1、一元二次方程的概念,某小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟周長為900米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？,問題1：,解：設(shè)長方形綠地的寬為x米，得,變式：某小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？,解：設(shè)長方形綠地的寬為x米，得,思考1：方程（2）與一元一次方程的區(qū)別在哪里？,思考2：方程（1）和方程（2）有什么共同點(diǎn)呢？,思考3：你能類比一元一次方程給方程（2）起個(gè)名稱嗎？,思考4：根據(jù)以上討論的結(jié)果，你能說出什么方程是一元二次方程嗎？,只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)

2、是2的整式方程，叫做一元二次方程。,一元一次方程與一元二次方程有什么區(qū)別與聯(lián)系？,ax=b (a0）,ax2+bx+c=0 (a0）,都是整式方程，只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)最高次數(shù)是1,未知數(shù)最高次數(shù)是2,整式方程,一元二次方程的概念,像這樣的等號(hào)兩邊都是整式, 只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程叫做一元二次方程。, 都是整式方程;, 只含一個(gè)未知數(shù);,未知數(shù)的最高次數(shù)是2.,即：一元二次方程的特點(diǎn):,（默1）,一般地,任何一個(gè)關(guān)于x 的一元二次方程都可以化為 的形式,我們把 (a,b,c為常數(shù)，a0）稱為一元二次方程的一般形式.,為什么要限制a0，b,c可以為零

3、嗎？,a x 2 + b x + c = 0,(a 0),b是一次項(xiàng)系數(shù),一元二次方程的一般形式,a是二次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng),二次項(xiàng),一次項(xiàng),“=”的右邊必須整理成0.,（默2）,ax2+bx=0 (a0,b0),一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a0),完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0, b0, c0),不完全的 一元二次方程,ax2+c=0 (a0,c0),ax2=0 (a0),歸納：,例1：,判斷下列方程是否為一元二次方程？,(1)x2+x =36,(2) x3+ x2=36,(3)x+3y=36,(5) x+1=0,判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，關(guān)鍵是要將方

4、程化為一般式，然后根據(jù)一元二次方程必須同時(shí)滿足的三個(gè)條件進(jìn)行判別。,（默3）,下列方程中哪些是一元二次方程？,是一元二次方程的有：_,嘗試練習(xí)：,可能為0,是分式,是二次根式,例題講解,例2 將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)及它們的系數(shù)： (1),例題講解,(2),解：,二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是包括符號(hào)的,ax2 + bx + c = 0,注意:要確定一元二次方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng) ,必須先將方程化為一般形式,二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng),(a0),在寫一元二次方程的一般形式時(shí),通常按未知數(shù)的次數(shù)從高到低排列,即先寫二次項(xiàng),再寫一次項(xiàng),最后

5、是常數(shù)項(xiàng)。,例3.把下列方程化為一元二次方程的形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：,3x25x10,x2 x80,3,5,1,1,1,8,3,5,1,1,1,8,7x2 40,7,0, 4,4,2x2+x+4=0,2,1,-4y2+2y=0,-4,2,0,3x2-x-1=0,3,-1,-1,搶答：,4x2-5=0,4,0,-5,m-3,1-m,-m,3x(x-1)=5(x+2),(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m3),3,-8,-10,方程(2a4)x2 2bx+a=0, 在什么條件下此方程為一元二次方程？ 在什么條件下此方程為一元一次方程？,解：,由題意得，2a40，解之得

6、a2,當(dāng)a2時(shí)是一元二次方程；,當(dāng)a2且b0時(shí)是一元一次方程.,例4：,（默4）,1.關(guān)于x的方程(k3)x2 2x10, 當(dāng)k時(shí)，是一元二次方程,2.關(guān)于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,當(dāng)k 時(shí)，是一元二次方程 當(dāng)k 時(shí)，是一元一次方程,3,1,1,練習(xí)鞏固,m=1,3.下列方程中,無論a為何值,總是關(guān)于x的一元二次方程的是( ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0,D,已知關(guān)于x的一元二次方程(m1)x23x-5m40有一根為2,求m.,分析:一根為2，即x2,只需把x2代入原方程.,

7、一元二次方程解的概念,方程解的定義是怎樣的呢?,能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就叫方程的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根.,（默6）,已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個(gè)根是3，求a的值。,解：由題意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，,32+3a+a=0,9+4a=0,4a=-9,練一練,6,?,A.1 B.-1 C.1或-1 D.0,B,看誰眼力好！,下列方程中，哪些是一元二次方程？,先看是不是整式方程，然后整理看是否符合另外兩個(gè)條件,1.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)是：,2、學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法是,3、如何理解一元二次方程的一般形式,(a0)？,（1）,（2）,（1）,（

8、2）,一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式,轉(zhuǎn)化、建模思想。,(a0)是成為一元二次方程的必要條件,找一元二次方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng) 系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)要先化為一般式,知識(shí)回顧,一、一元二次方程的概念,一般形式：ax2+bx+c=0 (a0),對(duì)應(yīng)練習(xí)1： 1. 將一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化為一般 形式 .其中二次項(xiàng)系數(shù) ，常數(shù)項(xiàng) .,2. 當(dāng)m 時(shí)，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二次方程. 當(dāng)m 時(shí)，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.,x2+3x-3=0,1,-3,2,2,1.下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是 （ ）,A.,B.,C.

9、,D.,A,（1）三個(gè)特征：只含有一個(gè)未知數(shù)； 方程的兩邊都是整式； 未知數(shù)的最高次數(shù)為2次.,（2）形如ax2 + bx + c=0（a0）叫做一元二次方程.,2.關(guān)于x的方程（a-1）x2 - 2x + 3=0是一元二次方程，則 （ ） A. a1 B. a1 C.a=1 D.a1,D,一元二次方程的概念,方程（m1)x2mx1=0為關(guān)于x的一元二次方程,則m的值為( ) A . 任何實(shí)數(shù) B. m0 C. m1 D. m0 且m1,C,4.下列方程中,無論a為何值,總是關(guān)于x的一元二次方程的是( ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2

10、-1 D.(a2+1)x2=0,D,5、已知x=2是一元二次方程 的一個(gè)解，則m=_ 。,6、已知 是方程 的一個(gè)解，則 的 值是_。,-3,5,7、方程mx2+5x+m=0一定是（ ）。 (A)一元二次方程； (B)一元一次方程; (C) 整式方程; (D)關(guān)于x的一元二次方程,C,已知方程 (m2) (m2)x40 （1）m為何值時(shí)它是一元二次方程？ （2）m為何值時(shí)它是一元一次方程？,分析：（1）由一元二次方程的一般形式，m222，故m20，故m2； （2）需分三種情況討論：m20，此時(shí)m2；m221，此時(shí)m ；顯然x0，故若m220，則原方程也是一元一次方程,解：（1）由m222，m20 得m2； （2）分三種情況討論：,一元二次方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且二次項(xiàng)系數(shù)不為0。,m20,即m2時(shí),原方程為4x40，是一元一次方程； m221，即m 時(shí)，原方程為 2 x40，是 一元一次方程； 顯然x0，否則有40；故當(dāng)m220，即m 時(shí)， 原方程為( 2)x6 0，也是一元一次方程。 綜上：當(dāng)m2時(shí)，它是一元二次方程；當(dāng)m2， ， 時(shí)，它是一元一次方程。,否則有4=0,點(diǎn)撥：對(duì)于方程ax2bxc0(x為未知數(shù))，若a0時(shí)，它是一元二次方