1、1.1 等腰三角形（二）,八年級數(shù)學(xué)組,一、預(yù)習(xí)交流,你知道等腰三角形具有怎樣的性質(zhì)嗎?,等腰三角形兩底角相等； 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高線三線合一. 等腰三角形除具有上述的性質(zhì)外，那么，兩底角的平分線、兩腰上的中線和高線又具有怎樣的性質(zhì)呢？,在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、高等）.,與同伴交流你在探索思路的過程中的具體做法.,你能發(fā)現(xiàn)其中的一些相等的線段嗎?,你能發(fā)現(xiàn)其中的一些相等的角嗎?,你能證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎?,二、互助探究,求證:等腰三角形兩底角的平分線相等.,證明:AB=AC(已知), ABC=ACB(等邊對等角). 又1= ABC,2=ACB(已知),

2、1=2(等式性質(zhì)). 在BDC與CEB中 DCB= EBC（已知）, BC=CB（公共邊）,1=2（已證）, BDCCEB（ASA）. BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等),已知:如圖,在ABC中,AB=AC,BD,CE是ABC角平分線.求證:BD=CE.,二、互助探究,求證:等腰三角形兩腰上的中線相等.,證明:AB=AC(已知), ABC=ACB(等邊對等角). 又CM= AC,BN= AB(已知), CM=BN(等式性質(zhì)).在BMC與CNB中 BC=CB（公共邊）, MCB=NBC（已證）, CM=BN（已證）, BMCCNB（SAS）. BM=CN(全等三角形的對應(yīng)邊相等),已知:如圖,

3、在ABC中,AB=AC,BM,CN是ABC兩腰上的中線.求證:BM=CN.,二、互助探究,求證:等腰三角形兩腰上的高相等.,證明:AB=AC(已知), ABC=ACB(等邊對等角). 又 BP,CQ是ABC兩腰上的高(已知), BPC=CQB=900(高的意義). 在BPC與CQB中 BPC=CQB（已證）, PCB=QBC（已證）,BC=CB（公共邊）, BPCCQB（AAS）. BP=CQ(全等三角形的對應(yīng)邊相等),已知:如圖,在ABC中,AB=AC,BP,CQ是ABC兩腰上的高.求證:BP=CQ.,二、互助探究,這里是一個由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論的一種數(shù)學(xué)思想方法.,1.已知:如圖,在A

4、BC中,AB=AC (1)如果ABD=ABC/3,ACE=ACB/3呢? 由此你能得到一個什么結(jié)論? (2)如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一個什么結(jié)論? 你能證明得到的結(jié)論嗎？,二、互助探究,結(jié)論1: 等腰三角形腰上的高線與底邊的夾角 等于頂角的一半.,結(jié)論2: 等腰三角形底邊上的任意一點到兩 腰的距離之和等于一腰上的高.,結(jié)論,定理 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60度。,前面已經(jīng)證明了“等邊對等角”，反過來， “等角對等邊”成立嗎? 即有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?,已知:如圖,在ABC中,BC. 求證:AB=AC.,如：作BC邊上的中線； 作A的

5、平分線 作BC邊上的高.,二、互助探究,定理： 有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）.,在ABC中 BC（已知）， AB=AC（等角對等邊）.,這又是一個判定兩條線段相等方法之一.,二、互助探究,路邊苦李 古時候有個人叫王戍，7歲那年的某一天和小朋友在路邊玩，看見一棵李子樹上的果實多得把樹枝都快壓斷了，小朋友們都跑去摘，只有王戍站著沒動.小朋友問他為何不去摘，他說：“樹長在路邊，如果李子是甜的,那么早沒了,現(xiàn)在李子那么多，肯定李子是苦的，不好吃.”小朋友摘來一嘗，李子果然苦的沒法吃.,開啟智慧,小明說,在一個三角形中，如果兩個角所對的邊不相等,那么這兩個角也不相等.,你認為這個結(jié)論成

6、立嗎? 如果成立,你能證明它嗎?,即在ABC中,如果ABAC,那么BC.,命題證明,小明是這樣想的:,你能理解他的推理過程嗎?,假設(shè)B=C, 那么根據(jù)“等角對等邊” 得AB=AC,與已知條件是ABAC相矛盾 因此假設(shè)不成立,原命題成立 即BC.,開啟智慧,先假設(shè)命題的結(jié)論反面成立， 然后推導(dǎo)出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果， 所以假設(shè)不成立,原命題成立,你可要結(jié)識“反證法”這個新朋友噢!,反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法.在解決某些問題時常常會有出人意料的作用.,這種證明方法稱為反證法,假設(shè),歸謬,結(jié)論,開啟智慧,三、分層提高,1.如圖,ABC中,D，E分別是AC，AB上的點,BD

7、與CE交于點O,給出下列四個條件: EBO =DCO BEO=CDO BE=CD OB=OC (1)上述四個條件中,哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形(用序號寫出所有情形) (2)選擇（1）小題的一種情形,證明 ABC是等腰三角形.,O,; ; ; ,三、分層提高,2.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)?,3690108,如何證明這個結(jié)論: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正數(shù),且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,這五個數(shù)中至少有一個大于或等于1/5.,用反證法來證: 證明:假設(shè)這五個數(shù)全部小于1/5,那

8、么這五個數(shù)的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.這與已知這五個數(shù)的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假設(shè)不成立, 原命題成立,即這五個數(shù)中至少有下個大于或等于1/5.,三、分層提高,3.用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角 已知：ABC 求證：A、B、C中不能有兩個角是直角,證明：假設(shè)A、B、C中有兩個角是直角，不妨設(shè)A=B=90，則 A+B+C=90+90+C180 這與三角形內(nèi)角和定理矛盾， 所以A=B=90不成立 所以一個三角形中不能有兩個角是直角,三、分層提高,4. 用反證法證明:在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60.,證明: 假設(shè)A ,B, C是ABC

9、的三個內(nèi)角, 且都大于60, 則A 60,B 60, C 60, A+B+C 180 這與三角形的內(nèi)角和是1800定理矛盾,假設(shè)不成立,在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60.,三、分層提高,理解證明的必要性和規(guī)范性. 理解幾何命題證明的方法,步驟,格式及注意事項. 你對“執(zhí)果索因”,“由因?qū)Ч崩斫馀c運用有何進步. 規(guī)范性中的條理清晰,因果相應(yīng),言心有據(jù)的要求是否內(nèi)化為一種技能. 幾何的三種語言融會貫通的水平是否有所提高. 關(guān)注知識,經(jīng)驗,方法的積累和提高,是前進的推進器. 你準(zhǔn)備如何提高證明命題的能力呢?,四、總結(jié)歸納,五、鞏固反饋,1.證明：等腰三角形兩底角的角平分線的交點到底邊的兩個端點的距離相等.(要求：畫出圖形，寫出已知，求證和證明),2. 選擇題: 下列命題中，真命題是( ) A、等腰三角形的角平分線，中線和高線重合. B、等腰三角形一定是銳角三角形. C、若三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所