1、第一章 集合和命題,1.1 集合的概念 1.2 1.3 交集、并集、補(bǔ)集 1.4 命題的形式及等價(jià)關(guān)系 1.5 充分條件與必要條件 基本練習(xí),1.1 集合的概念,1.集合的概念 （1）集合：某些指定的對(duì)象集在一起 例：1,2,3、A=a,b,c,d,e,f （2）元素：集合中的每個(gè)對(duì)象 例：a是集合A的一個(gè)元素 2.常用數(shù)集及記法 （1）自然數(shù)集：N （2）正整數(shù)集：N* （3）整數(shù)集：Z （4）有理數(shù)集：Q （5）實(shí)數(shù)集：R,高考考點(diǎn),4.元素的性質(zhì) （1）確定性 例：四大洋、小河流 （2）互異性 例：已知A=a-a,2a,2,求a的取值范圍。 （3）無序性 例：1,2,3=1,3,2,3.

2、元素與集合的關(guān)系 （1）a A （2）a A 例：設(shè)集合C中的元素是 所有形如a+b （ a Z, b Z ）的數(shù)，求證： （1）當(dāng)x N時(shí)， xC （2）若xC， yC，則x+yC,并判1/x是否一定屬于C?,5.集合的表示方法,（1）列舉 法 （2描述法）,例： 1.a與a不同 2.（x,y)|y=x+1與y |y=x+1 格式：x A |P（x） 注意：有些集合的公共屬性不明顯，不便用描述法，只能用列舉法;有些集合中元素不能一一列舉，用描述法。,（3）圖示法,1.韋恩圖 2.數(shù)軸 例：（1）分母小于5的正的真分?jǐn)?shù)的集合； （2）數(shù)軸上到3的距離不小于5的實(shí)數(shù)的集合。,6.集合的分類,（1

3、）有限集：含有有限個(gè)元素 （2）無限集：含有無限個(gè)元素 （3）空集：不含任何元素的集合，記作 注意:空集是一個(gè)集合 例：x R|x+1=0,1.2 子集,1.集合相等 一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B,記作A=B. 例：A=1,2,5，B=2,5,1,2.子集,包含：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B,或集合B包含于集合A，記作 若任意x A有x B，則,當(dāng)集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A時(shí)，記作AB 注意： 有兩種可能（1）A

4、是B的一部分 （2）A與B相等,3.真子集,對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果 ，并且A B,我們就說集合A是集合B的真子集，記作 A B，讀作A真包含于B. 注意：（1）空集是任何集合的子集； （2）空集是任何非空集合的子集； （3）若A不是空集，則空集不是A的真子集； （4）任何一個(gè)集合是它本身的子集。 5）,1.3 交集、并集、補(bǔ)集,1.交集：一般地，由所有屬于A且屬于B的元 素組成的集合，記作 例： 1,2,3,6 1,2,5,10=1,2 2.并集：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素組成的集合，記作A B 例： 1,2,3,6 1,2,5,10=1,2,3,5,6,10,交集、并集的性質(zhì),（1

5、）若 ,則A B=A,A B=B; （2）若A=B,則A B=A,A B=A; （3）若A,B相交，有公共元素但不包含，則 A交B是A的真子集，也是B的真子集； A與B都是A并B的真子集 （4）若A,B無公共元素，則 A B= ,3.補(bǔ)集,全集：如果集合U含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看做一個(gè)全集，通常用U表示,補(bǔ)集：一般地，設(shè)U是一個(gè)集合，A是U的一個(gè)子集，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做U中子集A的補(bǔ)集或余集，記作 A ( A)=A, U= ,4.歸納總結(jié),1.德摩根律 2容斥原理：把有限集A的元素個(gè)數(shù)記作card(A),對(duì)于兩個(gè)有限集合A,B，有card(

6、)=card(A)+card(B)-card( ),5.例題,例1.已知集合A=x|-21或x1，B=x| 0，求 ， ，A,1.4 命題的形式及等價(jià)關(guān)系,1.四鐘命題及其形式 原命題：若p則q 逆命題：若q則p 否命題：若非p，則非q 逆否命題：若非q,則非p 例.設(shè)原命題是“當(dāng)c0時(shí)，若ab,則acbc”,寫出它的逆命題、否命題、逆否命題,(1) (2) (3),2., 3. 四鐘命題的真假關(guān)系(互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題) 原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。,4.反證法 步驟：1.假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立 2.從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾

7、3.由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確 例.用反證法證明：如果ab0,那么 ,1.5充分條件與必要條件,1.推斷符號(hào)“=” 若p則q，表示由P經(jīng)過推理可以得出q，即若p成立，那么q一定成立 例.若x0,則x0可寫成x0 = x0 說明： “p =q”也可寫為“q=p”,2.充分條件與必要條件的概念及判斷,概念：如果已知p =q，就說P是q的充分條件，q是p的必要條件 例.“x0”是“x0”的充分條件， “x0”是“x0”的必要條件,判斷 1）若 p =q但q p就說p是q的充分不必要條件 2）若 p q但q =p就說p是q的必要不充分條件 3）若 p q且 q p就說p是q的既不充分

8、也不必要條件,第二章 不等式,2.1 不等式的基本性質(zhì) 2.2 一元二次不等式的解法 2.3 其它不等式的解法 2.4 基本不等式及其應(yīng)用 2.5 不等式的證明 基本練習(xí),1.不等式的定義,2.1 不等式的基本性質(zhì) 2分類 1)按成立條件分 絕對(duì)不等式、條件不等式、矛盾不等式 2）按開口方向分 同向不等式、異向不等式 3.實(shí)數(shù)比較大小的方法 1）作差比較法 例.比較1-a和 的大小（a 0） 2）作商比較法 3）分子有理化法,用不等號(hào)（, , ）連接兩個(gè)實(shí)值函數(shù)解析式的式子；用“” 連接的不等式叫做嚴(yán)格不等式；用“”或“”連接的不等式叫做非嚴(yán)格不等式。,4.不等式的基本性質(zhì),1） 2） 3）

9、4） 5） 6）,5.利用不等式性質(zhì)解題,例1. 設(shè)60x84,28y32,求x+y,x-y, 的取值范圍,例2.已知-1a+b3,2a-b4,記u=2a+3b, 1）將u=2a+3b用a+b及a-b的代數(shù)式表示； 2）求u=2a+3b的取值范圍,2.2一元二次不等式的解法,1.定義 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式； 一般形式： 2.兩種解法 1）將 因式分解，轉(zhuǎn)化成一元一次不 等式組求解 2）利用一元一次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，研究不等式在 ， 和 時(shí)各種解的情況。,3.用區(qū)間表示不等式的解集,例題解不等式 1.-x+2x+1 0 2.0 x-2x

10、-30的解集 （2）若00的解集,設(shè)實(shí)數(shù)ab,則規(guī)定： 1）集合 叫做 開區(qū)間，表示為（a,b） 2)集合 x|a x b 叫做 閉區(qū)間，表示為a,b 3）集合x|ax b或x|a x b叫做半開半閉區(qū)間，表示為（a,b或a,b） 4）R=（ - ，+ ）,2.3其它不等式的解法,1.分式不等式 形如 或 （其中f(x),g(x)為整式且g(x) 0） 解法1）討論f(x),g(x)的正負(fù) 2）轉(zhuǎn)化為整式不等式f(x)g(x)0(或0)或|x|a(a0) 3.高次不等式 化高次為低次（換元、標(biāo)根、轉(zhuǎn)化為不等式組）,4.解不等式例題,例1.（1） （2） （3） 例2.（1）|x-5x|6 （2）|x-|2x,例3.（1）|x+1|x-3| （2） |x+7|-|x-2|0,2.4基本不等式及其應(yīng)用,1.基本不等式 1）如果a,bR，那么a+b2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立 變形： 1）如果a,bR，那么ab ,當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)等號(hào)成立 2）如果a,bR，那么 3）如果a,b,cR，那么三項(xiàng)也適用以上公式,2）基本不等式,如果a,bR，那么 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立 變形：如果a,b,cR，那么三項(xiàng)也適用以上公式 例7.已知a,b0,且a+b=1，求y=a 的最大