1、本章回顧,知識(shí)結(jié)構(gòu)(學(xué)生用書P65),規(guī)律方法總結(jié)(學(xué)生用書P65),1.合情推理 由合情推理的過(guò)程可以看出,合情推理的結(jié)論往往超越了前提涵蓋的內(nèi)容,帶有猜想的成分,因此,推理所得的結(jié)論未必正確;但合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,探索和提供證明思路和方向的作用,歸納和類比是合情推理常用的思維方法,歸納推理是由部分到整體,由特殊到一般的推理,是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段.類比推理是由特殊到特殊的推理,它常以已知的知識(shí)作基礎(chǔ),推測(cè)出新的結(jié)果,具有發(fā)現(xiàn)功能.,2.演繹推理 演繹推理是由一般到特殊的推理,其結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍,所以其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的.因此,在演繹推理中,只要前提及推理正確

2、,結(jié)論必然正確.,3.證明數(shù)學(xué)命題的常用方法 (1) 綜合法:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義定理公理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種方法叫做綜合法.綜合法的定義,給出了用綜合法證明數(shù)學(xué)結(jié)論的方法步驟,其基本思路是“由因?qū)Ч?即從已知推可知,再逐步推向未知(結(jié)論)的過(guò)程,它是數(shù)學(xué)中最常用的方法.,(2) 分析法:是從待證的結(jié)論出發(fā),一步一步的去尋找結(jié)論成立的充分條件,最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或被證明的事實(shí).因此,若從最后一步倒推回去,直到結(jié)論,這個(gè)過(guò)程就是綜合.因此,在解答較復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題時(shí),常用分析法找思路,再用綜合法表達(dá),有時(shí)分析法和綜合法合用稱為“分析綜合法”.,(

3、3)反證法:數(shù)學(xué)中的命題,都有題設(shè)條件和結(jié)論兩部分.當(dāng)我們證明一個(gè)命題時(shí),不直接從題設(shè)出發(fā)去證明結(jié)論成立,而是從否定這個(gè)命題的結(jié)論出發(fā),通過(guò)正確嚴(yán)密的邏輯推理,由此引出一個(gè)新的結(jié)論,而這個(gè)新的結(jié)論與題設(shè)矛盾(或與已知定義定理等事實(shí)相矛盾,或者自相矛盾).這說(shuō)明原命題結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的,從而肯定原結(jié)論是成立的,這就是用反證法證明數(shù)學(xué)命題的過(guò)程. 一般地,結(jié)論中出現(xiàn)“至多”,“至少”,“唯一”等詞語(yǔ),或結(jié)論以否定的語(yǔ)句出現(xiàn),或要討論的情況復(fù)雜等,都可以考慮用反證法.,(4)數(shù)學(xué)歸納法:它主要用于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,證明時(shí),它的兩個(gè)步驟缺一不可.它的第一步(歸納奠基),驗(yàn)證n=n0時(shí),命題成立.

4、第二步(歸納遞推),假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,推得n=k+1時(shí)命題也成立.在第二步中必須用上假設(shè),否則不是數(shù)學(xué)歸納法.對(duì)于與正整數(shù)有關(guān)的探索性問題,一般經(jīng)過(guò)歸納猜想,探索出結(jié)論,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.,1.合情推理 合情推理包括歸納推理和類比推理,盡管結(jié)論的正確性有待證明,但在探索新結(jié)論,發(fā)現(xiàn)新方法,拓展新知識(shí)方面有著極其重要的作用,也是每個(gè)人應(yīng)必備的基本能力.,數(shù)學(xué)思想方法(學(xué)生用書P65),例1:觀察下圖中各正方形圖案,每條邊上有n(n2)個(gè)點(diǎn),第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)是Sn. n=2,S2=4,n=3,S3=8,n=4,S4=12,按此規(guī)律,推出Sn與n的關(guān)系式為_.,答案:Sn=4n-4(n

5、2,nN*).,解析:依圖的構(gòu)造規(guī)律可以看出: S2=24-4, S3=34-4, S4=44-4(正方形四個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)算一次,應(yīng)減去). 猜想:Sn=4n-4(n2,nN*).,例2:中學(xué)數(shù)學(xué)中存在很多關(guān)系,比如“相等關(guān)系”,“平行關(guān)系”等等,如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“”滿足以下三個(gè)條件: (1)自反性:對(duì)于任意aA,都有aa. (2)對(duì)稱性:對(duì)于a,bA,若ab,則ba. (3)傳遞性:對(duì)于a,b,cA,若ab,bc,則ac. 則稱“”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,例如“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系,而直線的平行不是等價(jià)關(guān)系(自反性不成立),請(qǐng)你再判斷兩個(gè)關(guān)系_.,解析:類比“數(shù)的相等”這一等價(jià)關(guān)

6、系知,a與a自身相等,a與b相等,則b與a也相等,a與b相等,b與c相等,則a與c也相等. 可聯(lián)想到如下關(guān)系也是等價(jià)關(guān)系:圖形的全等,圖形的相似,命題的充要條件,非零向量共線等. 答案:圖形的全等,命題的充要條件. 注:答案不唯一.,2.觀察,歸納,猜想 利用歸納猜想探究數(shù)列的通項(xiàng)一直是高考的熱點(diǎn).,例3:(浙江高考)已知數(shù)列an的相鄰兩項(xiàng)a2k-1,a2k是關(guān)于x的方程x2-(3k+2k)x+3k2k=0的兩個(gè)根且a2k-1a2k(k=1,2,3,). (1) 求a1,a3,a5,a7及a2n(n4),不必證明; (2) 求數(shù)列an的前2n項(xiàng)和S2n.,解:(1) 方程x2-(3k+2k)x

7、+3k2k=0的兩根為x1=3k,x2=2k. 當(dāng)k=1時(shí),x1=3,x2=2,a1=2; 當(dāng)k=2時(shí),x1=6,x2=4,a3=4; 當(dāng)k=3時(shí),x1=9,x2=8,a5=8; 當(dāng)k=4時(shí),x1=12,x2=16,a7=12. 當(dāng)n4時(shí),2n3n, a2n=2n(n4). (2) S2n=a1+a2+a2n=(3+6+9+3n)+(2+22+2n),例4:一個(gè)平面內(nèi)有n條直線,這n條直線把平面最多分成幾塊?,解析:只有當(dāng)這n條直線互不平行且沒有兩條以上的直線相交于同一點(diǎn)時(shí),才能把平面分成的塊數(shù)最多. 下面用f(n)表示n條直線劃分平面的塊數(shù),用歸納法探求如下: n=1時(shí),f(1)=2=1+1

8、; n=2時(shí),f(2)=4=2+2; n=3時(shí),f(3)=7=4+3; n=4時(shí),f(4)=11=7+4; ,f(n)=f(n-1)+n =f(n-2)+(n-1)+n =f(n-3)+(n-2)+(n-1)+n = =1+1+2+3+n,規(guī)律技巧:對(duì)于比較抽象的問題,可通過(guò)具體化探求其規(guī)律,如本例先用實(shí)驗(yàn)的方法,求出n=1,2,3,4時(shí)的f(n)的值,從中歸納出規(guī)律(遞推關(guān)系)f(n)=f(n-1)+n,使問題得以解決.,3.綜合法 綜合法是從原因推測(cè)結(jié)果的思維方法,即從已知條件出發(fā),經(jīng)過(guò)逐步的推理,最后達(dá)到待證的結(jié)論,這是常用的數(shù)學(xué)方法.,分析:(1) f(x)=0中二次項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)a,應(yīng)

9、考慮a=0與a0,進(jìn)而分類討論,從后一小題可知應(yīng)證a0.,證明:(1) 若a=0,b=-c, f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c20, 與已知矛盾,所以a0. 方程3ax2+2bx+c=0的判別式 =4(b2-3ac),由條件a+b+c=0,消去b,得,4.分析法 分析法是從待證的結(jié)論出發(fā),一步一步地尋找結(jié)論成立的充分條件,最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí).,例6:設(shè)a,b,c為一個(gè)三角形的三邊, 且S2=2ab,求證:S2a.,例7:四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面,滿足_時(shí),BDA1C.(寫出一個(gè)條件即可),答案:BDAC,解析:欲使BDA1C,只需BD平面

10、AA1C1C,只需BDAC. 可填條件:BDAC或ABCD為正方形等.,5.反證法 應(yīng)用反證法證明命題時(shí)要注意以下三點(diǎn): (1) 必須先否定結(jié)論.當(dāng)結(jié)論的反面有多種情況時(shí),必須羅列各種情況加以論證,缺少任何一種可能,反證法都是不完全的. (2) 反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證,否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面進(jìn)行推理,就不是反證法.,(3) 推導(dǎo)出的矛盾多種多樣,有的與已知相矛盾,有的與假設(shè)相矛盾,有的與已知事實(shí)相矛盾等等,推出的矛盾必須是明顯的.,例8:求證:一元二次方程至多有兩個(gè)不相等的實(shí)根.,分析:所謂至多有兩個(gè),就是不可能有三個(gè),要證“至多有兩個(gè)不相等的實(shí)根”,只要證明