1、機 械 振 動 大 作 業(yè)姓 名：徐 強學 號：SX1302106專 業(yè)：航空宇航推進理論與工程能源與動力學院2013年12月簡支梁的振動特性分析題目:針對簡支梁、分別用單、雙、三、十個自由度以及連續(xù)體模型，計算其固有頻率、固有振型。單、雙、三自由度模型要求理論解；十自由度模型要求使用李茲法、霍爾茨法、矩陣迭代法、雅可比法、子空間迭代法求解基頻；連續(xù)體要求推導理論解，并通過有限元軟件進行數(shù)值計算。解答：一、 單自由度簡支梁的振動特性如圖1，正方形截面（取5mm5mm）的簡支梁，跨長為=1m，質(zhì)量m沿桿長均勻分布，將其簡化為單自由度模型，忽略阻尼，則運動微分方程為,固有頻率n=，其中k為等效剛度

2、，為等效質(zhì)量。因此，求出上述兩項即可知單自由度簡支梁的固有頻率。根據(jù)材料力學的結(jié)果，由于橫向載荷F作用在簡支梁中間位置而引起的變形為（）, 為最大撓度，則： =梁本身的最大動能為： = Tmax=2=如果用表示簡支梁的質(zhì)量等效到中間位置時的大小，它的最大動能可表示為：Tmax=所以質(zhì)量為m的簡支梁，等效到中間位置的全部質(zhì)量為： 故單自由度簡支梁橫向振動的固有頻率為：n= 圖1 簡支梁的單自由度模型二、 雙自由度簡支梁的振動特性如圖2，將簡支梁簡化為雙自由度模型，仍假設(shè)在簡支梁中間位置作用載荷，根據(jù)對稱性，等效質(zhì)量相等,因此只要求出在處的等效質(zhì)量即可。在至之間積分，利用最大動能進行質(zhì)量等效，略去

3、小量得：所以，質(zhì)量矩陣為：雙自由度簡支梁的柔度矩陣：在b=處作用單位力，撓曲線方程為：則處的變形為：，同理可求：，其中。所以，柔度矩陣為：動力矩陣：令特征行列式為零，得到頻率方程為：其中，將上式整理得：其中，。解上述方程的根為：,由式，其中，分別將、代入上式，得第一、二階主振型分別為：， 圖2 簡支梁的雙自由度模型三、 三自由度簡支梁的振動特性如圖3，將簡支梁簡化為三自由度模型，按照雙自由度類似的等效思想，可得等效質(zhì)量：因此，質(zhì)量矩陣為：由機械振動中文教材例6.6可知，系統(tǒng)的柔度矩陣為： 其中，。動力矩陣：令特征行列式為零，得到頻率方程為： 其中，將上式整理得： 其中，。利用Matlab軟件,

4、求解上述方程的根為：,由式，其中，分別將、代入上式，得第一、二、三階主振型分別為：， , 圖3 簡支梁的三自由度模型四、 十自由度簡支梁的數(shù)值方法將簡支梁簡化為十自由度模型（如圖4）。圖4 簡支梁的十自由度模型通過在一點施加單位力，計算其余點的撓度，可得柔度矩陣：0.0137 0.0240 0.0306 0.0339 0.0344 0.0324 0.0284 0.0227 0.0158 0.0081 0.0240 0.0443 0.0579 0.0650 0.0664 0.0628 0.0552 0.0443 0.0309 0.0158 0.0306 0.0579 0.0787 0.0904

5、0.0934 0.0891 0.0787 0.0633 0.0443 0.0227 0.0339 0.0650 0.0904 0.1071 0.1131 0.1093 0.0973 0.0787 0.0552 0.0284 0.0344 0.0664 0.0934 0.1131 0.1229 0.1212 0.1093 0.0891 0.0628 0.0324 0.0324 0.0628 0.0891 0.1093 0.1212 0.1229 0.1131 0.0934 0.0664 0.0344 0.0284 0.0552 0.0787 0.0973 0.1093 0.1131 0.1071

6、 0.0904 0.0650 0.0339 0.0227 0.0443 0.0633 0.0787 0.0891 0.0934 0.0904 0.0787 0.0579 0.0306 0.0158 0.0309 0.0443 0.0552 0.0628 0.0664 0.0650 0.0579 0.0443 0.0240 0.0081 0.0158 0.0227 0.0284 0.0324 0.0344 0.0339 0.0306 0.0240 0.0137 表1 十自由度撓度變形矩陣十自由度簡支梁為十個集中質(zhì)量的振動模型，每個質(zhì)量都近似等于，因此，質(zhì)量矩陣為：動力矩陣為：下面，用如下幾種方法

7、計算十自由度簡支梁的固有頻率與振型。1、鄧克萊法利用鄧克萊法求基頻（比準確值?。阂虼?，將柔度矩陣主對角線上各元素相加并乘以，可求得：2、瑞利法（1）瑞利第一商柔度矩陣求逆得剛度矩陣：，其中，矩陣見表2。2.0433-1.90030.7778-0.26490.16470.0356-0.28170.2834-0.0446-0.0926-1.90032.9228-2.46751.4375-0.68620.02990.5193-0.62260.3193-0.04460.7778-2.46753.8387-3.34681.6331-0.1417-0.66840.8588-0.62260.2834-0.

8、26491.4375-3.34684.2339-2.91230.7780.4309-0.66840.5193-0.28170.1647-0.68621.6331-2.91233.4193-2.29320.778-0.14170.02990.03560.03560.0299-0.14170.778-2.29323.4193-2.91231.6331-0.68620.1647-0.28170.5193-0.66840.43090.778-2.91234.2339-3.34681.4375-0.26490.2834-0.62260.8588-0.6684-0.14171.6331-3.34683.8

9、387-2.46750.7778-0.04460.3193-0.62260.51930.0299-0.68621.4375-2.46752.9228-1.9003-0.0926-0.04460.2834-0.28170.03560.1647-0.26490.7778-1.90032.0433表2 矩陣各元素假設(shè)力作用在簡支梁中間位置而得到各點的靜變形，可以表示為：其中，。因此，可以假設(shè)振型：則由瑞利第一商公式：，可得：（2）瑞利第二商 同樣假設(shè)力作用在簡支梁中間位置，由瑞利第二商公式： 可得: 瑞利法中，代表質(zhì)量矩陣，代表剛度矩陣，代表柔度矩陣，為模態(tài)向量。3、李茲法將十自由度簡支梁縮減為三自

10、由度，假設(shè)振型為：則可求出：72.960-0.6023.061.2-0.61.2180.127900.135404.3927-1.23220.1354-1.23224.2842由式 ，得：,其中，因此可得：以及：所以系統(tǒng)的前三階主振型的近似為：-1.04-1.39-0.284、矩陣迭代法單位力作用在簡支梁中間位置得到各點的撓度變形，將首項化一，得：其中，。因此可假設(shè)振型：利用矩陣迭代求第一階固有頻率和主振型：由上，僅3次矩陣迭代后，與基本相等，因此可以認為系統(tǒng)的第一階主振型為： 第一階固有頻率為： 5、雅可比法根據(jù)雅可比法原理，依次找出上三角非對角線上（考慮對稱性）的最大元素，利用公式得到值，

11、代入旋轉(zhuǎn)矩陣，可得：0.349 -0.056 -0.417 0.215 0.396 -0.394 -0.217 0.415 0.058 -0.347 0.396 0.323 -0.134 -0.420 -0.212 0.212 0.420 0.134 -0.324 -0.395 0.398 -0.369 -0.032 0.334 -0.185 -0.215 0.340 0.002 -0.436 0.455 0.321 0.424 0.230 -0.122 -0.387 -0.387 -0.122 0.231 0.423 0.322 0.161 -0.324 0.419 -0.346 0.087

12、 0.244 -0.460 0.454 -0.282 0.102 0.232 0.388 0.422 0.322 0.120 -0.120 -0.322 -0.422 -0.388 -0.232 0.104 -0.231 0.354 -0.442 0.466 -0.424 0.351 -0.263 0.155 -0.053 0.120 0.231 0.322 0.388 0.422 0.422 0.388 0.322 0.231 0.120 0.439 0.101 -0.383 -0.219 0.304 0.337 -0.236 -0.391 0.127 0.415 -0.404 0.453

13、-0.158 -0.184 0.324 -0.242 0.044 0.217 -0.448 0.399 則：0.000500000000000.002700000000000.000300000000000.008400000000000.000100000000000.042400000000000.000100000000000.677500000000000.001100000000000.0002由此得到系統(tǒng)的固有頻率：對應各特征值的特征向量即為振型，即的列向量為各階振型。6、子空間迭代法取假設(shè)振型：由動力矩陣迭代得到：0.6941-0.0460.0341-0.01761.3333-0

14、.07680.0706-0.02871.8642-0.08340.108-0.03122.2447-0.06290.138-0.03042.4421-0.02340.1537-0.03182.44210.02340.1506-0.03612.24470.06290.1282-0.03881.86420.08340.0932-0.03471.33330.07680.0568-0.02370.69410.0460.0258-0.011將各列分別歸一化得： 求得和分別為： 再由李茲法得特征值問題為：解出：,其中，相應的主振型為：所以：0.2850.0527-0.0249-0.53970.54770.

15、0679-0.0244-0.90330.76610.03320.0048-0.9850.9229-0.01980.0311-0.74631.0042-0.05890.0222-0.27851.0042-0.0607-0.01470.2790.9229-0.0196-0.03670.74770.76610.037-0.01460.98550.54770.06650.02770.9010.2850.04950.03680.5365各列分別歸一化后，得：0.2838080.776141-0.67663-0.547640.5454091-0.66304-0.916590.7628960.4889540

16、.130435-0.999490.91904-0.291610.845109-0.757281-0.867450.603261-0.28261-0.89396-0.399460.2831050.91904-0.28866-0.997280.7587010.7628960.544919-0.3967410.5454090.9793810.7527170.9142570.2838080.72901310.544394重復上述過程進行第二次迭代。由：0.19260.0065-0.0021-0.02320.36990.0085-0.0017-0.03880.51710.00480.0008-0.042

17、20.6225-0.0020.0025-0.03220.6771-0.0070.0015-0.0120.6771-0.007-0.0010.01210.6225-0.0019-0.00240.03220.51710.0049-0.00070.04220.36990.00860.00220.03880.19260.00640.00260.0232歸一化后得：0.2844480.755814-0.80769-0.549760.54630.988372-0.65385-0.919430.7636980.558140.307692-10.919362-0.232560.961538-0.763031-

18、0.813950.576923-0.284361-0.81395-0.384620.286730.919362-0.22093-0.923080.7630330.7636980.569767-0.2692310.546310.8461540.9194310.2844480.74418610.549763則有：5.61560.32950.41680.00240.32955.1660.17580.02290.41680.17585.22040.08370.00240.02290.08375.62270.00830.00090.000600.00090.61070.01570.00040.00060

19、.01571.91860.002300.00040.00230.1328由： 解出： ,其中，相應的主振型為：0.284-0.7390.8411-0.54950.5457-0.95780.7085-0.91930.7633-0.5176-0.2488-1.00020.91950.2806-0.9104-0.76371.00050.8685-0.5323-0.28511.00050.87260.43450.28620.91950.27890.99070.76280.7633-0.51970.35560.99990.5457-0.9641-0.75970.91930.284-0.7258-0.94

20、530.5496各列分別歸一化后，得：0.2838580.7665180.8489960.549390.5454270.9934650.7151510.9191160.7629190.536874-0.2511410.91904-0.29105-0.918950.7635471-0.90084-0.53730.2850431-0.905090.438579-0.286140.91904-0.289291-0.762650.7629190.5390520.358938-0.99970.5454271-0.76683-0.919120.2838580.752826-0.95417-0.54949進

21、行第三次迭代：0.19260.00650.00240.02330.370.00860.0020.03890.51710.0049-0.00080.04240.6225-0.002-0.00260.03230.6772-0.0072-0.00140.01210.6772-0.00720.0013-0.01210.6225-0.0020.0026-0.03230.51710.00490.0009-0.04240.370.0086-0.002-0.03890.19260.0065-0.0025-0.0233歸一化得：0.2844480.755814-0.80769-0.549760.54630.988372-0.65385-0.919430.7636980.558140.307692-10.919362-