1、階段總結(jié)熱考題型強化課(六) 算法、統(tǒng)計與概率,【網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】,【核心要素】 1.程序框圖、算法的三種邏輯結(jié)構(gòu)、算法語句 2.簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣 3.樣本的頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖 4.樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差與標準差 5.回歸直線方程、獨立性檢驗的步驟與計算公式,6.事件的分類、互斥、對立、獨立關(guān)系及事件間的交、并運算的概率計算公式 7.隨機事件的概率、古典概型、幾何概型、條件概率的特征與計算公式 8.分類加法與分步乘法計數(shù)原理、排列、組合的定義、排列數(shù)、組合數(shù)計算公式與應(yīng)用,9.二項式定理、通項公式及二項式系數(shù)的性質(zhì) 10.離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)

2、11.兩點分布、超幾何分布、n次獨立重復(fù)試驗與二項分布、正態(tài)分布 12.離散型隨機變量的均值與方差,熱考題型一算法 【考情分析】,【考題集訓(xùn)】 1.(2014天津高考)閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,輸出S的值為() A.15 B.105 C.245 D.945,【解析】選B.i=1時,T=3,S=3;i=2時,T=5,S=15; i=3時,T=7,S=105,i=4輸出S=105.,2.(2014四川高考)執(zhí)行如圖的程序框圖,如果輸入的x,yR,那么輸出的S的最大值為() A.0 B.1 C.2 D.3,【解析】選C.方法一:程序框圖的實質(zhì)是若x0,y0, x+y1,則S=2x+y;

3、否則,S=1. 當x0,y0,x+y1時,0y1-x,得0 x1, 從而02x+y2, 即當x=1,y=0時,Smax=21+0=2.,方法二:程序框圖的實質(zhì)是若x0,y0,x+y1, 則S=2x+y; 否則,S=1. 當 時,如圖,由線性規(guī)劃可知, 當x=1,y=0時,Smax=21+0=2.,3.(2013重慶高考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸出s=3,那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是() A. k6 B.k7 C.k8 D.k9,【解析】選B.第一次執(zhí)行循環(huán)體后,s=log23,k=3,第二次執(zhí)行循環(huán)體后,s=log24,k=4,第三次執(zhí)行循環(huán)體后,s=log25,k=5,第四次執(zhí)行循環(huán)體后

4、,s=log26,k=6,第五次執(zhí)行循環(huán)體后,s=log27,k=7,第六次執(zhí)行循環(huán)體后,s=log28=3,k=8,結(jié)束循環(huán).故選B.,4.(2014山東高考)執(zhí)行下面的程序框圖,若輸入的x的值為1,則輸出的n的值為_.,【解析】根據(jù)判斷條件x2-4x+30,得1x3, 輸入x=1, 第一次判斷后循環(huán),x=x+1=2,n=n+1=1, 第二次判斷后循環(huán),x=x+1=3,n=n+1=2, 第三次判斷后循環(huán),x=x+1=4,n=n+1=3, 第四次判斷不滿足條件,退出循環(huán),輸出n=3. 答案:3,5.(2014湖北高考)設(shè)a是一個各位數(shù)字都不是0且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).將組成a的3個數(shù)字按從小到

5、大排成的三位數(shù)記為I(a),按從大到小排成的三位數(shù)記為D(a)(例如a=815,則I(a)=158,D(a)=851).閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,任意輸入一個a,輸出的結(jié)果b=_.,【解析】當a=123時,b=321-123=198123; 當a=198時,b=981-189=792198; 當a=792時,b=972-279=693792; 當a=693時,b=963-369=594693; 當a=594時,b=954-459=495594; 當a=495時,b=954-459=495=a,終止循環(huán),故輸出b=495. 答案:495,熱考題型二統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 【考情分析】,【考

6、題集訓(xùn)】 1.(2014廣東高考)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示,為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因,用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別是(),A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10,【解析】選A.樣本容量為100002%=200,抽取的高中生近視人數(shù)為20002%50%=20.,2.(2013重慶高考)如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位:分).,已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,則x,y的值分別為() A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.

7、8,8 【解析】選C.因為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15,所以易知x=5,又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8,所以 =16.8,解得y=8.故選C.,3.(2013江蘇高考)抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓(xùn)練成績(單位:環(huán)),結(jié)果如下: 則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為_.,【解析】 故 答案：2,4.(2014新課標全國卷)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表: (1)求y關(guān)于t的線性回歸方程.,(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入. 附:回歸

8、直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,【解析】(1)因為 設(shè)回歸方程為 代入公式，經(jīng)計算得 所以y關(guān)于t的回歸方程為y= t+2.3.,(2)因為 0,所以2007年至2013年該地區(qū)人均純收入穩(wěn)步增長，預(yù)計到2015年，該地區(qū)人均純收入y= 9+2.3=6.8(千元)， 所以預(yù)計到2015年，該地區(qū)人均純收入約6 800元.,5.(2014安徽高考)某高校共有學(xué)生15000人,其中男生10500人,女生4500人,為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時). (1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?,(2)根據(jù)

9、這300個樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:0,2,(2,4,(4,6,(6,8,(8,10,(10,12.估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4小時的概率.,(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握(在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下)認為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”.,【解析】(1)300 =90, 所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù). (2)由頻率分布直方圖得2(0.150+0.125+0.075+ 0.025)=0.75,

10、 所以該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75.,(3)由(2)知,300位學(xué)生中有3000.75=225人的每周平均體育運動時間超過4個小時.75人的每周平均體育運動時間不超過4個小時.又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的,90份是關(guān)于女生的,所以每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表如下:,平均體育運動時間與性別列聯(lián)表,結(jié)合列聯(lián)表可算得K2的觀測值 k= 4.7623.841. 有95%的把握(在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下)認為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”.,熱考題型三概率的計算 【考情分析】,【考題集訓(xùn)】 1.(2014陜西高考)從正方形四個頂

11、點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為(),【解析】選C.從邊長為1的正方形的中心和 頂點這五點中,隨機(等可能)取兩點,共有 =10條線段,滿足該兩點間的距離不小于1 的有AB,BC,CD,DA,AC,BD共6條線段,則根據(jù)古典概型的 概率公式可知隨機(等可能)取兩點,則該兩點間的距離 不小于1的概率P=,2.(2014湖北高考)由不等式組 確定的平面區(qū)域記為1,不等式組 確定的平面區(qū)域記為2,在1中隨機取一點,則該點恰好在2內(nèi)的概率為(),【解析】選D.依題意,不等式組表示的平面區(qū)域如圖,由幾何概型概率公式知,該點落在2內(nèi)的概率為,3.(2014全國卷

12、)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是() A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45,【解析】選A.設(shè)某天空氣質(zhì)量優(yōu)良,則隨后一天空氣質(zhì)量也優(yōu)良的概率為p,則據(jù)題有0.6=0.75p,解得p=0.8,故選A.,4.(2013山東高考)甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定 先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲 隊獲勝的概率是 外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率是 .假設(shè)每局比賽結(jié)果互相獨立.,(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率. (2)若比賽結(jié)果為30或

13、31,則勝利方得3分,對方得0分;若比賽結(jié)果為32,則勝利方得2分、對方得1分,求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.,【解析】(1)記“甲隊以30勝利”為事件A1,“甲隊 以31勝利”為事件A2,“甲隊以32勝利”為事件A3, 由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立, 故P(A1)= ,P(A2)= P(A3)= 所以甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為 ,甲 隊以32勝利的概率為 .,(2)設(shè)“乙隊以32勝利”為事件A4, 由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立, 所以P(A4)= 由題意,隨機變量的所有可能的取值為0,1,2,3, 根據(jù)事件的互斥性得 P(=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=,又P(

14、=1)=P(A3)= P(=2)=P(A4)= P(=3)=1-P(=0)-P(=1)-P(=2)= 故的分布列為,所以E()=,5.(2014安徽高考)甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定 先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連 勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝 的概率為 ，乙獲勝的概率為 ，各局比賽結(jié)果相互 獨立.,(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率. (2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).,【解析】Ai表示“第i局甲獲勝”,Bi表示“第i局乙獲勝”, 則P(Ai)= ,P(Bi)= ,i=1,2,3,4,5.,(1)用A表示“甲在4局

15、以內(nèi)(含4局)贏得比賽”, P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4),(2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)= P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)= P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=,故X的分布列為： E(X)=,熱考題型四概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例的綜合 【考情分析】,【考題集

16、訓(xùn)】 1.(2014全國卷)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況,隨機訪問了50位市民.根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分(評分越高表示市民的評價越高),繪制莖葉圖如下:,(1)分別估計該市的市民對甲、乙部門評分的中位數(shù). (2)分別估計該市的市民對甲、乙部門的評分小于90的概率. (3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.,【解析】(1)兩組數(shù)字是有序排列的,50個數(shù)的中位數(shù) 為第25,26兩個數(shù)的平均數(shù).由給出的數(shù)據(jù)可知道,市民 對甲部門評分的中位數(shù)為 =75,對乙部門評分的 中位數(shù)為 =67,所以市民對甲、乙兩部門評分的 中位數(shù)分別為75,67.,(2)甲部門評分數(shù)大于等于90的共

17、有6個、乙部門評分數(shù)大于等于90的共有9個.因此,估計市民對甲、乙部門的評分大于等于90的概率分別為P甲= =0.12,P乙= =0.18. 所以市民對甲、乙部門的評分小于90的概率分別為0.88,0.82.,(3)由所給莖葉圖知,市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù),而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差,說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致,對乙部門的評價較低、評價差異較大.,2.(2014遼寧高考)某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級學(xué)生中進行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:,(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有95%的把握

18、(在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下)認為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”. (2)已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中2名喜歡甜品,現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.,【解析】(1)由22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù), 得K2= 4.762, 由于4.7623.841,所以有95%的把握(在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下)認為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”.,(2)從5名數(shù)學(xué)系學(xué)生中抽取3人的一切可能結(jié)果所組成 的基本事件為下列10個: (a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2

19、),(a1,b1, b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3), (b1,b2,b3), 其中ai(i=1,2)表示喜歡甜品的學(xué)生,bj(j=1,2,3)表示 不喜歡甜品的學(xué)生,這10個基本事件的出現(xiàn)是等可能的.,抽取3人,至多有1人喜歡甜品的事件為以下7個: (a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1, b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3), 從這5名學(xué)生中隨機抽取3人,至多有1人喜歡甜品的概 率為 .,3.(2014全國卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這

20、些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:,(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方 差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表). (2)由直方圖可以認為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正 態(tài)分布N(,2),其中近似為樣本平均數(shù) ,2近 似為樣本方差s2. 利用該正態(tài)分布,求P(187.8Z212.2).,某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù),利用的結(jié)果,求E(X).,【解析】(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2分別為 =1700.02+1800.09+1900.22+

21、2000.33+210 0.24+2200.08+2300.02=200, s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+0 0.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.,(2)由(1)知,ZN(200,150),從而P(187.8Z212.2) =P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826. 由知,一件產(chǎn)品質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826. 依題意知XB(100,0.6826), 所以E(X)=1000.6826=68.26.,熱考題型五排列、組合與二項式定理 【考情分析】,【考題集訓(xùn)】 1.(201

22、4重慶高考)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是() A.72 B.120 C.144 D.168,【解析】選B.第一類,當2個小品類節(jié)目在1個相聲類節(jié) 目同側(cè)時有 =72種排法, 第二類,當2個小品類節(jié)目在1個相聲類節(jié)目兩側(cè)時有 =48種排法, 共有72+48=120種排法,故選B.,2.(2013全國卷)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則=() A.-4B.-3C.-2D.-1 【解析】選D.(1+x)5中含有x與x2的項為T2= x=5x, T3= x2=10 x2,所以x2的系數(shù)為10+5a=5,解

23、得a=-1.,3.(2014浙江高考)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2) +f(0,3)=() A.45 B.60 C.120 D.210,【解析】選C.由二項展開式的通項性質(zhì)可知xmyn項的系數(shù)為f(m,n)= 所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= =120.,4.(2014山東高考)若 的展開式中x3項的系數(shù)為20,則a2+b2的最小值為_.,【解析】將 展開，得到 令12-3r=3，得r=3. 由 =20,得ab=1, 所以a2+b22ab=2. 答案：2,熱考題型六離散型隨機變量的分

24、布列、均值與方差 【考情分析】,【考題集訓(xùn)】 1.(2014天津高考)某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).,(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率. (2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,【解析】(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則 所以,選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率為 (2)隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3.,所以,隨機變量X的

25、分布列是 隨機變量X的數(shù)學(xué)期望,2.(2014湖北高考)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.,(1)求未來4年中,至多1年的年入流量超過120的概率. (2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:,若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為5000萬元;若某臺發(fā)電機

26、未運行,則該臺年虧損800萬元,欲使水電站年利潤的均值達到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺?,【解析】(1)依題意,p1=P(40120)= =0.1. 根據(jù)二項分布,在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為,(2)記水電站年總利潤為Y, 安裝1臺發(fā)電機的情形: 由于水庫年入流量總大于40,故一臺發(fā)電機運行的概率為1,對應(yīng)的年利潤Y=5000,E(Y)=15000=5000.,安裝2臺發(fā)電機的情形: 依題意,當40x80時,一臺發(fā)電機運行, 此時Y=5000-800=4200, 因此P(Y=4200)=P(40x80)=p1=0.2; 當X80時,兩臺發(fā)電機運行,此時Y=50002=10000, 因此P(Y=10000)=P(X80)=p2+p3=0.8;,由此得分布列如下 所以,E(Y)=42000.2+100000.8=8840.,安裝3臺發(fā)電機的情形: 依題意,當40x80時,一臺發(fā)電機運行, 此時Y=5000-1600=3400, 因此P(Y=3400)=P(40x80)=p1=0.2; 當80X120時,兩臺發(fā)電機運行,此時Y=50002-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80X120)=p2=0.7; 當X120時,三臺發(fā)電機運行,此