1、4 矩陣的奇異值分解 矩陣的奇異值分解在矩陣?yán)碚撝械闹匾允遣谎远鞯?，它在最?yōu)化問(wèn)題、特征值問(wèn)題、最小二乘方問(wèn)題、廣義逆矩陣問(wèn)題和統(tǒng)計(jì)學(xué)等方面都有十分重要的應(yīng)用。 一.預(yù)備知識(shí) 為了論述和便于理解奇異值分解，本節(jié)回顧線性代數(shù)有關(guān)知識(shí)。 定義2.14 若實(shí)方陣Q滿足 ,則稱Q是正交矩陣. 定義2.15 若存在正交矩陣P,使得 ,則稱A正交相似于B. 定義2.16 共軛轉(zhuǎn)置矩陣記為 ,即 . 定義2.17 若 ,則稱A為Hermit矩陣. 定義2.18 設(shè) ,若 ,則稱A為正規(guī)矩陣.,定義2.19 設(shè) ,若 ,則稱A為酉矩陣. 定義2.20 設(shè) ,若存在酉矩陣P,使得 ,則A稱酉相似于B. 性質(zhì)

2、1 若A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣， 是的特征值，則恒存在正交陣Q，使得 而且Q的n個(gè)列向量是的一個(gè)完備的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量系。 性質(zhì)2 若 ，是非奇異矩陣，則存在正交陣P和Q，使得 其中.,.,性質(zhì)3 (1) 設(shè) ,則 是Hermit矩陣,且其特征值均是非負(fù)實(shí)數(shù); (2) ; (3) 設(shè) , 則 的充要條件為 . 把性質(zhì)2中的等式改寫(xiě)為 稱上式是A的正交對(duì)角分解. 性質(zhì)4 (1) 設(shè) ,則A酉相似于對(duì)角陣的充分必要條件是A為正規(guī)矩陣; (2) 設(shè) ,且A的特征值都是實(shí)數(shù),則正交相似于對(duì)角矩陣的充要條件A是為正規(guī)矩陣.,二.矩陣的奇異值分解 現(xiàn)在開(kāi)始論述矩陣的奇異值分解。 定義2.21 設(shè) ， 的特征值為

3、 則稱 是A的奇異值；規(guī)定零矩陣0的奇異值都是0. 定理2.9 設(shè) , 則存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V,使得 （2.41） 其中矩陣 ,而數(shù) 是矩陣A的所有非零奇異值.稱式（2.41）是矩陣A的奇異值分解.,證 根據(jù)性質(zhì)3, 是Hermit矩陣,且其特征值均是非負(fù)實(shí)數(shù),且 記為 顯然, 是 正規(guī)矩陣.根據(jù)性質(zhì)4,存在n階酉矩陣V,使得 或,其中: 設(shè)V有分塊形式 則有 即 由 ,得 或,其中. 由 ,得 或 令 ，則 根據(jù)線性代數(shù)理論知，可將兩兩正交的單位列向量 擴(kuò)充為 的標(biāo)準(zhǔn)正交基 ，記矩陣 ，則 是m階酉矩陣，且,于是 所以 (證畢) 由上述定理的證明過(guò)程可知,A的奇異值是由A唯一確定的

4、,但是,由于酉矩陣U和V是不唯一的,故A的奇異值分解(2.41)式也是不惟一的.,例10 求矩陣 的奇異值分解. 解: 可以求得矩陣 的特征值是 ,對(duì)應(yīng)的特征向量可取為 ，于是可得 ，奇異值為 ， ，且使得 成立的正交矩陣為,， 其中 經(jīng)計(jì)算 , 將 擴(kuò)張成 的正交標(biāo)準(zhǔn)基 則A的奇異值分解是,例11 設(shè)矩陣 ，求它的奇異值分解. 解 經(jīng)過(guò)計(jì)算，矩陣 的特征值為 ,對(duì)應(yīng)的特征向量分別是 ， 從而正交矩陣,以及 ， 計(jì)算,，,構(gòu)造 . 的奇異值分解是,.,三. 正交相抵矩陣 定義2.22 設(shè) ,若存在m階正交矩陣U和n階正交矩 陣V,使得 ,則稱A與B正交相抵. 在上述定義中,若A和B都是n階方陣

5、,U=V,則 即A與B正交相似.可見(jiàn)正交相似概念是正交相抵概念的特殊情況. 定理2.10 正交相抵的兩個(gè)矩陣具有相同的奇異值. 證 若 ,則,上式表明 與 相似,而相似矩陣有相同的特征值,所以A與B有相同的奇異值.證畢 直接驗(yàn)證可知, 正交相抵具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性，因此，所有正交相抵的矩陣構(gòu)成了正交相抵等價(jià)類(lèi)。在正交相抵等價(jià)類(lèi)中的任一矩陣A，奇異值分解 中的矩陣都是相同的，D稱為正交相抵等價(jià)類(lèi)中的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。,人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力， 明辨是非的能力。 所以我們要勤懇讀書(shū)，廣泛閱讀， 古人說(shuō)“書(shū)中自有黃金屋。 ”通過(guò)閱讀科技書(shū)籍，我們能豐富知識(shí)， 培養(yǎng)邏輯思維能力； 通過(guò)閱讀文學(xué)作品，我們能提高