1、章末復(fù)習(xí)課,第一章計(jì)數(shù)原理,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，會(huì)利用兩種原理解決一些實(shí)際問題. 2.理解排列數(shù)和組合數(shù)公式的推導(dǎo)過程，掌握排列組合在實(shí)際問題中的應(yīng)用. 3.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì).,題型探究,知識(shí)梳理,內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,知識(shí)梳理,1.分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類方案中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有N 種方法. 2.分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事需要n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法，那么，完成這件事共有N 種方法.

2、,m1m2mn,m1m2mn,3.排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì),(nm1),1,4.二項(xiàng)式定理 (1)二項(xiàng)式定理的內(nèi)容： (ab)n . (3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)： 與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.,題型探究,命題角度1分類討論思想,類型一數(shù)學(xué)思想方法在求解計(jì)數(shù)問題中的應(yīng)用,例1有12名劃船運(yùn)動(dòng)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，其余5人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷，現(xiàn)在要從這12名運(yùn)動(dòng)員中選出6人平均分在左、右舷劃船參加比賽，則有多少種不同的選法.,解答,解分四類 第一類：3個(gè)只會(huì)左舷的人全不選，有 200(種)； 第二類：3個(gè)只會(huì)劃左舷的人中只選1人，有 1 050(種)； 第三類：3個(gè)只會(huì)劃

3、左舷的人中只選2人，有 840(種)； 第四類：3個(gè)只會(huì)劃左舷的人全選，有 84(種)， 所以共有2001 050840842 174(種)選法.,反思與感悟,解含有約束條件的排列、組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類時(shí)需要滿足兩個(gè)條件：(1)類與類之間要互斥(保證不重復(fù))；(2)總數(shù)要完備(保證不遺漏).,跟蹤訓(xùn)練1從1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中若有1和3時(shí)，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個(gè)時(shí)，它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有_個(gè).(用數(shù)字作答),解析1與3是特殊元素，以此為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類. 分三類：沒有數(shù)字1和3時(shí)，有

4、 個(gè)； 只有1和3中的一個(gè)時(shí)，有 個(gè)； 同時(shí)有1和3時(shí)，把3排在1的前面，再?gòu)钠溆?個(gè)數(shù)字中選1個(gè)數(shù)字插入3個(gè)空當(dāng)中的1個(gè)即可，有 個(gè).,解析,答案,60,命題角度2“正難則反”思想,例2設(shè)集合S1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合Aa1，a2，a3是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1a2a3，a3a26，那么滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為 A.78 B.76 C.83 D.84,解析,答案,解析若從正面考慮，需分當(dāng)a39時(shí)，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6類； 當(dāng)a38時(shí)，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6類； ，分類較多，而其對(duì)立面a3a26包含的情況較少，當(dāng)a39時(shí)，a2取2，

5、a1取1，只有這一種情況，利用正難則反思想解決. 集合S的含有三個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為 84.在這些含有三個(gè)元素的子集中能滿足a16的集合只有1,2,9，故滿足題意的集合A的個(gè)數(shù)為84183.,反思與感悟,對(duì)于正面處理較復(fù)雜或不易求解的問題，常常從問題的對(duì)立面去思考.,跟蹤訓(xùn)練2由甲、乙、丙、丁4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、寫作、英語(yǔ)三科競(jìng)賽，每科至少1人(且每人僅報(bào)一科)，若學(xué)生甲、乙不能同時(shí)參加同一競(jìng)賽，則不同的參賽方案共有_種.,解析,答案,解析從4人中選出兩個(gè)人作為一個(gè)元素有 種方法， 同其他兩個(gè)元素在三個(gè)位置上排列有 36(種)方案，其中有不符合條件的， 即學(xué)生甲、乙同時(shí)參加同一競(jìng)賽有 種結(jié)果，

6、不同的參賽方案共有36630(種).,30,解答,類型二排列與組合的綜合應(yīng)用,例3在高三一班元旦晚會(huì)上，有6個(gè)演唱節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目. (1)當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？,解第一步先將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個(gè)節(jié)目，與6個(gè)演唱節(jié)目一起排，有 5 040(種)方法；第二步再松綁，給4個(gè)節(jié)目排序，有 24(種)方法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有5 04024120 960(種)安排順序.,(2)當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？,解答,解第一步將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“”)，一共有 720(種)方法. 第二步再將

7、4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)演唱節(jié)目中間，這樣相當(dāng)于7個(gè)“”選4個(gè)來排，一共有 840(種)方法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有720840 604 800(種)安排順序.,(3)若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩(shī)朗誦和快板2個(gè)節(jié)目，但不能改變?cè)瓉砉?jié)目的相對(duì)順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？,解答,解若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有 種排法， 但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除， 所以節(jié)目演出的方式有 132(種)排列.,排列與組合的綜合問題，首先要分清何時(shí)為排列，何時(shí)為組合.對(duì)含有特殊元素的排列、組合問題，一般先進(jìn)行組合，再進(jìn)行排列.對(duì)特殊元素的位置有要求時(shí)，在組合選取時(shí)，就要進(jìn)行

8、分類討論，分類的原則是不重、不漏.在用間接法計(jì)數(shù)時(shí)，要注意考慮全面，排除干凈.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練3有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門學(xué)科的課代表，分別求符合下列條件的選法數(shù). (1)有女生但人數(shù)必須少于男生： (2)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文課代表；,解答,解除去該女生后，即相當(dāng)于剩余的7名學(xué)生選4名擔(dān)任4門學(xué)科的課代表，有 840(種)選法.,(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表； (4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表.,解答,于是有理項(xiàng)為T1x5和T713 440.,解答,類型三二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用,命題角度1二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題,例4已

9、知在 的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是563. (1)求展開式中的所有有理項(xiàng)；,3,3,(2)求展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；,解答,又因?yàn)閞1,2,3，9，所以r7，,又因?yàn)楫?dāng)r0時(shí)，T1x5，,解答,(1)確定二項(xiàng)式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項(xiàng)式中的有關(guān)元素. (2)確定二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)：先寫出其通項(xiàng)公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式，即可確定常數(shù)項(xiàng). (3)求二項(xiàng)展開式中條件項(xiàng)的系數(shù)：先寫出其通項(xiàng)公式，再由條件確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式求出此項(xiàng)的系數(shù). (4)求二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和差：賦值代入. (5)確定二項(xiàng)

10、展開式中的系數(shù)最大或最小項(xiàng)：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練4已知 的展開式的倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為45. (1)求含有x3的項(xiàng)；,解答,(2)求系數(shù)最大的項(xiàng).,解答,解令x1，代入已知式可得， a0a1a2a100， 而令x0，得a032，a1a2a1032.,解(x23x2)5(x1)5(x2)5， a2是展開式中x2的系數(shù)，,解答,命題角度2二項(xiàng)展開式的“賦值”問題,例5若(x23x2)5a0a1xa2x2a10 x10. (1)求a2；,(2)求a1a2a10；,(3)求(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)2.,解令x1可得， (a0a2a4a10)(a1a3a7a9)

11、65， 再由(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)0， 把這兩個(gè)等式相乘可得， (a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)26500.,解答,與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時(shí)賦值后得到的式子比所求式子多一項(xiàng)或少一項(xiàng)，此時(shí)要專門求出這一項(xiàng)，而在求奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和時(shí)，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練5若(x21)(x3)9a0a1(x2)a2(x2

12、)2a3(x2)3a11(x2)11，則a1a2a3a11的值為_.,解析,答案,解析令x2，得a0(221)(23)95， 令x3，則a0a1a2a3a11(321)(33)90， 所以a1a2a3a11a05.,5,當(dāng)堂訓(xùn)練,解析分兩類： 第一類：有3名被錄用，有 24(種)， 第二類，4名都被錄用，則有一家企業(yè)錄用2名， 有 36(種). 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有243660(種).,2,3,4,5,1,1.4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有 A.24種 B.36種 C.48種 D.60種,解析,答案,2,3,4,5,1,2.

13、已知關(guān)于x的二項(xiàng)式 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則a的值為 A.1 B.1 C.2 D.2,答案,解析,解析由條件知2n32，即n5，,令155r0，得k3，,3,3,2,3,4,5,1,3.某校一社團(tuán)共有10名成員，從周一到周五每天安排兩人值日.若甲、乙必須排在同一天，且丙、丁不能排在同一天，則不同的安排方案有 A.21 600種 B.10 800種 C.7 200種 D.5 400種,答案,解析,2,3,4,5,1,解析,解析令x1，得a0a1a2a1236， 令x1得a0a1a2a3a121， 得a0a2a4a12 ， 令x0，得a01， a2a4a12364.,4.若(

14、1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，則a2a4a12_.,答案,364,5.航天員擬在太空授課，準(zhǔn)備進(jìn)行標(biāo)號(hào)為0,1,2,3,4,5的六項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，向全世界人民普及太空知識(shí)，其中0號(hào)實(shí)驗(yàn)不能放在第一項(xiàng)，最后一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)小于它前面相鄰一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法種數(shù)為_.(用數(shù)字作答),答案,解析,解析由于0號(hào)實(shí)驗(yàn)不能放在第一項(xiàng)，所以第一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)有5種選擇.因?yàn)樽詈髢身?xiàng)實(shí)驗(yàn)的順序確定，所以共有 300(種)不同的編排方法.,2,3,4,5,1,300,規(guī)律與方法,1.排列與組合 (1)排列與組合的區(qū)別在于排列是有序的，而組合是無序的. (2)排列問題通常分為無限制條件和有限制條件，對(duì)于有限制條件的排列問題的考慮途徑 元素分析法：先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素. 位置分析法：先考慮特殊位置的要