1、1,第三章 動量與角動量,（Momentum and Angular Momentum）,教學(xué)要求: 1)理解動量,沖量,角動量的概念及它們的矢量性. 2)掌握及應(yīng)用動量定理,動量守恒定律以及質(zhì)點(diǎn)的角動 量守恒定律來計算力學(xué)問題. 3)理解質(zhì)心的概念,了解質(zhì)心運(yùn)動定理.,2,3.1 沖量與動量定理,牛頓定律是瞬時的規(guī)律。力在任意時刻的作用，是使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生加速度，運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化。,但在有些問題中，如：碰撞（宏觀）、散射（微觀）我們往往只關(guān)心力的作用按時間累積起來的總的效果，即只關(guān)心始末態(tài)間的關(guān)系，對過程的細(xì)節(jié)不感興趣。,力在時間上的積累效應(yīng)：,3,1、沖量（impulse）,大?。?方向：速度變

2、化的方向,單位：Ns 量綱：MLT1,說明 沖量是表征力持續(xù)作用一段時間的累積效應(yīng)； 沖量是矢量： 大小和方向； 沖量是過程量， 改變物體機(jī)械運(yùn)動狀態(tài)的原因。,定義:力對一段時間的積累,微分形式:,4,2、動量（momentum）,定義：物體的質(zhì)量與速度的乘積叫做物體的動量,說明: 動量是矢量，大小為 mv，方向就是速度的方向；沖量的方向不是與動量的方向相同，而是與動量增量的方向相同. 動量表征了物體的運(yùn)動狀態(tài). 牛頓第二定律的另外一種表示方法,單位： kgms-1 量綱：MLT1,5,3、質(zhì)點(diǎn)的動量定理（theorem of momentum of a particle）,物理意義:在給定的

3、時間間隔內(nèi)，外力作用在質(zhì)點(diǎn)上的沖量，等于該質(zhì)點(diǎn)在此時間內(nèi)動量的增量.,質(zhì)點(diǎn)動量定理的微分形式,質(zhì)點(diǎn)動量定理的積分形式,6,說明:,6.應(yīng)用： 利用沖力：增大沖力，減小作用時間沖床 避免沖力：減小沖力，增大作用時間輪船靠岸時的緩沖,1.動量定理將始末時刻的動量與沖量聯(lián)系起來,而忽略細(xì)節(jié)變化； 2.碰撞或沖擊過程,牛頓第二定律無法直接使用,用動量定理解； 3.變質(zhì)量物體的運(yùn)動過程,用動量定理較方便; 4.動量定理說明質(zhì)點(diǎn)動量的改變是由外力和外力作用時間兩個因 素，即沖量決定的; 5.動量定理的分量式.,7,應(yīng)用舉例: 例1.,例2.問題：人為什么從高處跳到地面時，要把腿彎一下？,8,例3. “船行

4、八面風(fēng)”-帆船靠風(fēng)力推動前進(jìn)，只要有風(fēng)，不管風(fēng)從什么方向吹來，都可借助風(fēng)力前進(jìn)。,9,10,根據(jù)牛頓第三運(yùn)動定律,風(fēng)團(tuán)對帆有一反作用力 :,11,方向向上,例4.一籃球質(zhì)量m = 0.58kg,從h = 2.0m的高度下落,到達(dá)地面后以同樣速率反彈,接觸地面時間 。 求：籃球?qū)Φ孛娴钠骄鶝_力,解：籃球到達(dá)地面的速率為：,籃球接觸地面前后動量改變（大?。椋?由動量定理有：,由牛頓第三定律有：,12,例5.在斜面上放著一個盛有細(xì)沙的箱子,在摩擦力的作用下箱子剛好不下滑.若有一物體m從豎直方向墜入箱中,試問在該物體的沖力作用下,箱子是否還能保持靜止?,m,mg,N,f,F,已知s,解:箱子是否下滑

5、,決定于物體墜入箱子時,在沖力的作用下箱子的受力是否平衡.,剛好不下滑時:,當(dāng)一物體豎直墜入箱中,在沖力作用下,時的瞬間應(yīng)滿足:,代入 得 a=0,13,3.2 質(zhì)點(diǎn)系的動量定理 （theorem of mometum of a system of particles）,1、兩個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng),已知: 碰撞前兩質(zhì)點(diǎn)的速度分別為,相碰時的相互作用內(nèi)力為,同時受系統(tǒng)外其它物體的作用外力為,碰撞后兩質(zhì)點(diǎn)的速度分別為,對質(zhì)點(diǎn)m1:,對質(zhì)點(diǎn)m2:,14,意義:兩個物體總動量的改變只決定于外力的沖量, 而與內(nèi)力無關(guān).,內(nèi)力的沖量呢?只會使每一個物體的動量發(fā)生改變,但對總動量沒有任何影響.,15,2、多個質(zhì)

6、點(diǎn)組成的系統(tǒng),共有N個粒子,為質(zhì)點(diǎn) i 受的合外力，,為質(zhì)點(diǎn) i 受質(zhì)點(diǎn) j 的內(nèi)力，,為質(zhì)點(diǎn) i 的動量。,對質(zhì)點(diǎn) i ：,對質(zhì)點(diǎn)系：,由牛頓第三定律有：,16,所以有：,令,則有：,或,質(zhì)點(diǎn)系動量定理（積分形式）,意義: 作用在系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量,17,系統(tǒng)總動量由外力的沖量決定，與內(nèi)力無關(guān)。,用質(zhì)點(diǎn)系動量定理處理問題可避開內(nèi)力。,說明:,質(zhì)點(diǎn)系動量定理是一矢量式,因此在直角坐標(biāo) 系中它的分量式為:,18,例1：一質(zhì)量均勻分布的柔軟細(xì)繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上，如果把繩的上端放開，繩將落在桌面上。 試證明：在繩下落的過程中，任意時刻作用于桌面的壓力，等于已

7、落到桌面上的繩重量的三倍。,證明：取如圖坐標(biāo)，設(shè)t時刻已有x長的柔繩落至桌面，隨后的dt時間內(nèi)將有質(zhì)量為dx(Mdx/L)的柔繩以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的動量變化率為：,19,根據(jù)動量定理，桌面對柔繩的沖力為：,柔繩對桌面的沖力FF 即：,而已落到桌面上的柔繩的重量為 mg=Mgx/L 所以 F總=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg,20,例2:(page72)一輛裝煤車以v=3m/s的速率從煤斗下通過,每秒鐘落入車廂的煤為m=500kg.如果使車廂的速率保持不變,應(yīng)用多大的牽引力拉車廂?,21,例3:質(zhì)量為M的滑塊正沿著光滑水平地面向右滑動.一質(zhì)量為m的小球水平向右飛行,

8、以速度 (相對地面)與滑塊斜面相碰,碰后豎直向上彈起,速度為 (相對地面).若碰撞時間為 ,求:在這個過程中滑塊對地面的平均作用力和滑塊速度的增量.,22,3.3 動量守恒定律（law of conservation of momentum）,由動量定理：,當(dāng)一個質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為0時，則有,即有：,其分量形式：,意義:當(dāng)系統(tǒng)所受合外力為零時，即F外=0時，系統(tǒng)的動量的增量為零，即系統(tǒng)的總動量保持不變。,23,說明：,1. 動量定理和動量守恒定律只適用于慣性系。,2. 動量若在某一慣性系中守恒，則在其它一切慣性系中均守恒。,3.動量是矢量,因此動量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個矢量關(guān)系式。但在一

9、些實際問題中,若系統(tǒng)所受的合外力不為0,但合外力沿著某個坐標(biāo)軸的分量為0,則盡管總的動量不守恒,但總動量在這個方向上的分量卻是守恒的。,4.在合外力為0時,盡管質(zhì)點(diǎn)系的總動量不變,但組成系統(tǒng)的各個質(zhì)點(diǎn)的動量是可以變化的。,24,5.無論相互作用力是什么力(重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力、分子作用力、核子作用力)，動量守恒定律都適用。因此，動量守恒定律是一條大到星體間的作用,小到基本粒子間的作用的關(guān)于自然界一切物理過程的最基本定律。,6.質(zhì)點(diǎn)相互作用后,不論它們是結(jié)合在一起運(yùn)動還是分開運(yùn)動,不論是整體還是分裂成碎塊,不論是接觸作用還是超距作用,動量守恒定律都適用。,7.系統(tǒng)動量守恒定律的條件

10、是合外力為0,但在某些外力比內(nèi)力小得多的情況下,外力對質(zhì)點(diǎn)系的總動量變化影響很小,這時可以近似地認(rèn)為它滿足守恒條件,即可以近似地應(yīng)用動量守恒定律來解題了。,25,解題步驟： 1選好系統(tǒng)，分析要研究的物理過程； 2進(jìn)行受力分析，判斷守恒條件； 3確定系統(tǒng)的初動量與末動量； 4建立坐標(biāo)系，列方程求解； 5必要時進(jìn)行討論。,26,例1:一個有1/4圓弧滑槽的大物體,質(zhì)量為M,停在光滑的水平面上;另有一質(zhì)量為m的小物體從圓弧頂點(diǎn)由靜止滑下.求當(dāng)小物體滑到底時大物體M在水平面上移動的距離.,27,例2:水平光滑鐵軌上有一車,長度為l,質(zhì)量為m2，車的一端有一人(包括所騎自行車)，質(zhì)量為m1，人和車原來都

11、靜止不動。當(dāng)人從車的一端走到另一端時，人、車各移動了多少距離？,28,解：以人、車為系統(tǒng)，在水平方向上不受外力作用，動量守恒。建立如圖所示的坐標(biāo)系，有 m1v1-m2v2=0 即 v2=m1v1/m2,在這段時間內(nèi)人相對于地面的位移為,小車相對于地面的位移為,設(shè)人在時間t 內(nèi)從車的一端走到另一端，則有,人相對于車的速度 u=v1+v2=(m1+m2)v1/m2,29,例3:在一次 粒子散射過程中， 粒子(m)和靜止的氧原子核(M)發(fā)生碰撞。實驗測出：碰撞后 粒子沿與入射方向成 的方向運(yùn)動,而氧原子核沿與 粒子的入射方向成 的方向反沖，求 粒子碰撞后與碰撞前的速率之比？,30,3.4變質(zhì)量系統(tǒng)、

12、火箭飛行原理, 粘附 主體的質(zhì)量增加（如滾雪球） 拋射 主體的質(zhì)量減少（如火箭發(fā)射）,低速（v c）情況下的兩類變質(zhì)量問題：,下面僅以火箭飛行為例，討論變質(zhì)量問題。,還有另一類變質(zhì)量問題是在高速（v c）情況下，這時即使沒有粘附和拋射，質(zhì)量也可以隨速度改變 m = m(v)，這是相對論情形，不在本節(jié)討論之列。,31,條件： 燃料相對箭體以恒速u 噴出,一. 火箭不受外力情形（在自由空間飛行）,1. 火箭的速度公式,系統(tǒng)： 火箭殼體 + 尚存燃料,32,初態(tài)(噴出燃料前)： 系統(tǒng)質(zhì)量 M， 速度v (對地)， 動量 M v,微過程： t t +dt,末態(tài)(噴出燃料后)：,噴出燃料的質(zhì)量：dm =

13、 - dM,噴出燃料速度(對地)： v - u,火箭殼體 +尚存燃料的質(zhì)量： M - dm,火箭殼體 +尚存燃料的速度(對地)：v + d v,系統(tǒng)動量： ( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u) ,33,由動量守恒，有 M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v ),經(jīng)整理得： Mdv = -udM,速度公式：,此式意義:火箭在燃料燃燒后所增加的速度和噴氣速度成正比, 也和火箭的始末質(zhì)量比的自然對數(shù)成正比.,34,引入火箭質(zhì)量比：,得,討論：提高 vf 的途徑 (1)提高 u（現(xiàn)可達(dá) u = 4.1 km/s） (2)增大 N（受一定限制,決

14、定于火 箭本身的結(jié)構(gòu)）,為提高N，采用多級火箭（一般為三級）,v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3,或 齊奧爾科夫斯基數(shù),35,t +dt時刻：速度 v - u， 動量 dm(v - u),由動量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量,2.火箭所受的反推力,研究對象：噴出氣體 dm,t 時刻：速度v (和主體速度相同)，動量 vdm,F箭對氣dt = dm(v - u) - vdm = - F氣對箭dt,由此得火箭所受燃?xì)獾姆赐屏?意義:火箭受到的推力與燃料的燃燒速率成正比,也與噴出 氣體相對火箭的速率成正比.,36,二. 重力場中的火箭發(fā)射,可得 t 時刻火箭的速度：,忽略地面

15、附近重力加速度 g 的變化，,Mt ： t 時刻火箭殼和尚余燃料的質(zhì)量,思考題: “噴氣飛機(jī)所以能飛行,是因為噴出的氣體推空氣,而空氣給噴出氣體以反作用力,從而推動飛機(jī)前進(jìn).”這種說法對嗎?,37,3.5 質(zhì)心及質(zhì)心運(yùn)動定理,一. 質(zhì)心(center of mass)-為便于研究質(zhì)點(diǎn)系總體運(yùn)動,用數(shù)學(xué)公式定義某一質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 C 的位矢為：,說明:質(zhì)心位置是質(zhì)點(diǎn)位置以質(zhì) 量為權(quán)重的平均值。,寫成分量式為:,38,二.幾種系統(tǒng)的質(zhì)心,1) 兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng),m1 r1 = m2 r2,2)連續(xù)體,重心-一個物體各部分所受重力的合作用點(diǎn)。,4)小線度物體(其上各處 相等)的質(zhì)心和重心是重合的。,39,例

16、1:如圖示，求挖掉小圓盤后系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)。,解：由對稱性分析，質(zhì)心C應(yīng)在x軸上。,令 為質(zhì)量的面密度，則質(zhì)心坐標(biāo)為：,40,例2：任意三角形的每個頂點(diǎn)有一質(zhì)量m，求質(zhì)心。,41,例3:一段均勻鐵絲彎成半圓形,其半徑為R,求此半圓形鐵絲的質(zhì)心。,解：半圓關(guān)于y軸對稱，質(zhì)心即在y軸上。 任取dl長的一段鐵絲，其質(zhì)量為dm，則：,42,三. 質(zhì)心運(yùn)動定理（theorem of motion of center of mass）,質(zhì)點(diǎn)系的總動量,是質(zhì)點(diǎn)系的“平均”速度,意義:質(zhì)點(diǎn)系的總動量等于它的總質(zhì)量與質(zhì)心的運(yùn) 動速度的乘積。,43, 質(zhì)心運(yùn)動定理,有,問：球往哪邊移動？,質(zhì)心的運(yùn)動如同一個在質(zhì)心位

17、置處的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，該質(zhì)點(diǎn)集中了整個質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量和所受的外力。在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中所謂“物體”的運(yùn)動，實際上是物體質(zhì)心的運(yùn)動。,思考,質(zhì)點(diǎn)系所受合外力：,答：沿拉動紙的方向移動,44, 在光滑水平面上滑動的扳手，其質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動, 做跳馬落地動作的運(yùn)動員盡管在翻轉(zhuǎn)，但其質(zhì)心仍做拋物線運(yùn)動, 爆炸的焰火彈雖然碎片四散，但其質(zhì)心仍在做拋物線運(yùn)動,例如：,說明：,1.系統(tǒng)內(nèi)力不會影響質(zhì)心的運(yùn)動， 時,高臺跳水,45,2 . 動量守恒與質(zhì)心的運(yùn)動,質(zhì)點(diǎn)系動量守恒和質(zhì)心勻速運(yùn)動等價！,動量守恒定律的另一種表述：當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時，其質(zhì)心速度不變。,46,例1：一質(zhì)量m2=50kg的人站在一條m1=2

18、00kg，長度l=4m的船的船頭上，開始時靜止，試求當(dāng)人走到船尾時船移動的距離。,47,解：把船和人視為同一系統(tǒng),則人對船或船對人的各種作用力都是內(nèi)力.在水平方向上沒有外力,則質(zhì)心的水平速度不變,原來靜止,則依然靜止,即質(zhì)心的坐標(biāo)不變。,人行走后：,初始狀態(tài)：,又由圖可知：,48,例2：設(shè)有一個質(zhì)量為2m的彈丸，從地面斜拋出去，它飛行到最高點(diǎn)處爆炸成質(zhì)量相等的兩塊碎片。其中一塊碎片豎直自由下落，另一個碎片水平拋出，它們同時落地。試問第二塊碎片落地點(diǎn)在何處？,解：考慮彈丸為一系統(tǒng)，空氣阻力略去不計。爆炸前后彈丸的質(zhì)心的運(yùn)動軌跡都在同一拋物線上。如取第一塊碎片的落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為坐標(biāo)軸的

19、正方向，設(shè)m1和m2為兩個碎片的質(zhì)量，且m1= m2=m；x1和x2為兩塊碎片落地點(diǎn)距原點(diǎn)的距離，xc為彈丸質(zhì)心距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。有假設(shè)可知x1=0，于是,由于x1=0 ， m1= m2=m ，由上式可得,即第二塊碎片的落地點(diǎn)的水平距離為碎片質(zhì)心與第一塊碎片水平距離的兩倍。,49,1. 質(zhì)心系,質(zhì)心系是固結(jié)在質(zhì)心上的平動參考系。,質(zhì)心系不一定是慣性系。,質(zhì)點(diǎn)系的復(fù)雜運(yùn)動通常可分解為：,討論天體運(yùn)動及碰撞等問題時常用到質(zhì)心系。,質(zhì)點(diǎn)系整體隨質(zhì)心的運(yùn)動,各質(zhì)點(diǎn)相對于質(zhì)心的運(yùn)動 在質(zhì)心系中考察質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動。,50,2.質(zhì)心系的基本特征,質(zhì)心系是零動量參考系。,（質(zhì)心系中看兩粒子碰撞）,兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)在其

20、質(zhì)心系中，總是具有等值、反向的動量。,51,3.6 質(zhì)點(diǎn)的角動量 角動量守恒定律,一. 質(zhì)點(diǎn)的角動量（angular momentum of a particle）,單位：kg m2/s,大?。?方向：右手螺旋法則,決定的平面,定義：任取一點(diǎn)o, 建立坐標(biāo)系oxyz，設(shè)質(zhì)點(diǎn)A的質(zhì) 量為m，速度為 ，矢徑為 ，則質(zhì)點(diǎn)A 對o點(diǎn)的角動量為：,52,角動量與參考點(diǎn)O的選擇有關(guān) 同一質(zhì)點(diǎn)對于不同的參考點(diǎn)其角動量是不同的,注意：,質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動時，對 圓心的角動量的大小為：,方向圓面不變。,L = mvR，,例1：,53,例2：同一質(zhì)點(diǎn)的同一運(yùn)動，其角動量卻可以隨固定點(diǎn)的不同而改變。,方向變化,方

21、向豎直向上不變,54,例3：根據(jù)玻爾假設(shè),氫原子內(nèi)電子繞核運(yùn)動的角動量只可能是 的整數(shù)倍。(h=6.63*10-34kgm2/s)已知電子圓形軌道的最小半徑為r=0.529*10-10m，求此軌道上運(yùn)動時電子的速率。,解:h是普朗克在1900年研究黑體問題時所提出的一個假設(shè),稱為普朗克常數(shù)(h=6.63*10-34kgm2/s).到1913年,玻爾把它應(yīng)用到原子結(jié)構(gòu)理論中,提出了自己的原子結(jié)構(gòu)模型,即玻爾假設(shè),它包括兩部分的內(nèi)容:,55,1)定態(tài)假設(shè):原子中的電子只能在一些特定的軌道上運(yùn)動,因此角動量受到量子化條件的限制,必須滿足,2)躍遷假設(shè):當(dāng)原子從一個定態(tài)Em躍遷到另一個定態(tài)En時,才會向外輻射電磁波:,本題中,56,例4：判斷下列有關(guān)角動量的說法是否正確？ 1）質(zhì)點(diǎn)系的總動量為零，總角動量一定為零。 2）一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)的角動量一定為零。 3）一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)的角動量一定不變。 4）一質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動，其動量方向在不斷 改變，所以角動量的方向也隨之不斷改變。,57,二. 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理，力矩torque,由,有：,定義力