1、算 法 案 例-秦九韶算法,在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，從公元前2、3世紀(jì)公元14世紀(jì)，中國(guó)的數(shù)學(xué)雖有過(guò)高潮，也有過(guò)低落，但一直走在世界的前列，是世界數(shù)學(xué)的中心。中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展有著不可磨滅的貢獻(xiàn)。秦九韶算法就是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一枝奇葩。 今天這節(jié)課我們領(lǐng)略秦九韶算法的魅力。,（1）設(shè)計(jì)求多項(xiàng)式,當(dāng)x=5時(shí)的值的算法，并寫出程序。 （2）有沒有更高效的算法？能否探求更好的算法，來(lái)解決任意多項(xiàng)式的求解問(wèn)題？,T引導(dǎo)學(xué)生把多項(xiàng)式變形為：,思考：從內(nèi)到外，如果把每一個(gè)括號(hào)都看成一個(gè)常數(shù)，那么變形后的式子中有哪些“一次式”？x的系數(shù)依次是什么？,（3）若將x的值代入變形后的式子中，那么求值的計(jì)算過(guò)程是怎

2、樣的？,將變形前x的系數(shù)乘以x的值，加上變形前的第2個(gè)系數(shù)，得到一個(gè)新的系數(shù)；將此系數(shù)繼續(xù)乘以x的值，再加上變形前的第3個(gè)系數(shù)，又得到一個(gè)新的系數(shù)；繼續(xù)對(duì)新系數(shù)做上面的變換，直到與變形前的最后一個(gè)系數(shù)相加，得到一個(gè)新的系數(shù)為止。這個(gè)系數(shù)即為所求多項(xiàng)式的值。這種算法即是“秦九韶算法”,（4）用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，與多項(xiàng)式組成有直接關(guān)系嗎？用秦九韶算法計(jì)算上述多項(xiàng)式的值，需要多少次乘法運(yùn)算和多少次加法運(yùn)算？,數(shù)書九章秦九韶算法,對(duì)該多項(xiàng)式按下面的方式進(jìn)行改寫：,思考：當(dāng)知道了x的值后該如何求多項(xiàng)式的值？,這是怎樣的一種改寫方式？最后的結(jié)果是什么？,要求多項(xiàng)式的值，應(yīng)該先算最內(nèi)層的一次多項(xiàng)式的值

3、，即,然后，由內(nèi)到外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即,最后的一項(xiàng)是什么？,這種將求一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)的值轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的方法，稱為秦九韶算法。,思考：在求多項(xiàng)式的值上，這是怎樣的一個(gè)轉(zhuǎn)化？,通過(guò)一次式的反復(fù)計(jì)算，逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式，只需做n次乘法和n次加法即可。,秦九韶算法的特點(diǎn)：,算法步驟：,第一步：輸入多項(xiàng)式次數(shù)n、最高次項(xiàng)的系數(shù)an和x的值.,第二步：將v的值初始化為an，將i的值初始化為1.,第三步：輸入i次項(xiàng)的系數(shù)an-i.,第四步：v=vx+an-i,i=i+1.,第五步：判斷i是否小于或等于n，若是，則返回第三步；否則，輸出多項(xiàng)式的值v。,程序框圖：,這是一個(gè)在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)。,輸入an-i,（3）程序：,INPUT “n=”；n INPUT “an=“;a INPUT “x=“;x v=a i=n-1 WHILE i=0 PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END,小結(jié)： （1）算法具有通用的特點(diǎn)，可以解決一類問(wèn)題； （2）解決同一類問(wèn)題，可以有不同