1、第3章空間向量與立體幾何,章末復(fù)習(xí)課,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的運(yùn)算法則及運(yùn)算律. 2.掌握空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，會用數(shù)量積解決垂直問題、夾角問題. 3.理解空間向量基本定理，掌握空間向量的坐標(biāo)表示. 4.會用基向量法、坐標(biāo)法表示空間向量. 5.會用向量法解決立體幾何問題.,題型探究,知識梳理,內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,知識梳理,知識點(diǎn)一空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的向量表示,設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為，v，則,v0,a,a0,kv，kR,ab,ab0,知識點(diǎn)二用坐標(biāo)法解決立體幾何問題,步驟如下： (1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； (2)寫出相

2、關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)； (3)進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運(yùn)算； (4)寫出幾何意義下的結(jié)論.,關(guān)鍵點(diǎn)如下： (1)選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.坐標(biāo)系的選取很重要，恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)易求且簡單，簡化運(yùn)算過程. (2)點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的確定.將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題，必須確定點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方向向量、平面的法向量，這是最核心的問題. (3)幾何問題與向量問題的轉(zhuǎn)化.平行、垂直、夾角問題都可以通過向量計(jì)算來解決，如何轉(zhuǎn)化也是這類問題解決的關(guān)鍵.,題型探究,其中正確結(jié)論的序號是_.,類型一空間向量及其運(yùn)算,例1如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距

3、離都等于2.給出以下結(jié)論：,答案,解析,向量的表示與運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則及各運(yùn)算公式，理解向量運(yùn)算法則、運(yùn)算律及其幾何意義.,反思與感悟,解答,由已知ABCD是平行四邊形，,類型二利用空間向量解決位置關(guān)系問題,例2四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)，求證： (1)PC平面EBD.,證明,如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DC，DA，DP所在的直線為x軸，y軸， z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)DCa，PDb， 設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，,(2)平面PBC平面PCD.,證明,設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m(x1，y

4、1，z1)，,(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量. (2)證明線面平行的方法 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直. 能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線. 利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量. (3)證明面面平行的方法 轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理. 證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量.,反思與感悟,(4)證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直. (5)證明線面垂直的方法 證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量. 證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直. (6)證明面面垂直的方法 轉(zhuǎn)化為

5、證明線面垂直. 證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.,跟蹤訓(xùn)練2正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)，求證：平面AED平面A1FD1.,證明,如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體棱長為1，則 設(shè)m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分別是平面AED和平面A1FD1的一個(gè)法向量，,令y11，得m(0,1，2). 令z21，得n(0,2,1). mn(0,1，2)(0,2,1)0， mn，故平面AED平面A1FD1.,類型三利用空間向量求角,例3如圖所示，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED

6、1F4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形. (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；,解答,交線圍成的正方形 EHGF如圖所示，,(2)求直線AF與平面所成角的正弦值.,解答,作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EMAA18. 因?yàn)镋HGF為正方形，所以EHEFBC10.,設(shè)n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，,用向量法求空間角的注意點(diǎn) (1)異面直線所成角：兩異面直線所成角范圍為090，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解. (2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面所成的角，先求這個(gè)平面的法向量n與直線a的方向向量a的夾角的余弦cosn，

7、a，再利用公式sin |cosn，a|，求. (3)二面角：如圖，有兩個(gè)平面與，分別作這兩個(gè)平面的法向量n1與n2，則平面與所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等 或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練3如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn). (1)求證：GF平面ADE；,證明,方法一如圖，取AE的中點(diǎn)H，連結(jié)HG，HD， 由四邊形ABCD是矩形， 得ABCD，ABCD， 所以GHDF，且GHDF， 從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GFDH. 又DH平面ADE，GF平面AD

8、E， 所以GF平面ADE.,方法二如圖，取AB中點(diǎn)M，連結(jié)MG，MF. 又G是BE的中點(diǎn)，可知GMAE. 又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE. 在矩形ABCD中， 由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)得MFAD. 又AD平面ADE，MF平面ADE. 所以MF平面ADE. 又因?yàn)镚MMFM，GM平面GMF，MF平面GMF， 所以平面GMF平面ADE. 又因?yàn)镚F平面GMF，所以GF平面ADE.,(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.,解答,方法一如圖，在平面BEC內(nèi)，過B點(diǎn)作BQEC. 因?yàn)锽ECE，所以BQBE. 又因?yàn)锳B平面BEC，所以ABBE，ABBQ. 以B為

9、原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)閤軸， y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1). 因?yàn)锳B平面BEC， 所以 (0,0,2)為平面BEC的法向量. 設(shè)n(x，y，z)為平面AEF的法向量.,方法二同方法一.,取z2，得n(2，1,2).,當(dāng)堂訓(xùn)練,2,3,4,5,1,連結(jié)AG，BG，在BCD中，因?yàn)辄c(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，,答案,解析,2,3,4,5,1,2.若a(0,1，1)，b(1,1,0)，且(ab)a，則實(shí)數(shù)的值是_.,ab(，1，1). 由(ab)a，知(ab)a0， 0(1)1(1)(1)0，解得2.,答案,解析,2,2,3,4,5,1,3.已知向量a(42m，m1，m1)與b(4,22m，22m)平行， 則m_.,1或3,當(dāng)22m0，即m1時(shí)，a(2,0,0)，b(4,0,0)，滿足ab； 當(dāng)22m0，即m1時(shí)， 綜上可知，m3或m1.,答案,解析,2,3,4,5,1,4.已知平面經(jīng)過點(diǎn)O(0,0,0)，且e(1,1,1)是的一個(gè)法向量，M(x，y，z)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則x，y，z滿足的關(guān)系式是_.,xyz0,答案,解析,m1，c(2，1,2)或c(2,1，2).,解答,2,3,4,5,1,a(1,1,0)，b(1,0,2)， ab(1,1,0)(