1、2.4 平面向量的數(shù)量積,2.4.1 平面向量數(shù)量積的 物理背景及其含義,問題提出,1.向量的模和夾角分別是什么概念？當兩個向量的夾角分別為0，90，180時，這兩個向量的位置關(guān)系如何？,2.任意兩個向量都可以進行加、減運算，同時兩個向量的和與差仍是一個向量，并且向量的加法運算滿足交換律和結(jié)合律.由于任意兩個實數(shù)可以進行乘法運算，我們自然會提出，任意兩個向量是否也可以進行乘法運算呢？對此，我們從理論上進行相應(yīng)分析.,平面向量數(shù)量積的 物理背景及其含義,探究（一）:平面向量數(shù)量積的背景與含義,WFscos,思考2：功是一個標量，它由力和位移兩個向量所確定，數(shù)學(xué)上，我們把“功”稱為向量F與s “數(shù)

2、量積”.一般地，對于非零向量a與b的數(shù)量積是指什么？,思考3：對于兩個非零向量a與b，設(shè)其夾角為，把a|bcos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab，即 ab=a|bcos.那么ab的運算結(jié)果是向量還是數(shù)量？,思考4：特別地，零向量與任一向量的數(shù)量積是多少？,0a=0,思考5：對于兩個非零向量a與b，其數(shù)量積ab何時為正數(shù)？何時為負數(shù)？何時為零？,當090時，ab0； 當90180時，ab0； 當90時，ab0.,ab=a|bcos,思考6：對于兩個非零向量a與b，設(shè)其夾角為，那么acos的幾何意義如何？,思考7：對于兩個非零向量a與b，設(shè)其夾角為，acos叫做向量a在b方向上的投影.那么該

3、投影一定是正數(shù)嗎？向量b在a方向上的投影是什么？,不一定；bcos.,思考8：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積 ab=a|bcos的幾何意義如何？,數(shù)量積ab等于a的模與b在a方向上的投影bcos的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影acos的乘積，,探究（二）：平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì),思考1：設(shè)a與b都是非零向量，若ab，則ab等于多少？反之成立嗎？,ab ab0,思考2：當a與b同向時，ab等于什么？當a與b反向時，ab等于什么？特別地，aa等于什么？,當a與b同向時，abab； 當a與b反向時，abab； aaa2a2或a .,思考3：ab與ab的大小關(guān)系如何？為什么？,abab,思考4：ab

4、與ba是什么關(guān)系？為什么？,abba,思考5：對于實數(shù)，(a)b有意義嗎？它可以轉(zhuǎn)化為哪些運算？,(a)b(ab)a(b),思考6：對于向量a，b，c，(ab)c有意義嗎？它與acbc相等嗎？為什么？,思考7：對于非零向量a，b，c，(ab)c有意義嗎？(ab)c與a(bc)相等嗎？為什么？,(ab)ca(bc),思考8：對于非零向量a，b，c，若abac，那么 bc嗎？,思考9：對于向量a，b，等式(ab)2 a22abb2和(ab)(ab)a2b2是否成立？為什么？,思考10：對于向量a，b，如何求它們的夾角？,理論遷移,例1 已知a5，b4，a與b的夾角為120，求ab.,10,例2 已知a6，b4，a與b的夾角為60，求(a2b)(a3b).,72,例3 已知a3，b4，且a與b不共線.求當k為何值時，向量akb與 akb互相垂直？,小結(jié)作業(yè),1.向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運算，它與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣，也有明顯的物理背景和幾何意義，同時還有一系列的運算性質(zhì)，但與向量的線性運算不同的是，數(shù)量積的運算結(jié)果是數(shù)量而不是向量.,2.實數(shù)的運算性質(zhì)與向量的運算性質(zhì)不完全一致，應(yīng)用時不要似是而非.,3. 利用a 可以求向量的模，在字符運算中是一種常用方法.,4.利用向量的數(shù)量積可以