的例子:,例 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在 0.01 以下來設計的.設男子身高XN(170,62),問車門高度應如何確定?,設車門高度為h cm,按設計要求,因為 XN(170,62),故 P(X h)=,查表得 (2.33)=0.99010.99,因而 = 2.33,即 h=170+13.98 184,設計車門高度為 184厘米時，可使 男子與車門碰頭 機會不超過0.01.,所以 .,這一節(jié)，我們介紹了連續(xù)型隨