1、24.1.2 垂直于弦的直徑（1）,商丘市第六中學(xué) 郝二軍,2015年11月,天下第一 橋 距今1400多年,趙州橋又名安濟(jì)橋，建于隋大業(yè)(公元605-618)年間，是著名匠師李春建造。橋長64.40米，跨度37.4米，是當(dāng)今世界上跨徑最大、建造最早的單孔敞肩型石拱橋。 趙州橋距今已1400年，經(jīng)歷了10次水災(zāi)，8次戰(zhàn)亂和多次地震，特別是1966年邢臺(tái)發(fā)生的7.6級(jí)地震，邢臺(tái)距這里有40多公里，這里也有四點(diǎn)幾級(jí)地震，趙州橋都沒有被破壞，著名橋梁專家茅以升說，先不管橋的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，僅就它能夠存在1300多年就說明了一切。,37.4m,7.2m,A,B,C,建模,問題:已知趙州橋的主橋是圓弧形,你能

2、求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m.,由此你能得到圓的什么特性？,可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形。任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸,不借助任何工具，你能找到圓形紙片的圓心嗎?,探究：,探究：,如圖,AB是O的一條弦, 直徑CDAB, 垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧? 為什么?,O,A,B,C,D,E,線段: AE=BE OA=OB,疊合法,垂徑定理,垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.,CDAB, CD是直徑，, AE=BE,O,A,B,C,D,E,歸納：,提示:垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理,三種語言要相互

3、轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.,垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：, CD是直徑，,CDAB, AE=BE,下列圖形是否具備垂徑定理的條件？,是,不是,是,不是,深化：,鞏固新知：,1. 2015年10月1號(hào)是國慶66周年紀(jì)念日，為此制作一個(gè)巨型花籃祝福祖國！制作花籃需要一個(gè)圓盤，已知如圖，O的半徑為17cm，弦ABCD，AB=30cm,CD=16cm,圓心O 位于AB、CD的上方，求弦AB和CD之間的距離.,鞏固新知：,2. “圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”此問題的實(shí)質(zhì)就是解決下面的問題：“如圖，CD為O

4、的直徑，弦ABCD于點(diǎn)E，CE=1，AB=10，求CD的長”,3、如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑。,O,A,B,E,解：過點(diǎn)O作OEAB于E，連接OA,即O的半徑為5cm.,嘗試練習(xí),反思提升,在o中，若半徑為r，弦心距為d，弦長為a，在直角三角形中利用勾股定理可建立等量關(guān)系式,已知其中任意兩個(gè)量，都可以求得第三個(gè).,37.4m,7.2m,A,B,O,C,D,通過剛才的研究我們明白：凡關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。 圓心到弦的距離、半徑、弦構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。,答疑解難,解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在的圓的圓心為O，半徑為r.,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與AB交于點(diǎn)C，則D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高., AB=37.4m，CD=7.2m, AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2,解得r=27.9（m）,即主橋拱半徑約為27.9m.,歸納總結(jié),建模思想：,常見輔助線:,方程思想：,作業(yè)布置,1.因材施教 有一石拱橋是圓弧形，如圖所示