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,上節(jié)我們討論了冪級(jí)數(shù),在收斂區(qū)間內(nèi)，冪級(jí)數(shù)表示,一個(gè)函數(shù)(即其和函數(shù))。,本節(jié)討論相反的問(wèn)題：將一個(gè)函數(shù)表示成冪級(jí)數(shù)，稱(chēng)為,函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，相應(yīng)的冪級(jí)數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。,函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),一、泰勒公式,定理 1 (泰勒中值定理),則對(duì)該領(lǐng)域內(nèi)任一點(diǎn)x,有,稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng)。,即拉格朗日公式，由此可見(jiàn)，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的進(jìn)一步推廣。,上述公式稱(chēng)為f(x)在 處的n階泰勒公式。若n=0，則得,證明,必要性,充分性,當(dāng) 時(shí)，泰勒公式也稱(chēng)為麥克勞林公式，即,二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),1.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法),步驟:,例5,解,由于M的任意性,即得,例6,解,練習(xí)1,解,兩邊積分,得,即,牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式,注意:,雙階乘,2.間接法,根據(jù)唯一性, 利用常見(jiàn)展開(kāi)式, 通過(guò)變量代換, 四則運(yùn)算, 恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分等方法,求展開(kāi)式.,例7,例8 將 展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).,例9 將 分別展開(kāi)成 x 的及 x1 的冪級(jí)數(shù),練習(xí),解,利用函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)證明,三、小結(jié),1.如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù);,2.泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件;,3.函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法.,常用的麥克勞林展開(kāi)式,思考題,什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)法？,思考題解答,從已知的展開(kāi)式出發(fā), 通過(guò)變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法

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