1、,第五節(jié) 函數(shù)的極值與最值,一、函數(shù)的極值,1.定義,如果存在,的一個(gè)去心鄰域,對(duì)于該去心鄰域,內(nèi)的任一點(diǎn),都有,成立,則稱,是函數(shù),的極大值,稱,為函數(shù),的極大值點(diǎn).,(極小值),(極小值點(diǎn)),的極小值點(diǎn):,的極大值點(diǎn):,2.極值點(diǎn)的必要條件,定理1,若,在,處取得極值,且,在,處可導(dǎo),則,證,不妨設(shè),是極大值.,按定義,存在去心鄰域,使得,對(duì)于任意,都有,即：,對(duì)于任意,都有,又,由費(fèi)馬引理得:,定義,若,則稱,是函數(shù),的駐點(diǎn).,注:,由定理1得:,若,是函數(shù),的極值點(diǎn),則,或,不存在.,反之不然.,反例:,但,不是,的極值點(diǎn).,但,不是,的極值點(diǎn).,3.極值的判別法,定理2(第一判別法)

2、,設(shè),在,的一個(gè)去心鄰域,內(nèi)可導(dǎo),且在,處連續(xù).,(1),若當(dāng),由小到大經(jīng)過,時(shí),的符號(hào)由正變負(fù),則,是極大值.,(2),若當(dāng),由小到大經(jīng)過,時(shí),的符號(hào)由負(fù)變正,則,是極小值.,(3),若當(dāng),由小到大經(jīng)過,時(shí),的符號(hào)不改變,則,不是極值.,(,),+,-,是極大值,(,),-,+,是極小值,(,),+,+,不是極值,(,),-,-,不是極值,例1,求,的極值.,解,(1)定義域:,(2),令,解得,時(shí),不存在,(3)討論單調(diào)性,-,不 存 在,+,0,-,不 存 在,-,極小值,極大值,非極 值,(4),極小值:,極大值:,說(shuō)明,如果由,的表達(dá)式不易確定它在駐點(diǎn),附近的符號(hào),那么,用極值的第一

3、判別法就不好求,極值了.,但是,這時(shí)若函數(shù),在駐點(diǎn)處的,二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零,則可用下面的定理來(lái)求極值.,定理3(第二判別法),設(shè),在,處二階可導(dǎo),且,則,(1)當(dāng),時(shí),是極大值,(2)當(dāng),時(shí),是極小值,證 (1),按定義,由函數(shù)極限的局部保號(hào)性得:,就有,.,于是,從而,從而,(第一判別法),(2) 類似可證.,例2,求函數(shù),的極值.,解,是周期函數(shù)，,只需考慮,在區(qū)間,上的情況.,令,解得,極大值,極小值,二、 函數(shù)的最大值和最小值,在實(shí)際中，經(jīng)常遇到這樣的問題：,怎樣使產(chǎn)品的用料最?。砍杀咀畹?？生產(chǎn)時(shí)間最短？,怎樣使生產(chǎn)的效益最高？利潤(rùn)最大？,這類問題稱為“最優(yōu)化問題”,在數(shù)學(xué)上，,這類

4、問題可歸結(jié)為：,求某個(gè)函數(shù)的最大值或最小值的問題,（簡(jiǎn)稱最值問題）,這里，我們只研究一些較簡(jiǎn)單的最值問題。,1.,設(shè)函數(shù),是閉區(qū)間,上的連續(xù)函數(shù),且在,內(nèi)只有有限個(gè)導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn).,求,在閉區(qū)間,上的最值.,求法:,(1),記為:,(2),(3),例3,求函數(shù),在,上的最大值和最小值。,解,記,令,解得,計(jì)算,2.,設(shè)函數(shù),在區(qū)間,內(nèi)可導(dǎo),且只有一個(gè)駐點(diǎn),又,是,的極值點(diǎn)，,則,當(dāng),是極大值時(shí)，,就是區(qū)間,上的最大值。,當(dāng),是極小值時(shí)，,就是區(qū)間,上的最小值。,（,）,（,）,3. 在實(shí)際問題中,往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定,可導(dǎo)函數(shù),確有最大值(或最小值),而且一定在,定義區(qū)間內(nèi)部取到.,這時(shí),如果,在定義區(qū)間,內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn),那么,可以斷定,就是,最大值(或最小值).,(不必討論,是否為極值),例4,設(shè)有一塊邊長(zhǎng)為,的正方形鐵皮,從其各角,截去同樣的小正方形,作成一個(gè)無(wú)蓋的方盒,問:,截去多少才能使得作成的盒子容積最大?,解,設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng),為,則作成盒子的容積,(,),令,解得,在,內(nèi)可導(dǎo),且只有一個(gè)駐點(diǎn),又由實(shí)際問題知:,在,內(nèi)