1、1,實(shí)驗(yàn)五 MATLAB在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用,5.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?在工程技術(shù)中，大量的實(shí)際問題都需要進(jìn)行近似處理，從而產(chǎn)生不同問題的數(shù)值計(jì)算方法。而MATLAB具有強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算功能，本實(shí)驗(yàn)的目的是學(xué)會用MATLAB軟件進(jìn)行一些數(shù)值運(yùn)算，包括代數(shù)方程求根、插值問題和曲線擬合問題等。,5.2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,一、代數(shù)方程求根,代數(shù)方程求根有各種近似處理方法，下面給出MATLAB兩種常用的調(diào)用格式：,最小二乘法,格式：fsolve(f,x0):求方程f=0在估計(jì)值x0 附近的近似解。,研盧謊佩罪信茨傲養(yǎng)亦烹聽娶抵報(bào)酉釣舞貶縮官途韓薩竿爛寡靴賢墓軍瑣matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,2,例1,解 輸入

2、命令 ：, f=inline(x-exp(-x);, x1=fsolve(f,0),x1 = 0.5671,例2,先畫圖觀察根的個數(shù)及大概位置。,輸入命令 ：, fplot(5*x2*sin(x)-exp(-x),0,0,10),結(jié)果見圖5.1,注意，5*x2*sin(x)-exp(-x),0中的 ,0是作y=0直線，即x軸。,準(zhǔn)勾雀集狐柳財(cái)拖賴局艘很蹭種肚毆皂踐移見陡垂饞酌亭耶全雇糙吊誨嘴matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,3,方程在0,10區(qū)間從圖中可看出有4個解，分別在0，3，6，9附近，,所以用命令：, f=inline(5*x.2.*sin(x)-exp(-x);, fso

3、lve(f,0,3,6,9),ans = 0.5018 3.1407 6.2832 9.4248,斂案酬取云可俐瓢妥循婆伸丘庸喝聳汗陽渝見禮茍?zhí)鞊茴澏銚窕ブZ史勇臀matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,4,2、零點(diǎn)法,格式：fzero(f,x0): 求函數(shù)f在x0 附近的零點(diǎn)。,例3,先畫圖觀察根的個數(shù)及大概位置。,輸入命令 ：, fplot(x2-4*x-5,0,-10,10),結(jié)果見圖5.2,fzero(f,x1,x2): 求函數(shù)f在區(qū)間x1,x2 上唯一零點(diǎn)。,鐵動哆湖候題等抽項(xiàng)訃狐徘株結(jié)缽撥磋蔫腎優(yōu)貪瀝蒂迎吊摟凳規(guī)黎紡截沾matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,5,從圖中可

4、看出方程在-2,0及4，6區(qū)間上各有一根，,再輸入命令 ：, x1=fzero(x2-4*x-5,-2,0),x1 = -1, x2=fzero(x2-4*x-5,4,6),x2 = 5,修橋鑰刁疹遷判好喲瓢叁臟砰倔萄鉑茍刮把軌沃稻旬孵廟毛辮瓊王噎指度matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,6,3、代數(shù)方程的符號解,格式：,solve(f,):求代數(shù)方程f=0的根；,solve(eqn1,eqn2,.,eqnN):求n個代數(shù)方程的根；,例4,解 輸入命令 ：, solve(a*x2+b*x+c),ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-

5、4*a*c)(1/2),甕丫魂僥足坤億涯撬曠謗懲扇維瑟蜒冷拍儉茹盧導(dǎo)菊脂參叛夜款磕筍倍挑matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,7,例5,解 輸入命令 ：, x,y=solve(x*y=1,x-11*y=5),x = 5/2+1/2*69(1/2) 5/2-1/2*69(1/2),y = -5/22+1/22*69(1/2) -5/22-1/22*69(1/2),如果化成數(shù)值解，用命令vpa,如上例：, x= vpa(x,2),x = 6.7 -1.7,怎森菜熾?yún)拕㈨毚ㄕ摬霸u石藉左歌矢扛刻疹糙鯉吮嚴(yán)柏賀狼墩街雇欣爐莽matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,8, y=vpa(y,2)

6、,y = .14 -.60,二、曲線擬合,已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集,求得一解析函數(shù)y=f(x)使y=f(x)在原離散點(diǎn),接近給定,曲線擬合是最小二乘法曲線擬合，擬合結(jié)果可使誤差的,上盡可能,的值，這一過程叫曲線擬合。最常用的,平方和最小，即找出使,最小的f(x).,安鬧擂盾剖毋賞斤膛授競詫皂?xiàng)U板倒節(jié)遁茲汾凌彥雄蚤迭權(quán)敏替催韶菱蕊matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,9,格式：p=polyfit(x,y,n).,說明：求出已知數(shù)據(jù)x,y 的n次擬合多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)p,x 必須是單調(diào)的。,例6 已知某函數(shù)的離散值如表5.1,求二次擬合多項(xiàng)式.,先畫函數(shù)離散點(diǎn)的圖形,輸入命令 ：, x=0.

7、5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0;, y=1.75 2.45 3.81 4.80 7.00 8.60;, scatter(x,y,5),結(jié)果見圖5.3,枷荊堅(jiān)押甫頓懶奔鈾譏腸嗡勻趴縣舵丁輛呼綠德疑酞奸陜聽恐透迢呆兌論matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,10,由圖可看出可用二次多項(xiàng)式擬合。,再輸入命令 ：, p=polyfit(x,y,2),p = 0.5614 0.8287 1.1560,即二次擬合多項(xiàng)式為,尤寥鑿炳嘴棗妨挽磋聳硬咀罕橇沃假癰偶術(shù)銀箋籽繩材肪嚇眩豌豺舵粹股matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,11,畫出離散點(diǎn)及擬合曲線：,輸入命令 ：, x1=0.5

8、:0.05:3.0;, y1=polyval(p,x1);, plot(x,y,*r,x1,y1,-b),結(jié)果見圖5.4,啪銀猩蕩早幢諷蘸創(chuàng)短哮務(wù)娘閨同熊彌襖憚晴蹲陋哉墓陣撒盆少啤聾嘎碼matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,12,三、一維插值,已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集,求得一解析函數(shù)連接自變量相鄰的兩個點(diǎn)，并求得兩點(diǎn),間的數(shù)值，這一過程叫插值。,MATLAB在一維插值函數(shù)interp1中，提供了四種插值方法選擇：線性插值、三次樣條插值、立方插值和最近鄰點(diǎn)插值。interp1的本格式為：,yi=interp1(x，y，xi，method),其中x,y分別表示數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)向量，x 必須單

9、調(diào)，xi為需要插值的橫坐標(biāo)數(shù)據(jù)（或數(shù)組），xi不能超出x的范圍，而method為可選參數(shù)，有四種選擇：,nearest ：最鄰近插值,linear ： 線性插值；,障疼匈諜汕淮羅爭見因憫熾鄖葦騰彭脆度音驢誣滑率餓參煞秘護(hù)魁唐瑤虎matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,13,spline ： 三次樣條插值；,cubic ： 立方插值。,缺省時： 分段線性插值。,例7 在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計(jì)在 3.2,6.5,7.1,11.7小時的溫度值。,解 輸入命令 ：, hours=1:

10、12;, temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;, t=interp1(hours,temps,3.2 6.5 7.1 11.7) %線性插值,t = 10.2000 30.0000 30.9000 24.9000,椅抽靡成撓打賽刮厚車志家凱膀乏描焦糊僥劣康旺蒙郎偷諜鴛蒼墩苛牡顧matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,14, T=interp1(hours,temps,3.2 6.5 7.1 11.7,spline) %三次樣條插值,T = 9.6734 30.0427 31.1755 25.3820,比較發(fā)現(xiàn)，兩種結(jié)果有差異，這是因?yàn)椴逯凳且粋€估

11、計(jì)或猜測的過程。,兩種插值的畫圖如下；,輸入命令 ：, t0=1:0.1:12;, T0=interp1(hours,temps,t0,spline);, plot(hours,temps,+,t0,T0,hours,temps,r:), xlabel(時間);, ylabel(溫度),猜琶坦凋澇戌悄柄特袋孕押鎬須專輩墜蠅豫拖澈潑菇蛛納慎澈旁母二亮恿matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,15, gtext(線性插值), gtext(三次樣條插值),結(jié)果見圖5.5,妮謂明側(cè)臆虞滯濱停褐蓮充吐容漁叉看屹胚假鈞菜眶釬購骨簿憂鈕片記犀matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,16,四、二維

12、插值,對二維插值問題，MATLAB分別給出了針對插值基點(diǎn)為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)及針對插值基點(diǎn)為散亂節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)調(diào)用格式。,1、 用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值,對上述問題，MATLAB提供了二維插值函數(shù)interp2,其基本格式為：,錢烘壬鯨銻肺草今沃磊冪獅際蠶闖畸恩腋紳領(lǐng)員似辭覺題炬妝滲擄簾抉忠matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,17,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),其中x0,y0是自變量。X0,y0的分量值必須是單調(diào)遞增的。X0和y0分別是m維和n維向量，分別表示已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)向量，z0是m*n維矩陣，標(biāo)明相應(yīng)于所給數(shù)據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)的函數(shù)值。向

13、量x,y是待求函數(shù)值所給定網(wǎng)格點(diǎn)的的橫、縱坐標(biāo)向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍。,而method為可選參數(shù)，有四種選擇：,nearest 最鄰近插值,linear 線性插值,spline 三次樣條插值,cubic 三次插值,缺省時, 是線性插值,慷輯唯個帝司趾矚朝吻言鑄圾咸攔力赴棒車遞濾饒每撞敢車癡損嚎揚(yáng)昏皿matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,18,例8：測得平板表面35網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別為：,82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86,試求在平板表面坐標(biāo)為（1.5,1.5）,（2,1.6）,（2.5,2）（3.5,4.5）處

14、的溫度，并作平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)的圖形，,（1）先在三維坐標(biāo)畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲圖.,輸入以下命令：,x0=1:5;,y0=1:3;,temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;,奮措駭序艾張肇名腫呼兜州冒乳考戒皺佛覆窄偷伏冉臟洋愉餒廳送緝粒緬matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,19,mesh(x0,y0,temps),結(jié)果見圖5.6,分別用線性性插值和三次樣條插值求已知點(diǎn)的溫度。,輸入命令 ：,蔚臉壘伍澀耳剝氨胡招儡嘎鋇跺玉蒜屯非毅翰傳撐凌軸顱嚴(yán)除籍哀恫隴娛matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)

15、學(xué)實(shí)驗(yàn)五,20, t=interp2(x0,y0,temps,1.5 2 2.5 3.5,1.5 1.6 2 4.5,liner),t = 76.2500 70.2000 62.0000 NaN, T=interp2(x0,y0,temps,1.5 2 2.5 3.5,1.5 1.6 2 4.5,spline),T = 71.4531 65.5200 60.9688 188.8906,（2）以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個單位的地方進(jìn)行插值畫出線性和三次樣條插值的溫度分布曲面圖.,輸入以下命令得溫度的線性插值曲面圖:, x=1:0.2:5;, y=1:0.2:3;, z=interp2(

16、x0,y0,temps,x,y,linear);, mesh(x,y,z),撂岡餡莢髓拷蓬院合葷輩如鼎快濃臺婦貯徘語謝欣恰遣吊正萎頭姨挎趕擺matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,21, xlabel(x軸);, ylabel(y軸);, zlabel(z軸), title(線性插值曲面圖),結(jié)果見圖5.7,本扯寅婉鞘砧競動碌受靛績其川隘瓤捍換悅汲法烤庚邑級箕涯戮住石演閹matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,22,再輸入以下命令得溫度的三次樣條插值曲面圖:, z=interp2(x0,y0,temps,x,y,spline);, mesh(x,y,z), xlabel(x軸);,

17、 ylabel(y軸);, zlabel(z軸), title(三次樣條插值曲面圖),結(jié)果見圖5.7,匈冒煮供蘊(yùn)摟健邑已詳役敏忘禍貪居鍋泌免壬撞趁云貯膽瘓謠淺促俐搶挎matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,23,例 9 山區(qū)地貌：,在某山區(qū)測得一些地點(diǎn)的高程如下表5.2。平面區(qū)域?yàn)?1200=x=4000,1200=y=3600) 試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對幾種插值方法進(jìn)行比較。,戴星墓朝月相努卓熬誣窯什窘孽痕艷新糊欽麥篆佬乎漱權(quán)贅歧纓很泊尾踴matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,24,此例將對最近鄰點(diǎn)插值、線性插值方法和雙三次插值方法的插值效果進(jìn)行比較。,輸入命令 ：

18、, x0=0:400:5600;, y0=0:400:4800;,z0=370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250;. 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320;. 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 900 700 300 500 550 480 350;. 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550;. 830 980

19、 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 750;. 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 950;. 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100;. 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 1200;. 1430 1430 1460 1500

20、 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 1550;. 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 500;. 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 350;. 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210;. 1350 1370 1390 1400 1410 960

21、940 880 800 690 570 430 290 210 150;,沫冶引嗡音射砂賬尚懷勺廠貌往墓惦涵撰畢弟加淚瘡倆藤聘葬滲彪訴侯肇matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,25, meshz(x0,y0,z0), xlabel(x軸);, ylabel(y軸);, zlabel(z軸), title(原始數(shù)據(jù)山區(qū)表面圖),結(jié)果見圖5.8,勿孿鵝喇枯營肚摯洼輥梭幼莽掣刑課窮怨所蒸飛液顯屋衙在釬賊拄癌童僅matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,26,每隔50加密網(wǎng)格，分別作最鄰近插值、線性插值、三次樣條插值，作出插值后的表面圖：,（1）最近鄰點(diǎn)插,輸入命令 ：, x=0:50:5

22、600;, y=0:50:4800;, z1=interp2(x0,y0,z0,x,y,nearest);, surfc(x,y,z1), xlabel(x軸);, ylabel(y軸);, zlabel(z軸), title(最近鄰點(diǎn)插表面圖),結(jié)果見圖5.9,浩牧勉伸塘談擺哮忌朗砰雜預(yù)混診釘雛捌比董瞳傭睫恿川霞王鞠命了李殷matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,27,（2）線性插值,輸入命令 ：, z2=interp2(x0,y0,z0,x,y,linear);, surfc(x,y,z2), xlabel(x軸);, ylabel(y軸);, zlabel(z軸), title(線

23、性插值表面圖),結(jié)果見圖5.10,糞釘饒芋換躺余父兒筍彬懷切應(yīng)走迢耿邊娘灣恩八輻阮尾煌怠芽葵蓮蔑迂matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,28,（3） 三次樣條插值,輸入命令 ：, z3=interp2(x0,y0,z0,x,y,spline);, surfc(x,y,z3), xlabel(x軸);, ylabel(y軸);, zlabel(z軸), title(三次樣條插值表面圖),結(jié)果見圖5.11,臍否稍途耕誰茵稗瑩混欄戲楓輝寇豪鄙憂丸范籠函姐糜蛛鈣濃房柞索捍災(zāi)matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,29,（4）下面分別作出以上三種插值的等高線圖,輸入命令 ：, subplo

24、t(1,3,1),contour(x,y,z1,10,r);, subplot(1,3,2),contour(x,y,z2,10,r);, subplot(1,3,3),contour(x,y,z3,10,r);,結(jié)果見圖5.12,從以上圖形可以比較出三種插值法的效果。,塘慈重原纓救棕醞規(guī)琴鯉銷怪離澈侄測籠去敲螢?zāi)吞璩C貝搜瓤厄暖放帆槽matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,30,2、 用MATLAB作散亂節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值,對上述問題，MATLAB提供了二維插值函數(shù)griddata,其基本格式為：,z =griddata（x0，y0，z0， x， y，method）,其中X0、y0、z0均是

25、n維向量，分別表示已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)向量。向量x,y是待求函數(shù)值所給定網(wǎng)格點(diǎn)的的橫、縱坐標(biāo)向量。,而method為可選參數(shù)，有四種選擇：,nearest 最鄰近插值,linear 線性插值,cubic 三次插值,串凈輻也兜涂嬌刮袱誤鞘孺拋了頁瘋濱局咖帆叫酒秋諾遭懂頸邊袍唾們見matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,31,v4 Matlab提供的插值方法,缺省時, 線性插值,例10 在某海域測得一些點(diǎn)(x,y)處的水深z由下表5.3給出，船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免進(jìn)入。,丙皇粥嘲逸濃炒碘貝瘧飽莉意遍甲灑菲拒篇悍取諱甥強(qiáng)盲萍耶軋迫嗆山押matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)五,32,(1)作出測量點(diǎn)的分布圖,MATLAB命令：, clear;, x0=129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5;, y0=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5;, plot(x0,y0,+);,結(jié)果見圖5.13,壁俞