1、一、 基本概念,二、多元函數(shù)微分法,三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用,第八章 多元函數(shù)微分法,推廣,一元函數(shù)微分學(xué),多元函數(shù)微分學(xué),注意: 善于類比, 區(qū)別異同,(1) 區(qū)域,鄰域 :,區(qū)域,連通的開集,(2) 多元函數(shù)概念,n 元函數(shù),常用,二元函數(shù),(圖形一般為空間曲面),三元函數(shù),一、基本概念,1. 多元函數(shù)的定義,定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律,解:,所求定義域?yàn)?,例2.設(shè),解:,則稱常數(shù)A為函數(shù),2. 多元函數(shù)的極限,(1)定義：,是D,的聚點(diǎn).,如果對(duì)于任意給定的正數(shù),總存在正數(shù),使,得對(duì)于適合不等式,的一切點(diǎn),都有,成立，,當(dāng),時(shí)的極限.,記為：,或,或記為,這里,（2）二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極

2、限的區(qū)別與聯(lián)系,不同點(diǎn)：,二元函數(shù)極限,的方式（路徑）不同,一元函數(shù) 的方式有兩種，故有,的方式是任意的，有無數(shù)個(gè).,確定二元函數(shù)極限不存在的方法：,令P(x,y)沿y=kx趨向于,若極限值與k有關(guān)，,則可斷言極限不存在；,找兩種不同趨近方式，,但兩者不相等，,此時(shí)也可斷言f(x,y),或有的極限不存在，,共同點(diǎn)：,即有定義,與有極限不能互相推出.,定義方式相同.,故一元函數(shù)中凡是用定義證明的結(jié)論均可推廣到,多元函數(shù)中.,用定義只能證明極限.,在點(diǎn) 是否有定義并不影響極限是否存在，,聯(lián)系：,由于一元函數(shù)與二元函數(shù)極限的定義方式相同.,所以一元函數(shù)極限的性質(zhì)如惟一性、保號(hào)性、局部有界性及極限的四

3、則運(yùn)算法則，夾逼準(zhǔn)則；無窮小的概,念與性質(zhì)，兩個(gè)重要極限及求極限的變量代換法，等價(jià),無窮小代換法等都可直接推廣到多元函數(shù)極限上來.,但一元函數(shù)極限的充要條件及洛比達(dá)法則不能用 于多元函數(shù)極限上.,例3. 考察函數(shù),在原點(diǎn)的二重極限.,例4. 求極限,解:,其中,3. 多元函數(shù)的連續(xù),令,記,則,設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，聚點(diǎn),若,(1)定義：,（2）間斷點(diǎn)：,例如, 函數(shù),在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在,又如, 函數(shù),上間斷.,故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).,在圓周,（3）多元初等函數(shù)：,如：,所表示的多元函數(shù)，,有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子,由常數(shù)及具有不同自變

4、量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過,叫多元初等函數(shù).,(4)多元函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用-求極限,如果f(P)是初等函數(shù)，,定義域的內(nèi)點(diǎn)，,定理:,定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域,一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,例5.,求,解:,函數(shù),是二元初等函數(shù)，,4. 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),(1)定義：,（2）多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的不同點(diǎn)：,（3）多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的共同點(diǎn)：,故多元函數(shù)偏導(dǎo)的求法與一元函數(shù)類似.,可以把一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和法則拿過來用.,因此,定義方式相同,（4）偏導(dǎo)及高階偏導(dǎo)的記號(hào)：,純偏導(dǎo),混合偏導(dǎo),例6.,解:,按定義可知：,設(shè),求,當(dāng)(x,y)=(0,0)時(shí)，

5、,求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求.,處不可導(dǎo).,輪換對(duì)稱性,5. 多元函數(shù)的全微分,對(duì)于二元函數(shù),(1)可微的定義:,可微,微分：,能,是,全微分的實(shí)質(zhì)：,(2)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系,極限存在,連續(xù),可微分,偏導(dǎo)數(shù)存在,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),(3) 判定函數(shù)可微的方法:,不連續(xù),不可微.,不可導(dǎo),不可微.,可微,定義法:,偏導(dǎo)連續(xù),可微.,是,函數(shù),在,可微的充分條件是( ),的某鄰域內(nèi)存在 ;,時(shí)是無窮小量 ;,時(shí)是無窮小量 .,例7. 選擇題,(4)幾個(gè)需要記住的重要函數(shù)（反例）:,（3）函數(shù),它在(0,0)處可導(dǎo)、不可微、不連續(xù).,（1）函數(shù),（2）函數(shù),它在(0,0)處不可微、

6、因不可導(dǎo)、連續(xù).,它在(0,0)處連續(xù)、可導(dǎo)、不可微.,連續(xù)但不可導(dǎo),可導(dǎo)但不連續(xù),可導(dǎo)但不可微,它在(0,0)處連續(xù).,可微,例8. 討論函數(shù),解: 由導(dǎo)數(shù)的定義知,在原點(diǎn)處連續(xù)、可導(dǎo)、不可微.,則,求具體顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),把x看成變量，,其余變量均看成常量；,把y看成變量，,其余變量均看成常量；,2)求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法：,先代后求,先求后代,利用定義,3) 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法:,逐次求導(dǎo)法,混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),與求導(dǎo)順序無關(guān),1)求偏導(dǎo)(函) 數(shù)的方法：,二、多元函數(shù)微分法,求抽象的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)-鏈?zhǔn)椒▌t,例1.,解:,例2.,解:,法1：公式法：,法3：微分法：,法2：直接法：,兩邊求導(dǎo)

7、，這時(shí)若對(duì) 求導(dǎo)，把 數(shù),誰是自變量，,把 均看成變量用一階微分形式不變性及微分法則.,求隱函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)也有類似的方法.,請(qǐng)選用恰當(dāng)?shù)姆椒?,求隱函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的三個(gè)方法,隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：,定理1. 設(shè)函數(shù),則方程,單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù),(隱函數(shù)求導(dǎo)公式), 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);,的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè),在點(diǎn),的某一鄰域內(nèi)滿足,滿足條件,導(dǎo)數(shù),定理2 .,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程,在點(diǎn),并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) ,滿足, 在點(diǎn),滿足:,某一鄰域內(nèi)可唯一確,根據(jù)隱函數(shù)存在定理，,存在,點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，在此領(lǐng)域內(nèi)，

8、該方程,（A）只能確立一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)的隱函數(shù),（B）可以確立具有連續(xù)性偏導(dǎo)的隱函數(shù),（C）可以確立具有連續(xù)性偏導(dǎo)的隱函數(shù),（D）可以確立具有連續(xù)性偏導(dǎo)的隱函數(shù),設(shè),則,例3.,例4. 設(shè),解法1: 直接求導(dǎo)法,再對(duì) x 求導(dǎo),注意：對(duì)x求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)把y看成常量，把z看成x,y的函數(shù).,解法2: 利用公式,設(shè),則,兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo),例4. 設(shè),例4. 設(shè),解法3 : 利用微分法求導(dǎo),設(shè),求,思考與練習(xí):,例5.設(shè),是由方程,和,所確定的函數(shù) , 求,解法1:,(99考研),這是由兩個(gè)方程式組成的方程組,兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得,解法2:,方程兩邊求微分, 得,化簡(jiǎn),消去 即可得,自變量個(gè)數(shù) = 變量

9、總個(gè)數(shù) 方程總個(gè)數(shù),自變量與因變量由所求對(duì)象判定,例5.設(shè),是由方程,和,所確定的函數(shù) , 求,(99考研),1.在幾何中的應(yīng)用,曲面,曲面在點(diǎn),1) 隱式情況 .,處的法向量,曲面,2) 顯式情況.,法向量,切點(diǎn),法線的方向余弦：,求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵: 抓住法向量),向上,三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用,求曲線的切線及法平面,(關(guān)鍵: 抓住切向量),1) 參數(shù)式情況.,切點(diǎn),2) 一般式情況.,切點(diǎn),例1.,解:,切向量為：,所求切線方程為：,法平面為：,求曲線,上對(duì)應(yīng)于,的點(diǎn)處的切線,及法平面方程.,例2. 求曲線,在點(diǎn)M (1,2, 1),處的切線方程與法平面方程.,解: 令,則,切

10、向量,切線方程,即,法平面方程,即,2. 極值與最值問題,定義:,說明：(1)由定義知:極值點(diǎn)應(yīng)在定義區(qū)域內(nèi)部（內(nèi)點(diǎn)）,而不能在邊界上.,(2),在點(diǎn) (0,0) 有極小值;,在點(diǎn) (0,0) 有極大值;,(3)二元函數(shù)的極值的概念可推廣到三元以上的 多元函數(shù)上.,極值的必要條件與充分條件,定理1 (必要條件),函數(shù),偏導(dǎo)數(shù),且在該點(diǎn)取得極值,注1,幾何意義：,但在該點(diǎn)不取極值.,注2,1.駐點(diǎn),2.偏導(dǎo)中至少有一個(gè)不存在的點(diǎn).,令,A0 時(shí)取極大值;,A0 時(shí)取極小值.,例1. 求函數(shù),解:,解方程組,得駐點(diǎn)(1,1),(0,0),故所求函數(shù)的極值為:,對(duì)駐點(diǎn)(1,1):,所以,對(duì)駐點(diǎn)(0,

11、0):,所以函數(shù)在(0,0)處無極值.,求函數(shù),的極值的一般步驟：,極值問題,無條件極值:,條 件 極 值 :,條件極值的求法:,方法1 代入法.,求一元函數(shù),的無條件極值問題,對(duì)自變量只有定義域內(nèi)限制.,對(duì)自變量除定義域內(nèi)限制外,還有其它條件限制.,例如 ,求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法),方法2 拉格朗日乘數(shù)法.,如方法 1 所述 ,則問題等價(jià)于一元函數(shù),的極值問題,極值點(diǎn)必滿足,設(shè),例如,故,極值點(diǎn)必滿足,引入輔助函數(shù),輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).,利用拉格,朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.,推廣:拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束

12、 條件的情形.,例如, 求函數(shù),下的極值.,解方程組,可得到條件極值的可疑點(diǎn),求解閉域上連續(xù)函數(shù)最值問題,有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的最值的求法與步驟：,（假定函數(shù)在D上可微且有有限個(gè)駐點(diǎn)）,（1）找最值可疑點(diǎn),D內(nèi)的駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn),邊界上的可能極值點(diǎn),（2）比較以上各點(diǎn)處的函數(shù)值，最大（小）者即為所求的最大（?。┲?.,特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí),函數(shù)的最值應(yīng)用問題,第二步 判別, 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小., 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值.,第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件).,解:,如圖,設(shè),解方程組,得條件極值的可疑點(diǎn)為：,另解 求,提示:,3

13、. 比較以上各點(diǎn)處的函數(shù)值，最大（?。┱呒礊樗蟮淖畲螅ㄐ。┲?.,答案:,函數(shù)的最值應(yīng)用問題,第二步 判別, 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小, 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值,第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件),例3.,求旋轉(zhuǎn)拋物面,與平面,最短距離.,解：,設(shè),為拋物面,上任一點(diǎn)，,則 P,的距離為,問題歸結(jié)為,約束條件:,目標(biāo)函數(shù):,到平面,之間的,令,解此方程組得唯一駐點(diǎn),由實(shí)際意義最小值存在 ,故,3. 方向?qū)?shù)與梯度,問題的提出:,在山坡上沿不同方向行走時(shí)陡緩不一樣.,空氣沿不同方向流動(dòng)的快慢不一樣.,在數(shù)學(xué)上，即設(shè)函數(shù) 當(dāng)(x，y)沿不同方向改變時(shí)的變化率決定著陡緩與

14、快慢.,如圖：,方向?qū)?shù),定義: 若函數(shù),則稱,在點(diǎn),處,沿方向 l (方向角為,) 存在下列極限:,記作,為函數(shù) 在點(diǎn) 處沿方向 l 的方向?qū)?shù).,說明:,的變化率.反映函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度,(2)偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)不一樣.,的方向?qū)?shù)為：,方向?qū)?shù)的存在性及其計(jì)算方法:,定理,那么,函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向?qū)?shù)存在,且有,說明:,(1)可微,沿任一方向的方向?qū)?shù)存在.,反之不一定成立.,的方向?qū)?shù)為1，,但它在 處不可微(因不可導(dǎo)).,(2),(3)若計(jì)算,，只需在題設(shè)中找到,(4)幾個(gè)關(guān)系,注：,反之不成立.,1)定義：,(5)推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義及計(jì)算公式,的方向?qū)?shù)為,例4. 設(shè),是曲面,在點(diǎn)P(1, 1, 1 )處,指向外側(cè)的法向量,解:,方向,的方向?qū)?shù).,在點(diǎn)P處沿,求函數(shù),方向余弦為,而,同理,解：,由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,P73第15題,故,梯度,方向?qū)?shù)公式,令向量,方向?qū)?shù)取最大