1、概率與統(tǒng)計(jì),開課系：非數(shù)學(xué)專業(yè) 教師: 葉梅燕 e-mail: yemeiyan ,教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 王松桂 等編 科學(xué)出版社2002,參考書：1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 浙江大學(xué) 盛驟等 編 高等教育出版社 2. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 魏振軍 編 中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,序 言,?,概率論是研究什么的？,隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,概率論研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué),目 錄,第一章 隨機(jī)事件及其概率 第二章 隨機(jī)變量 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第四章 樣本及抽樣分布 第五章 參數(shù)估計(jì) 第六章 假設(shè)檢驗(yàn),第一章 隨機(jī)事件及其概率,隨機(jī)事件及其運(yùn)算 概率的定義及其運(yùn)算 條件概率 事件的獨(dú)立性,

2、1.1隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)試驗(yàn)(簡(jiǎn)稱“試驗(yàn)”),隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)(p1) 1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； 2.一次試驗(yàn)之前無(wú)法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)，但能確定所有的可能結(jié)果。 隨機(jī)試驗(yàn)常用E表示,E1: 拋一枚硬幣，分別用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況； E3:某城市某年某月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)； E4:擲一顆骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)； E6:在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命; E7:任選一人，記錄他的身高和體重 。,隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的例子,隨機(jī)事件,二、樣本空間(p2),1、樣本空間：試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組

3、成的集合稱為樣本空間，記為 =e； 2、樣本點(diǎn): 試驗(yàn)的單個(gè)結(jié)果或樣本空間的單元素稱為樣本點(diǎn),記為e. 3.由樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為基本事件,也記為e.,幻燈片 6,隨機(jī)事件,1.定義 樣本空間的任意一個(gè)子集稱為隨機(jī)事件, 簡(jiǎn)稱“事件”.記作A、B、C等 任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集. 稱事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素。 2.兩個(gè)特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p3) 例如 對(duì)于試驗(yàn)E2 ，以下A 、 B、C即為三個(gè)隨機(jī)事件: A“至少出一個(gè)正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B = “兩次出現(xiàn)同一面”=HHH,TTT C=“恰

4、好出現(xiàn)一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，試驗(yàn)E6中D“燈泡壽命超過(guò)1000小時(shí)” x:1000xT(小時(shí)）。,三、事件之間的關(guān)系,既然事件是一個(gè)集合，因此有關(guān)事件間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則也就按集合間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則來(lái)處理。,1.包含關(guān)系(p3)“ 事件 A發(fā)生必有事件B發(fā)生” 記為AB AB AB且BA.,2.和事件： (p3)“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作AB,2n個(gè)事件A1, A2, An至少有一個(gè)發(fā)生，記作,3.積事件(p4) :事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，記作 ABAB,3n個(gè)事件A1, A2, An同時(shí)發(fā)生，記作 A1A2An,4.差事件(p5) ：AB稱為A與B的

5、差事件,表示事件A發(fā) 生而事件B不發(fā)生,思考：何時(shí)A-B=?何時(shí)A-B=A？,5.互斥的事件（也稱互不相容事件）(p4) 即事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生。AB ,6. 互逆的事件(p5) AB , 且AB ,五、事件的運(yùn)算(p5),1、交換律：ABBA，ABBA 2、結(jié)合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、對(duì)偶(De Morgan)律：,例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：,1.2 概率的定義及其運(yùn)算,從直觀上來(lái)看，事件A的概率是

6、描繪事件A發(fā)生的可能性大小的量,?,P（A）應(yīng)具有何種性質(zhì)？,?,* 拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？ * 擲一顆骰子，出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為多少？ 出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？ * 向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？,(p10)若某實(shí)驗(yàn)E滿足： 1.有限性：樣本空間Se1, e 2 , , e n ; 2.等可能性：（公認(rèn)） P(e1)=P(e2)=P(en). 則稱E為古典概型也叫等可能概型。,1.2.1.古典概型與概率,設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A) ，以N()記樣本空間 中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有,P(A)具有如下性質(zhì)(P7),(1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3)

7、 AB，則 P( A B ) P(A) P(B),古典概型中的概率(P10):,例:有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等,則至少有一個(gè)男孩的概率是多少? 解:設(shè)A-至少有一個(gè)男孩,以H表示某個(gè)孩子是男孩,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,二、古典概型的幾類基本問題,乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步， 第一步有n1種方法,第二步有n2種方法， 則完成這件事共有n1n2種方法。 （也可推廣到分若干步）,復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念,加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑

8、有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。 （也可推廣到若干途徑）,這兩公式的思想貫穿著整個(gè)概率問題的求解。,有重復(fù)排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī) 抽取k 次，每次取一個(gè)，記錄其結(jié)果 后放回，將記錄結(jié)果排成一列，,n,n,n,n,共有nk種排列方式.,無(wú)重復(fù)排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k 次， 每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)種排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,組合：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k 個(gè)， 共有,種取法.,1、抽球問題 例1:設(shè)合中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從合中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。 解:

9、設(shè)A-取到一紅一白,答:取到一紅一白的概率為3/5,一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是,在實(shí)際中，產(chǎn)品的檢驗(yàn)、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機(jī)抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過(guò)多的交代實(shí)際背景。,2、分球入盒問題 例2：將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到m個(gè)盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：,P9,某班級(jí)有n 個(gè)人(n365)， 問至少有兩個(gè)人的生日在同一

10、天 的概率有多大？,?,3.分組問題 例3：30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求： （1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率； （2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。 解:設(shè)A:每組有一名運(yùn)動(dòng)員;B: 3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組,一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分成m組(nm),要求第 i 組恰 有ni個(gè)球(i=1,m)，共有分法：,4 隨機(jī)取數(shù)問題,例4 從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè), (1)求取到的數(shù)能被6整除的概率 (2)求取到的數(shù)能被8整除的概率 (3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率,解:N(S)=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=20

11、0/8=25,(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25,某人向目標(biāo)射擊， 以A表示事件“命中目標(biāo)”， P（A）=？,?,定義:(p8) 事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA次，則 比值nA/n稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中 出現(xiàn)的頻率，記為fn(A). 即 fn(A) nA/n.,1.3 頻率與概率,歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。 實(shí)驗(yàn)者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson

12、24000 12012 0.5005,頻率的性質(zhì) (1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，則 fn(AB) fn(A) fn(B).,實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)， fn(A) 逐漸 趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)， 作為事件A的概率,1.3.2. 概率的公理化定義,注意到不論是對(duì)概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義,1.定義(p8) 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù) P(A)滿足條件： (

13、1) P(A) 0； (2) P()1； (3) 可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1) 則稱P(A)為事件A的概率。,2.概率的性質(zhì) P(10-13) (1) 有限可加性：設(shè)A1，A2，An , 是n個(gè)兩兩互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,則有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,(3)事件差 A、B是兩個(gè)事件，則 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 單調(diào)不減性：若事件AB，則 P(A

14、)P(B),(4) 加法公式：對(duì)任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1，A2，An的情形； (3) 互補(bǔ)性：P(A)1 P(A); (5) 可分性：對(duì)任意兩事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) .,某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙.沒有人同時(shí)訂甲乙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.,EX,解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報(bào),例1.3.2.在110這10個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求 （1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率， （2）取到的

15、數(shù)即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的概率。,解:設(shè)A取到的數(shù)能被2整除; B-取到的數(shù)能被3整除,故,袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問 第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？ 第二 個(gè)人取得紅球的概率是多少？,?,1.4 條件概率,若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？,已知事件A發(fā)生的條件下， 事件B發(fā)生的概率稱為 A條件下B的條件概率，記作P(B|A),若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？,一、條件概率 例1 設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)

16、，取后不放回， （1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率; （2）求第二次取到紅球的概率 （3）求兩次均取到紅球的概率,設(shè)A第一次取到紅球,B第二次取到紅球,S=,A,B,A第一次取到紅球, B第二次取到紅球,顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個(gè)事件，其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則,稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率(p14),一般地，設(shè)A、B是S中的兩個(gè)事件，則,?,“條件概率”是“概率”嗎？,概率定義 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件： P(A) 0； (2) P(S)1; (3

17、) 可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱P(A)為事件A的概率。,例2.(p14)一盒中混有100只新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。,設(shè)A-從盒中隨機(jī)取到一只紅球. B-從盒中隨機(jī)取到一只新球.,A,B,二、乘法公式(p15),設(shè)A、B ，P（A）0,則 P(AB)P(A)P(B|A). (1.4.2) 式(1.4.2)就稱為事件A、B的概率乘法公式。,式(1.4.2)還可推廣到三個(gè)事件的情

18、形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.4.3) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). (1.4.4),例3 合中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放 入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、 第3、4次取得紅球的概率。,解：設(shè)Ai為第i次取球時(shí)取到白球，則,三、全概率公式與貝葉斯公式,例4.(p16)市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場(chǎng)上該品

19、牌產(chǎn)品的次品率。,B,定義 (p17)事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間的一個(gè)劃分，若滿足：,A1,A2,An,B,定理1、(p17) 設(shè)A1，, An是的一個(gè)劃分，且P(Ai)0，(i1，n)， 則對(duì)任何事件B 有,式(1.4.5)就稱為全概率公式。,例5 (P17)有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍瑔柎饲蚴羌t球的概率？,解：設(shè)A1從甲袋放入乙袋的是白球； A2從甲袋放入乙袋的是紅球； B從乙袋中任取一球是紅球；,甲,乙,定理2 (p18) 設(shè)A1，, An是S的一個(gè)

20、劃分，且P(Ai) 0，(i1，n)，則對(duì)任何事件BS，有,式(1.4.6)就稱為貝葉斯公式。,思考：上例中，若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,(P22,22.) 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？,解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例6(p18

21、)數(shù)字通訊過(guò)程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?,0.067,解：設(shè)A-發(fā)射端發(fā)射0， B- 接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào),0 (0.55),0 1 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),條件概率,條件概率 小 結(jié),縮減樣本空間,定義

22、式,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式,1.5 事件的獨(dú)立性一、兩事件獨(dú)立,(P19) 定義1 設(shè)A、B是兩事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) (1.5.1) 則稱事件A與B相互獨(dú)立。 式(1.5.1)等價(jià)于： P(AB)P(A)P(B) (1.5.2),從一付52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問A與B是否獨(dú)立？,定理、以下四件事等價(jià)： (1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立； (3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。,二、多個(gè)事件的獨(dú)立,定義2、(p20) 若三個(gè)事件A、B、C滿足： (1) P(AB)=P(A)P(B),

23、 P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；,若在此基礎(chǔ)上還滿足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.5.3) 則稱事件A、B、C相互獨(dú)立。,一般地，設(shè)A1，A2，An是n個(gè)事件，如果對(duì) 任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) (1.5.4) 則稱n個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)立。,思考： 1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨(dú)立，則,2.一顆骰子擲4次至少得一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子擲24次至少得一個(gè)雙六，這兩件事， 哪一個(gè)有更多的機(jī)會(huì)遇

24、到？,答:0.518, 0.496,三、事件獨(dú)立性的應(yīng)用,1、加法公式的簡(jiǎn)化：若事件A1，A2，An相互獨(dú)立, 則 (1.5.5),2、在可靠性理論上的應(yīng)用 P23, 24如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn),假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為p,且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率。,設(shè)A-L至R為通路,Ai-第i個(gè)繼電器通,i=1,2,5,由全概率公式,EX1:一個(gè)學(xué)生欲到三家圖書館借一本參考書每家圖書館購(gòu)進(jìn)這種書的概率是1/2，購(gòu)進(jìn)這種書的圖書館中該書被借完了的概率也是1/2各家圖書館是否購(gòu)進(jìn)該書相互獨(dú)立問該學(xué)生能夠借到書的概率是多少？,第一章 小結(jié) 本章由六個(gè)概念（隨機(jī)試驗(yàn)、事

25、件、概率、條件概率、獨(dú)立性），四個(gè)公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式）和一個(gè)概型（古典概型）組成,第二章隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 多維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性 條件分布 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容這是因?yàn)?，?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量也可以說(shuō)：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概

26、念同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是 隨機(jī)變量,2.1隨機(jī)變量的概念,(p24)定義. 設(shè)S=e是試驗(yàn)的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對(duì)于每一個(gè)eS，有一實(shí)數(shù)X=X(e)與之對(duì)應(yīng)，則稱X為隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量常用X、Y、Z 或 、等表示。,隨機(jī)變量的特點(diǎn):,1 X的全部可能取值是互斥且完備的,2 X的部分可能取值描述隨機(jī)事件,?,請(qǐng)舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子,EX引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件： 將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中， 事件A=有1個(gè)空格，B=有2個(gè)空格， C=全有球。 進(jìn)行5次試驗(yàn)，事件D=試驗(yàn)成功一次， F=試驗(yàn)至少成功

27、一次，G=至多成功3次,隨機(jī)變量的分類： 隨機(jī)變量,2.2離散型隨機(jī)變量,(P25)定義 若隨機(jī)變量X取值x1, x2, , xn, 且取這些值的概率依次為p1, p2, , pn, , 則稱X為離散型隨機(jī)變量，而稱 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為X的分布律或概率分布。可表為 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )， 或,Xx1 x2xK Pkp1p2pk,(1) pk 0, k1, 2, ; (2),例1 設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。 解 k可取值0，1，2,2. 分布律的性質(zhì),例2.某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊5次

28、，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。,解：設(shè)Ai第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5 則A1,A2,A5,相互獨(dú)立且 P(Ai)=p,i=1,2,5. SX=0,1,2,3,4,5,(1-p)5,幾個(gè)常用的離散型分布（一）貝努里(Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布,1. (0-1)分布(p26) 若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(01)分布(兩點(diǎn)分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1) k0，1 或,(P27)若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記作XB（n,p),其分布律為：,2.(p27)定

29、義 設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn).,例3.從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3. (1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律. (2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.,解:(1)由題意,XB(6,1/3),于是,X的分布律為:,例4. 某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。,泊松定理(p28) 設(shè)隨機(jī)變量XnB(n, p), (n0, 1, 2,), 且n很大，p很小，記=np，則,解 設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命

30、中的次數(shù)， 則XB(400, 0.02)，故 PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.98399)=,上題用泊松定理 取 =np(400)(0.02)8, 故 近似地有,PX21 PX0P X1 1(18)e80.996981.,（二. ） 泊松(Poisson)分布P()(p28) XPXk , k0, 1, 2, (0),泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布， 當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地 看成是參數(shù)=np的泊松分布,例5.設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)1個(gè)孩子的概率為3e-2.求任選一對(duì)夫婦,至少有3個(gè)孩子

31、的概率。,解:由題意,例6. 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p， 令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。,解:m=1時(shí),m1時(shí),X的全部取值為:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第m+1次試驗(yàn)時(shí)成功并且 在前m次試驗(yàn)中成功了m-1次,想一想：離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以 用分布律描述，非離散型的該如何描述？ 如：熊貓彩電的壽命X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì) 消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，你是否在意 X5年還是X5年零1分鐘,2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念.,定義(P29) 設(shè)X是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，事件Xx的概率PXx稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 記為F(x)，即 F(x)P

32、 Xx. 易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).,二、分布函數(shù)的性質(zhì)(P29),1、單調(diào)不減性：若x1x2, 則F(x1)F(x2); 2、歸一 性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且,3、右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，,反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是 分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。,一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函數(shù)為,例1 設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表,解,試求出X的分布函數(shù)。,例2 向0,1區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定質(zhì)點(diǎn)落在0,1區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比，

33、求X的分布函數(shù) 解： F(x)=PXx,當(dāng)x1時(shí),F(x)=1,當(dāng)0 x1時(shí),特別,F(1)=P0 x1=k=1,用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀， 對(duì)非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法？,?,a,b,2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量一、概率密度,1. 定義(p33) 對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-x+)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù). 常記為 X f(x) , (-x+),密度函數(shù)的幾何意義為,2. 密度函數(shù)的性質(zhì) (p34) (1) 非負(fù)性 f(x)0，(-x)； (2)歸一性,性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)

34、的充要性質(zhì)；,EX,設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求常數(shù)a.,答:,(3) 若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則,EX,設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 求f(x),（4） 對(duì)任意實(shí)數(shù)b，若X f(x)， (-x)，則PX=b0。 于是,P(35) 例2.3.2.已知隨機(jī)變量X的概率密度為 1)求X的分布函數(shù)F(x), 2)求PX(0.5,1.5),二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布,1. 均勻分布(p36) 若Xf(x),則稱X在(a, b)內(nèi)服從均勻分布。記作 XU(a, b),對(duì)任意實(shí)數(shù)c, d (acdb)，都有,例.長(zhǎng)途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車

35、站，求乘客候車時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率,15,45,解：設(shè)A乘客候車時(shí)間超過(guò)10分鐘 X乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60),2. 指數(shù)分布(p36) 若 X,則稱X服從參數(shù)為0的指數(shù)分布。 其分布函數(shù)為,例 .電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布 (1)求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率。 (2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？,解,例.某公路橋每天第一輛汽車過(guò)橋時(shí)刻為T， 設(shè)0，t時(shí)段內(nèi)過(guò)橋的汽車數(shù)Xt服從 參數(shù)為t的泊松分布，求T的概率密度。,解,當(dāng)t 0時(shí)，,當(dāng)t 0時(shí)，,=1- 在t時(shí)刻之前無(wú)汽車過(guò)橋,于是,正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上

36、研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特 別重要的地位。,3. 正態(tài)分布,A,B,A，B間真實(shí)距離為，測(cè)量值為X。X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？,其中 為實(shí)數(shù)， 0 ，則稱X服從參數(shù)為 ,2的正態(tài)分布,記為N(, 2)，可表為XN(, 2).,若隨機(jī)變量,(1) 單峰對(duì)稱 密度曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱；(p38) f()maxf(x) .,正態(tài)分布有兩個(gè)特性：,(2) 的大小直接影響概率的分布 越大，曲線越平坦， 越小，曲線越陡峻，。 正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布,4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(p38) 參數(shù)0，21的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作XN(0, 1)。,分布函數(shù)表示為,其密度函數(shù)表示為,

37、一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。(P226附表1)如，若 ZN（0，1）,（0.5)=0.6915, P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066,注：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，則,正態(tài)分布表,EX,設(shè)隨機(jī)變量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?,P(39)例2.3.5.設(shè) XN(,2), 求P-3X+3,本題結(jié)果稱為3 原則.在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P|X|3 1，忽略|X|3的值. 如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值3作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào).表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.,正

38、態(tài)分布表,(p67)14 一種電子元件的使用壽命（小時(shí)）服從正態(tài)分布(100,152),某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的.求：使用的最初90小時(shí)內(nèi)無(wú)一元件損壞的概率.,解:設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù),故,則YB(3,p),其中,正態(tài)分布表,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律,2.5 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,(p55) 設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量，分布律為 XPXxkpk, k1, 2, 若yg(x)是一元單值實(shí)函數(shù)，則Yg(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量。求Y的分布律.,例:已知,X,Pk,-1 0 1,求：Y=X2的分布律,Y,Pk,1 0,或 Yg(X)PYg(xk)pk ， k

39、1, 2, （其中g(shù)(xk)有相同的，其對(duì)應(yīng)概率合并。）,一般地,X,Pk,Y=g(X),二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù),1、一般方法(p56) 若Xf(x), - x +, Y=g(X)為隨機(jī)變量X 的函數(shù)，則可先求Y的分布函數(shù) FY (y) PYyP g(X) y,然后再求Y的密度函數(shù),此法也叫“ 分布函數(shù)法”,例1.設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。,當(dāng)y0時(shí),當(dāng)0y1時(shí),當(dāng)y1時(shí),例2.設(shè)X的概率密度為fX(x),y=g(x)關(guān)于x處處可導(dǎo)且是 x的嚴(yán)格單減函數(shù)，求Y=g(X)的概率密度。 解：Y的分布函數(shù)為,FY(y)=PYy=Pg(X)y =PXg-1(y)=1

40、-FX(g-1(y),Y的概率密度為 fY(y)=F(g-1(y)=fX(g-1(y) g-1(y),2、公式法：一般地 若XfX(x), y=g(x)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則,注：1 只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以 上公式推求Y的密度函數(shù)。 2 注意定義域的選擇,其中h(y)為yg(x)的反函數(shù).,例3.已知XN(,2),求,解：,的概率密度,關(guān)于x嚴(yán)單,反函數(shù)為,故,例4 設(shè)XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a0),解: Y=ax+b關(guān)于x嚴(yán)單,反函數(shù)為,故,而,故,小結(jié).,習(xí)題課,一、填空： 1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為（2,p）的二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量Y服從參數(shù)（3,p）的

41、二項(xiàng)分布，若 ， 則PY1=,2.設(shè)隨機(jī)變量X服從（0，2）上的均勻分布，則隨機(jī)變量Y=X2在（0，4）內(nèi)的密度函數(shù)為 fY(y)=,3.設(shè)隨機(jī)變量XN（2，2），且P（2X4）=0.3，則P(X0)=,二.從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.以Y表示汽車在第一次停止之前所通過(guò)的交通崗數(shù),求Y的分布律.(假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)火車站時(shí)停止),三、某射手對(duì)靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.6，現(xiàn)他扔一個(gè)均勻的骰子，扔出幾點(diǎn)就對(duì)靶獨(dú)立射擊幾發(fā)，求他恰好命中兩發(fā)的概率。,四.已知隨機(jī)變量X的概率密度為,求：Y=1-X2的概率密度,2.6

42、 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布一、 多維隨機(jī)變量,1.定義(p41)將n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，.,Xn構(gòu)成一個(gè)n維向量 (X1,X2,.,Xn)稱為 n維隨機(jī)變量。,一維隨機(jī)變量XR1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo) 二維隨機(jī)變量(X,Y)R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo) n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo) 多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似， 用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律,(p41)設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量，(x, y)R2, 則稱 F(x,y)=PXx, Yy 為(X, Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。,二. 聯(lián)合分布函數(shù),幾何意義：分布函數(shù)F( )表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域 中

43、的概率。如圖陰影部分：,對(duì)于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),則 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：(p41-42),且,(1)歸一性 對(duì)任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,(2)單調(diào)不減 對(duì)任意y R, 當(dāng)x1x2時(shí)， F(x1, y) F(x2 , y)； 對(duì)任意x R, 當(dāng)y1y2時(shí)， F(x, y1) F(x , y2).,(3)右連續(xù) 對(duì)任意xR

44、, yR,(4)矩形不等式 對(duì)于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F(x, y)都 可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)。,例2.已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為,1)求常數(shù)A，B，C。 2)求P0X2,0Y3,解:,三.聯(lián)合分布律,(P42)若二維隨機(jī)變量(X, Y)只能取至多可列個(gè)值(xi, yj), (i, j1, 2, )，則稱(X, Y)為二維離散型隨機(jī)變量。 若二維離散型隨機(jī)變量(X, Y) 取 (xi

45、, yj)的概率為pij,則稱 PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的分布律，或隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律.可記為 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，,X Y y1 y2 yj p11 p12 . P1j . p21 p22 . P2j . pi1 pi2 . Pij .,.,.,.,.,.,.,.,.,聯(lián)合分布律的性質(zhì) (1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2),x1 x2 xi,二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可列表表示如下:,P43,例3.(P43)袋中有兩只紅球，三只白球，現(xiàn)不放回摸

46、球二次， 令,求(X,Y)的分布律。,X,Y,1 0,1 0,四.二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù),1、定義 p44 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X, Y)，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f (x, y)，使對(duì)(x, y)R2， 其分布函數(shù),則稱 (X, Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)為 (X, Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為 (X, Y) f (x, y)， (x, y)R2,2、聯(lián)合密度f(wàn)(x, y)的性質(zhì)(p44) (1)非負(fù)性： f (x, y)0, (x, y)R2; (2)歸一性：,反之，具有以上兩個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)f (x, y)，必是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函

47、數(shù)。 此外，f (x, y)還有下述性質(zhì),(3)若f (x, y)在(x, y)R2處連續(xù)，則有,(4)對(duì)于任意平面區(qū)域G R2,EX,設(shè),求:PXY,G,求：(1)常數(shù)A；(2) F(1,1)； (3) (X, Y)落在三角形區(qū)域D：x0, y0, 2X+3y6 內(nèi)的概率。,例4. 設(shè),解(1)由歸一性,(3) (X, Y)落在三角形區(qū)域D：x0, y0, 2X+3y6 內(nèi)的概率。,解,3. 兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布(p45) 若二維隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)為 則稱(X, Y)在區(qū)域D上(內(nèi)) 服從均勻分布。,易見，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi)) 服從均勻分布，對(duì)D內(nèi)

48、任意區(qū)域G，有,例5.設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求PY2X ； (3)求F(0.5,0.5),其中，1、2為實(shí)數(shù)，10、20、| |1，則稱(X, Y) 服從參數(shù)為1, 2, 1, 2, 的 二維正態(tài)分布，可記為,(2)二維正態(tài)分布N(1, 2, 1, 2, ) 若二維隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)為(P101),分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機(jī)變量的情形。 事實(shí)上，對(duì)n維隨機(jī)變量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn) 稱為的n維隨機(jī)變量(X1, X2, , Xn)的分布

49、函數(shù)， 或隨機(jī)變量X1, X2, , Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。,定義2.4.6. n維隨機(jī)變量(X1,X2,.Xn)， 如果存在非負(fù)的n元函數(shù)f(x1,x2,.xn)使對(duì)任意的 n元立方體,定義2.4.7. 若(X1,X2,.Xn)的全部可能取值為Rn上的有限或可列無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，稱(X1,X2,.Xn)為n維離散型的，稱 PX1=x1,X2=x2,.Xn=xn ，(x1,x2,.xn) 為n維隨機(jī)變量(X1,X2,.Xn)的聯(lián)合分布律。,則稱(X1,X2,.Xn)為n維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x1,x2,.xn)為(X1,X2,.Xn)的概率密度。,求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0,E

50、X:隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為,x,y,D,答: PX0=0,FY(y)F (+, y) PYy 稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).,2.7.邊緣分布與獨(dú)立性一、邊緣分布函數(shù)(p46),FX(x)F (x, +) PXx,稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)；,邊緣分布實(shí)際上是高維隨機(jī)變量的某個(gè) (某些)低維分量的分布。,例1.已知(X,Y)的分布函數(shù)為,求FX(x)與FY(y)。,二、邊緣分布律,若隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (p47) (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 則稱 PXxipi. ，i1, 2, 為(X, Y)關(guān)

51、于X的邊緣分布律；,PY yjp.j ，j1, 2, 為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。 邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。,例2.已知(X,Y)的分布律為 xy10 11/103/10 0 3/10 3/10 求X、Y的邊緣分布律。,解： xy10pi. 11/103/10 03/103/10 p.j,故關(guān)于X和Y的分布律分別為： X10Y10 P 2/53/5P2/53/5,2/5,3/5,2/5,3/5,三、邊緣密度函數(shù),為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。,設(shè)(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 則稱 (p48),為(X, Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)； 同理，稱,易知N(1

52、, 2, 12, 22, )的邊緣密度函數(shù)fX(x)是N(1, 12)的密度函數(shù)，而fX(x)是N(2, 22)的密度函數(shù)，故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布。,例3.設(shè)(X,Y)的概率密度為,（1）求常數(shù)c;(2)求關(guān)于X的邊緣概率密度,解:(1)由歸一性,設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布， 求關(guān)于X的和關(guān)于Y的邊緣概率密度,x=y,x=-y,EX,四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性,定義2.4.1 稱隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)ab,cd，有(p49) paXb,cYd=paXbpcYd 即事件aXb與事件cYd獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立。,定理2.4.2：隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立的充分必

53、要條件是(p49) F(x,y)=FX(x)FY(y),定理2.4.3.(p50) 設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，X與Y獨(dú)立的充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理2.4.4. (p50)設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)任意i,j，Pi,j=Pi.Pj 。,由上述定理可知，要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對(duì)(X,Y)的每一對(duì)可能取值點(diǎn),邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可,EX：判斷例1、例2、例3中的X與Y是否相互獨(dú)立,例(p50).已知隨機(jī)變量

54、(X,Y)的分布律為,且知X與Y獨(dú)立，求a、b的值。,例4.(p51)甲乙約定8:009:00在某地會(huì)面。設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期間的任一時(shí)刻到達(dá)，先到者最多等待15分鐘過(guò)時(shí)不候。求兩人能見面的概率。,定義. 設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,.Xn)的分布函數(shù)為F(x1,x2,.xn), (X1,X2,.Xn)的k（1kn)維邊緣 分布函數(shù)就隨之確定，如關(guān)于(X1,X2）的 邊緣分布函數(shù)是 FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,.) 若Xk 的邊緣分布函數(shù)為FXk(xk),k=1,2,n,五n維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性(p51),則稱X1,X2,.Xn 相互獨(dú)立，或稱(X1,X2,.Xn)是

55、獨(dú)立的。,對(duì)于離散型隨機(jī)變量的情形，若對(duì)任意整數(shù) i1, i2, , in及實(shí)數(shù) 有,則稱離散型隨機(jī)變量X1, X2, , Xn相互獨(dú)立。,設(shè)X1，X2，Xn為n 個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，若對(duì)任意的(x1, x2, , xn)Rn， f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn) 幾乎處處成立，則稱X1，X2，Xn相互獨(dú)立。,定義2.4.6. 設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,.Xn)的分布函數(shù)為FX(x1,x2,.xn)；m維隨機(jī)變量(Y1,Y2,Ym)的 分布函數(shù)為FY(y1,y2,ym), X1,X2,.Xn ,Y1,Y2,Ym 組成的n+m維隨機(jī)變量（X1,X2,.Xn ,Y1,Y2,Ym) 的分布函數(shù)為F（x1,x2,.xn, y1,y2,ym). 如果 F（x1,x2,