1、13.4 課題學(xué)習(xí) - 最短路徑問題（2）,問題 2 （造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）,A,B,M,N,a,b,思維分析,1、如圖假定任選位置造橋，連接和，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？,2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？,我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？,思維火花,各抒己見,1、把A平移到岸邊.,2、把B平移到岸邊.,3、把橋平移到和A相連.,4、把橋平移到和B相連.,上

2、述方法都能做到使AM+MN+BN不變嗎？請檢驗(yàn).,合作與交流,1、2兩種方法改變了. 怎樣調(diào)整呢？,把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長,那么怎樣確定橋的位置呢?,問題解決,A1,M,N,如圖，平移A到A1，使A1等于河寬，連接A1交河岸于作橋，此時(shí)路徑最短.,理由；另任作橋，連接，.,由平移性質(zhì)可知，.,AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為，而轉(zhuǎn)化為.,在中，由線段公理知A1N1+BN1A1B,因此 AM+MN+BN,作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E， 2.連接AE交河對岸與點(diǎn)M, 則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。 證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE

3、, BD=CE, 所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE, 則AB兩地的距離為： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN, 即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。,A,問題延伸,如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）,思維分析,如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+,橋MN和PQ

4、在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.,平移的方法有三種：兩個(gè)橋長都平移到A點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、MN平移到A點(diǎn)處，PQ平移到B點(diǎn)處,思維方法一,1、沿垂直于第一條河岸的方向平移A點(diǎn)至AA1使AA1=MN，此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為問題基本題型兩點(diǎn)（A1、B點(diǎn)）和一條河建橋（PQ）,2、利用基本問題的解決方法確定橋PQ： （1）在沿垂直于第二條河岸的方向平移A1至A2， 使A1A2=PQ. （2）連接A2B交A2的對岸Q點(diǎn)，在點(diǎn)處建橋PQ.,3、確定PQ的位置，也確定了BQ和PQ，此時(shí)問題可轉(zhuǎn)化為由A點(diǎn)、P點(diǎn)和第一條河確定橋MN的位置.,連接A1P交的對岸于點(diǎn)，在點(diǎn)處建橋,問題解決,沿垂直于河岸方向依次把點(diǎn)、，使，； 連接交于點(diǎn)相鄰河岸于點(diǎn)，建橋； 連接交的對岸于點(diǎn)，建橋； 從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑為MMN,思維方法二,沿垂直于第一條河岸方向平移點(diǎn)至點(diǎn)，沿垂直于第二條河岸方向平移點(diǎn)至點(diǎn)，連接A1B1 分別交A、B的對岸于N、P兩點(diǎn)，建橋MN和PQ.,最短路徑AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.,思維方法三,沿垂直于河岸方向依次把B點(diǎn)平移至B、B，使BBPQ，BBM