1、第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖3.會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式4.會(huì)畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等沒(méi)有嚴(yán)格要求)1.對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的考查，很少單獨(dú)命題，多與命題真假判斷相結(jié)合，在考查線面位置關(guān)系時(shí)，常以幾何體為

2、載體2.對(duì)三視圖的考查一直是高考的考查重點(diǎn)，且有以下特點(diǎn)：(1)多以選擇題或填空題的形式考查(2)單獨(dú)考查三視圖問(wèn)題，如2012年福建T4，湖南T3等(3)與空間幾何體的體積、表面積的求法相結(jié)合，考查三視圖的還原問(wèn)題，如2012年新課標(biāo)全國(guó)T7，安徽T12，廣東T6，天津T10，遼寧T13等3.直觀圖的畫法作為一種圖技畫法融合于三視圖的還原問(wèn)題中，高考幾乎不單獨(dú)命題.歸納知識(shí)整合1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征多面體棱柱的側(cè)棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多邊形棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相互平行且相似的多邊形旋轉(zhuǎn)體圓柱

3、可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到探究1.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？提示：不一定如圖所示，盡管幾何體滿足了兩個(gè)平面平行且其余各面都是平行四邊形，但不能保證每相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊互相平行2中心投影與平行投影平行投影的投影線是平行的，而中心投影的投影線相交于一點(diǎn)在平行投影中投影線垂直于投影面的投影稱為正投影3三視圖與直觀圖三視圖空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，它包括正視圖、側(cè)視圖、俯

4、視圖，其畫法規(guī)則是：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法規(guī)則來(lái)畫，基本步驟是：畫幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，且使xOy45(或135)，已知圖形中平行x軸、y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x軸、y軸的線段已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半畫幾何體的高在已知圖形中過(guò)O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z軸，也垂直于xOy平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z軸且長(zhǎng)度不變探究2.正方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖

5、一定相同嗎？提示：由于正視圖的方向沒(méi)確定，因此正視圖、側(cè)視圖、俯視圖不一定相同自測(cè)牛刀小試1用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()A圓柱B圓錐C球體D圓柱，圓錐，球體的組合體解析：選C由球的性質(zhì)可知，用平面截球所得的截面都是圓面2(教材習(xí)題改編)如圖所示的幾何體是棱柱的有()ABC D解析：選C根據(jù)棱柱結(jié)構(gòu)特征可知是棱柱3(教材習(xí)題改編)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，分析此幾何體的組成為()A上面為棱臺(tái)，下面為棱柱B上面為圓臺(tái)，下面為棱柱C上面為圓臺(tái)，下面為圓柱D上面為棱臺(tái)，下面為圓柱解析：選C由三視圖可知，此幾何體由上面的圓臺(tái)和下面的圓柱組合而成的4關(guān)于斜二測(cè)

6、畫法所得直觀圖的說(shuō)法正確的是()A直角三角形的直觀圖仍是直角三角形B梯形的直觀圖是平行四邊形C正方形的直觀圖是菱形D平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形解析：選D由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，直角坐標(biāo)系變成了斜坐標(biāo)系，而平行性沒(méi)有改變，因此，只有D正確5一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的_(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))三棱錐四棱錐三棱柱四棱柱圓錐圓柱解析：只要判斷正視圖是不是三角形就行了，畫出圖形容易知道三棱錐、四棱錐、圓錐一定可以，對(duì)于三棱柱，只需要放倒就可以了，所以均符合題目要求答案：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1下列結(jié)論中正確的是()A各個(gè)面都是三

7、角形的幾何體是三棱錐B以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐D圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線自主解答A錯(cuò)誤如圖，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐B錯(cuò)誤如下圖，若ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐。C錯(cuò)誤若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六形但由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)答案D求解空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法，即嚴(yán)格按照空間幾何體的有關(guān)定義判斷(2)反例

8、法，即通過(guò)舉反例來(lái)說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的1下列命題中，正確的是()A有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B側(cè)面都是等腰三角形的棱柱是正棱錐C側(cè)面都是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體D底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱解析：選D對(duì)于A，兩個(gè)側(cè)面是矩形并不能保證側(cè)棱與底面垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，側(cè)面都是等腰三角形，不能確保此棱錐頂點(diǎn)在底面在底面的射影在底面正多邊形的中心上，且也不能保證底面是正多邊形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，側(cè)面是矩形不能保證底面也是矩形，因而C錯(cuò)誤空間幾何體的三視圖例2(1)(2012湖南高考)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()(2)(2012廈門質(zhì)檢

9、)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是()A三棱錐B四棱錐C四棱臺(tái) D三棱臺(tái)自主解答(1)A圖是兩個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；B圖是一個(gè)四棱柱與一個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；C圖是一個(gè)底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個(gè)四棱柱的組合體的俯視圖，采用排除法，故選D.(2)由三視圖可知，該幾何體是四棱錐(如圖所示)，且其中一條棱與底面垂直答案(1)D(2)B由三視圖還原實(shí)物圖應(yīng)明確的兩個(gè)方面(1)首先要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，較復(fù)雜的幾何體也是由這些簡(jiǎn)單幾何體組合而成的(2)要明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖2已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中ABAC，四邊形BCDE為矩

10、形)，則該組合體的俯視圖可以是_(把你認(rèn)為正確的圖的序號(hào)都填上)解析：幾何體是四棱錐與四棱柱組成時(shí)，得正確幾何體由四棱錐與圓柱組成時(shí)，得正確幾何體由圓錐與圓柱組成時(shí)，得正確幾何體由圓錐與四棱柱組成時(shí)，得正確故填.答案：空間幾何體的直觀圖例3如圖所示，ABC是ABC的直觀圖，且ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求ABC的面積自主解答建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy，ABC的頂點(diǎn)C在y軸上，AB邊在x軸上，把y軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得y軸，在y軸上取點(diǎn)C使OC2OC，A、B點(diǎn)即為A、B點(diǎn)，長(zhǎng)度不變已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得，所以O(shè)Caa，所以原三角形ABC的高OCa，所以SABCaaa2.本例若

11、改為“已知ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求其直觀圖ABC的面積，”應(yīng)如何求？解：由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，直觀圖ABC一底邊上的高為aa，故其面積SABCaaa2. 平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個(gè)關(guān)系按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：S直觀圖S原圖形，S原圖形2S直觀圖記住上述關(guān)系，解題時(shí)能起到事半功倍的作用3如圖，矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA6 cm，OC2 cm，則原圖形是()A正方形B矩形C菱形 D一般的平行四邊形解析：選C將直觀圖還原得OABC，則ODOC2(cm)，OD2OD4(cm)，CDOC2(cm)，CD2 (cm)，

12、OC6 (cm)，OAOA6(cm)OC，故原圖形為菱形1種數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化與化歸思想利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決棱臺(tái)、圓臺(tái)的有關(guān)問(wèn)題由棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義可知棱臺(tái)和圓臺(tái)是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺(tái)和圓臺(tái)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，常“還臺(tái)為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想1個(gè)疑難點(diǎn)三視圖的還原問(wèn)題由三視圖還原幾何體是解答三視圖問(wèn)題的重要手段和方法，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決：3個(gè)注意事項(xiàng)畫三視圖應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題(1)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法(2)確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的

13、三視圖也不同(3)觀察簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置3個(gè)“變”與“不變”斜二測(cè)畫法的要求“三變”“三不變”易誤警示三視圖識(shí)圖中的易誤辨析典例(2012陜西高考)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析側(cè)視圖中能夠看到線段AD1，應(yīng)為實(shí)線，而看不到B1C，應(yīng)畫為虛線由于AD1與B1C不平行，投影為相交線，故應(yīng)選B.答案B1因?qū)θ晥D的原理認(rèn)識(shí)不到位，區(qū)分不清選項(xiàng)A和B，而易誤選A.2因?qū)θ晥D的畫法要求不明而誤選C或D.在畫三視圖時(shí)，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫，被遮住的部分的輪廓線為虛線3解答此

14、類問(wèn)題時(shí)，還易出現(xiàn)畫三視圖時(shí)對(duì)個(gè)別視圖表達(dá)不準(zhǔn)而不能畫出所要求的視圖在復(fù)習(xí)時(shí)要明確三視圖的含義，掌握“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的要求若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()解析：選B由正視圖與俯視圖可以將選項(xiàng)A、C排除；根據(jù)側(cè)視圖，可以將D排除，注意正視圖與俯視圖中的實(shí)線一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2012福建高考)一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是()A球B三棱錐C正方體 D圓柱解析：選D圓柱的三視圖，分別是矩形，圓，不可能三個(gè)視圖都一樣，而球的三視圖可以都是圓，三棱錐的三視圖可以都是三角形，正方體的三視圖可以都是正方

15、形2(2013西城模擬)有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)()A棱臺(tái) B棱錐C棱柱 D都不對(duì)解析：選A從俯視圖來(lái)看，上、下底面都是正方形，但大小不一樣，可以判斷是棱臺(tái)3一梯形的直觀圖是一個(gè)如右圖所示的等腰梯形，且該梯形的面積為，則原梯形的面積為()A2 B.C2 D4解析：選D直觀圖為等腰梯形，若上底設(shè)為x，高設(shè)為y，則S直觀圖y(x2yx)，而原梯形為直角梯形，其面積S2y(x2yx)24.4一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為()解析：選C由正視圖和側(cè)視圖可知，該長(zhǎng)方體挖掉一個(gè)小長(zhǎng)方體后，相應(yīng)位置在俯視圖中應(yīng)為左下角位置，且

16、可看見(jiàn)輪廓線，故選C.5一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是()解析：選C若俯視圖是等邊三角形且為圖中的位置，則正視圖是等腰三角形，且高線是實(shí)線，故選C.6一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖的面積等于8，俯視圖是一個(gè)面積為4的正三角形，則其側(cè)視圖的面積為()A4B8C8 D4解析：選A由三視圖知該幾何體是正三棱柱，設(shè)其底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則其正視圖為矩形，矩形的面積S1ah8，俯視圖為邊長(zhǎng)為a的正三角形，三角形的面積S2a24，則a4，h2，而側(cè)視圖為矩形，底邊為a，高為h，故側(cè)視圖的面積為Sah4.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7以

17、下四個(gè)命題：正棱錐的所有側(cè)棱相等；直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形；圓柱的母線垂直于底面；用經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，所得的截面一定是全等的等腰三角形其中，真命題的序號(hào)為_(kāi)解析：均正確，對(duì)，直棱柱的側(cè)面都是矩形而不一定全等，錯(cuò)誤答案：8一個(gè)幾何體是由若干個(gè)相同的小正方體組成的，其正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體最多可由_個(gè)這樣的小正方體組成解析：依題意可知這個(gè)幾何體最多可由92213個(gè)這樣的小正方體組成答案：139正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)均為，其正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則正視圖的周長(zhǎng)為_(kāi)解析：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面PEF，其中E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接AO，易得

18、AO，而PA，于是解得PO1，所以PE，故其正視圖的周長(zhǎng)為22.答案：22三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為116，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3 cm，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)解：抓住軸截面，利用相似比，由底面積之比為116，設(shè)半徑分別為r、4r.設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、4r.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，解得l9.所以，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9 cm.11已知：圖是截去一個(gè)角的長(zhǎng)方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖是某幾何體的三視圖，試說(shuō)明該幾何體的構(gòu)成解：圖幾何體的三視圖為：圖所示的幾何體是上面為正六棱柱、下面為倒立的正六棱錐的組合體12如圖所示的三幅圖中，圖(1)所示的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖如圖(2)(3)所示(單位：cm)(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的數(shù)據(jù)，求該多面體的體積解：(1)如圖(2)所求多面體的體積VV長(zhǎng)方體V正三棱錐4462(cm3)1給出下列命題：在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，