1、1,補充輪換對稱性結論:,若D關于x,y滿足輪換對稱性(將D的邊界曲線方程中的x與y交換位置,方程不變),則,2,證,所以,例,習 題 課,二 重 積 分,知識要點,解題技巧,典型例題,4,其中,一、二重積分的概念與性質,是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值.,幾何意義,二重積分I表示以D為底,柱體的體積.,z =f (x, y)為曲頂, 側面是,（一）二重積分的定義,幾何意義與物理意義,定義,1.,平面上有界閉區(qū)域D上二元有界函數,z = f (x, y)的二重積分,2.,當連續(xù)函數,以D的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面的曲頂,一般情形,知識要點,5,物理意義,3.,xOy平面上方的曲頂柱體體積,

2、減xOy平面下方的曲頂柱體體積.,若平面薄片占有平面內有界閉區(qū)域D,則它的質量M為:,它的面,密度為連續(xù)函數,6,性質1(線性運算性質),為常數, 則,(重積分與定積分有類似的性質),性質2,將區(qū)域D分為兩個子域,對積分區(qū)域的可加性質.,（二）二重積分的性質,7,以1為高的,性質3(幾何應用),若 為D的面積,既可看成是以D為底,柱體體積.,又可看成是D的面積.,特殊地,性質4(比較性質),則,(保序性),8,幾何意義,以m為高和以M為高的,性質5(估值性質),為D的面積, 則,則曲頂,柱體的體積介于以D為底,兩個平頂柱體體積之間.,9,性質6(二重積分中值定理),體體積等于以D為底,幾何意義

3、,域D上連續(xù),為D的面積,則在D上至少存在一點,使得,則曲頂柱,為高的平頂柱體體積.,設f (x, y)在閉區(qū),10,(1)設f (x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù).,若D關于,則,x軸對稱,f (x, y)對y為奇函數, 即,f (x, y)對y為偶函數, 即,則,其中,（三）對稱區(qū)域上奇偶函數的積分性質,11,(2)設f (x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù).,若D關于,則,y軸對稱,f (x, y)對x為奇函數, 即,f (x, y)對x為偶函數, 即,則,其中,12,(3)設f (x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù).,13,其中函數,在區(qū)間a, b上連續(xù).,二、在直角坐標系中化二重積分為,累次積

4、分,(1) 設f (x, y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù).,先對y 后對x的二次積分,14,其中函數,在區(qū)間c, d上連續(xù).,(2) 設f (x, y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù).,先對x 后對y的二次積分.,15,三、在極坐標系中化二重積分為累次積分,(1)設f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域D上連續(xù).,其中函數,16,(2)設f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域D上連續(xù).,其中函數,17,極坐標系下區(qū)域的面積,(3)設f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域D上連續(xù).,其中函數,18,再確定交換積分次,1. 交換積分次序:,先依給定的積分次序寫出積分域D的,不等式,并畫D的草圖;,序后的積分限;

5、,2. 如被積函數為,圓環(huán)域時,或積分域為,圓域、扇形域、,則用極坐標計算;,解題技巧,19,3. 注意利用對稱性質,數中的絕對值符號.,以便簡化計算;,4. 被積函數中含有絕對值符號時,應,將積分域分割成幾個子域,使被積函數在,每個子域中保持同一符號,以消除被積函,20,解,例,計算積分,交換積分次序.,原式 =,典型例題,1.交換積分次序,21,計算,解,積分域是圓,故關于x、y軸、,故將被積函數分項積分:,而,又,所以,原式 =,對稱,例,直線,2.利用對稱性,22,證,所圍立體的體積等于,是連續(xù),的正值函數,所求立體在xOy面上的投影區(qū)域為,有:,例,證明:,23,解,原式 =,用極坐標.,對稱性,積分區(qū)域關于x軸對稱,例,3.坐標系的選擇,24,若函數 f (x, y)在矩形區(qū)域D:,解,上連續(xù), 且,求 f (x, y) .,設,兩邊積分, 得,例,25,計算二重積分,D2,例,將D分成D1與D2兩部分.,D1,其中,解,由于,直角坐標,3.被積函數帶絕對值、最大(小)值符號的積分,26,其中,因此,27,其中,選擇適當的坐標計算:,解,原式 =,例,28,其中,選擇適當的坐標計算:,解,原式 =,例,29,計算,解,積分