1、埃舍爾,埃舍爾,de,數(shù)學(xué)藝術(shù)欣賞,介 紹 埃舍爾把自己稱為一個(gè)圖形藝術(shù)家，他專門從事于木版畫和平版畫。1898年他出生在荷蘭的 Leeuwarden，全名叫 Maurits Cornelis Escher。他的家庭設(shè)想他將來(lái)能跟隨他的父親從事建筑事業(yè)，但是他在學(xué)校里那可憐的成績(jī)以及對(duì)于繪畫和設(shè)計(jì)的偏愛(ài)最終使得他從事圖形藝術(shù)的職業(yè)。他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他舉辦了他的第一次重要的畫展, 這個(gè)畫展得到了時(shí)代雜志的好評(píng), 并且獲得了世界范圍的名望。在他的最熱情的贊美者之中不乏許多數(shù)學(xué)家, 他們認(rèn)為在他的作品中數(shù)學(xué)的原則和思想得到了非同尋常的形象化。因?yàn)檫@個(gè)荷蘭的藝術(shù)家沒(méi)有受過(guò)中

2、學(xué)以外的正式的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，因而這一點(diǎn)尤其令人贊嘆。隨著他的創(chuàng)作的發(fā)展，他從他讀到的數(shù)學(xué)的思想中獲得了巨大靈感，他工作中經(jīng)常直接用平面幾何和射影幾何的結(jié)構(gòu)，這使他的作品深刻地反映了非歐幾里德幾何學(xué)的精髓，下面我們將看到這一點(diǎn)。他也被悖論和不可能的圖形結(jié)構(gòu)所迷住，并且使用了羅杰彭羅斯的一個(gè)想法發(fā)展了許多吸引人的藝術(shù)成果。這樣, 對(duì)于學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生，埃舍爾的工作圍繞了兩個(gè)廣闊的區(qū)域：空間幾何學(xué)和我們或許可以叫做的空間邏輯學(xué)。,鑲嵌圖形 規(guī)則的平面分割叫做鑲嵌，鑲嵌圖形是完全沒(méi)有重疊并且沒(méi)有空隙的封閉圖形的排列。一般來(lái)說(shuō), 構(gòu)成一個(gè)鑲嵌圖形的基本單元是多邊形或類似的常規(guī)形狀, 例如經(jīng)常在地板上使用的方瓦。

3、然而, 埃舍爾被每種鑲嵌圖形迷住了，不論是常規(guī)的還是不規(guī)則的; 并且對(duì)一種他稱為metamorphoses（變形）的形狀特別感興趣，這其中的圖形相互變化影響，并且有時(shí)突破平面的自由。他的興趣是從1936年開(kāi)始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了當(dāng)?shù)厥褂玫耐叩膱D案。他花了好幾天勾畫這些瓦面，過(guò)后宣稱這些 是我所遇到的最豐富的靈感資源，1957年他寫了一篇關(guān)于鑲嵌圖形的文章，其中評(píng)論道：在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，規(guī)則的平面分割已從理論上研究過(guò)了. . . ，難道這意味著它只是一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)的問(wèn)題嗎？按照我的意見(jiàn), 它不是。數(shù)學(xué)家們打開(kāi)了通向一個(gè)廣闊領(lǐng)域的大門，但是他們自己卻從未進(jìn)入該領(lǐng)域。從他們

4、的天性來(lái)看他們更感興趣的是打開(kāi)這扇門的方式，而不是門后面的花園。 無(wú)論這對(duì)數(shù)學(xué)家是否公平, 有一點(diǎn)是真實(shí)的-他們指出了在所有的常規(guī)的多邊形中，僅僅三角形，正方形，和正六邊形能被用于鑲嵌。但許多其他不規(guī)則多邊形平鋪后也能形成鑲嵌，例如有許多鑲嵌就使用了不規(guī)則的五角星形狀。埃舍爾在他的鑲嵌圖形中利用了這些基本的圖案，他用幾何學(xué)中的反射、平滑反射、變換和旋轉(zhuǎn)來(lái)獲得更多的變化圖案。他也精心地使這些基本圖案扭曲變形為動(dòng)物、鳥和其他的形狀。這些改變不得不通過(guò)三次、四次甚至六次的對(duì)稱以便得到鑲嵌圖形。這樣做的效果既是驚人的，又是美麗的。 在 蜥蜴里，鑲嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃離二維平面的束縛到桌面放風(fēng), 然后又

5、重新陷入原來(lái)的圖案。埃舍爾在許多六邊形的鑲嵌圖形中使用了這個(gè)圖案模式。在 逐步展開(kāi)1 中，可以追溯到這個(gè)方形的鑲嵌圖形從邊緣到中間的不斷扭曲轉(zhuǎn)化。,在 蜥蜴里，鑲嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃離二維平面的束縛到桌面放風(fēng), 然后又重新陷入原來(lái)的圖案。埃舍爾在許多六邊形的鑲嵌圖形中使用了這個(gè)圖案模式。,在 逐步展開(kāi)1 中，可以追溯到這個(gè)方形的鑲嵌圖形從邊緣到中間的不斷扭曲轉(zhuǎn)化。,循環(huán),鳥分割的平面,規(guī)則的幾何體, 例如多面體，對(duì)埃舍爾而言具有特殊的魅力。他把它們作為許多作品的主題，并且在許多作品中作為第二重要的元素出現(xiàn)。僅僅只有五種多面體被稱為理想的多面體。四面體有四個(gè)三角形的表面；正方體有六個(gè)正方形的表面

6、；八面體有八個(gè)三角形的表面；十二面體有十二個(gè)五邊形的表面；而二十面體有二十個(gè)三角形的表面。在木版畫四個(gè)常規(guī)的幾何體中，埃舍爾把理想多面體中的四個(gè)勻稱地交叉了，并且使它們呈半透明狀以便每個(gè)都可以透過(guò)其它得以辨認(rèn)，請(qǐng)看漏了哪個(gè)？,多面體,有許多有趣的幾何體可以通過(guò)理想幾何體的交叉和星形化來(lái)獲得，即幾何體的每一面都由表面為三角形的金字塔形來(lái)替代，通過(guò)這種變換，多面體轉(zhuǎn)變成了一個(gè)尖銳的, 三維的星形幾何體。在埃舍爾的作品有序和無(wú)序中我們可以發(fā)現(xiàn).一個(gè)美麗的星形十二面體，星形的輪廓隱現(xiàn)在一個(gè)水晶球中，嚴(yán)謹(jǐn)構(gòu)造的美麗與在桌子上混亂擺放的其他的雜物形成了鮮明的對(duì)比。注意一下還可以猜測(cè)到光的來(lái)源，球面上反射出

7、左上方有一個(gè)明亮的窗口。,交叉的幾何體也常常出現(xiàn)在埃舍爾的作品中, 其中最有趣的是一幅木版畫星。這是一個(gè)由八面體、四面體、立方體和其他東西交叉構(gòu)成的幾何體，我們不妨這樣認(rèn)為，如果埃舍爾簡(jiǎn)單地畫一些數(shù)學(xué)的形狀并且把它們放在一起，我們也許永遠(yuǎn)不可能聽(tīng)說(shuō)他或他的作品。相反, 通過(guò)將變色龍放置在多面體內(nèi)并向我們嘲笑和恐嚇的構(gòu)思，埃舍爾給了我們一種奇異的視覺(jué)刺激，使我們對(duì)他的畫刮目相看。顯然，數(shù)學(xué)家們對(duì)埃舍爾的作品頗為贊賞的另外的原因就是所有偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)背后都具有與此相同的感性和創(chuàng)意。,空間的形狀,在埃舍爾用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)完成的所有重要的作品中，最重要是處理空間性質(zhì)的那些。他的木版畫三個(gè)方向交叉的平面是評(píng)論

8、這些作品的好例子, 因?yàn)樗@示了藝術(shù)家對(duì)空間維度的關(guān)心，以及用二維的方式表現(xiàn)三維的能力。,受一位名叫H.S.M Coxeter的數(shù)學(xué)家在一本書中繪畫的啟發(fā), 埃舍爾創(chuàng)造了許多美麗的雙曲線空間的作品，例如木版畫圓形限制III。這是非歐幾里德幾何學(xué)的二種空間之一，在埃舍爾的作品中它的原型實(shí)際上源自法國(guó)數(shù)學(xué)家Poincar。要得到這個(gè)空間的感覺(jué)，必須想象你實(shí)際上是在圖像的內(nèi)部。當(dāng)你從它的中心走向圖像的邊緣，你會(huì)象圖像里的魚一樣縮小, 從而到達(dá)你移動(dòng)后實(shí)際的位置，這似乎是無(wú)限度的，而實(shí)際上你仍然在這個(gè)雙曲線空間的內(nèi)部，你必須走無(wú),限的距離才能到達(dá)歐幾里德空間的邊緣，這一點(diǎn)確實(shí)不是顯而易見(jiàn)的。然而, 如

9、果你能仔細(xì)觀察 的話，你還可以注意到一些其他的事情, 例如所有類似的三角形都一樣大小，以及你能畫沒(méi)有直邊卻有四個(gè)直角的圖形，這就是說(shuō)，這個(gè)空間沒(méi)有任何正方形或矩形。這確實(shí)是一個(gè)奇怪的地方！,更不平常的是木版畫蛇所表現(xiàn)的空間，在纏繞和縮小的環(huán)的表現(xiàn)下，空間既向邊界也向中心延伸并且無(wú)窮無(wú)盡。如果你在這一空間里，你將是什么模樣？,除了歐幾里德幾何學(xué)和非歐幾里德幾何學(xué)，埃舍爾對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的視覺(jué)效果也很感興趣, 拓?fù)鋵W(xué)是在他藝術(shù)創(chuàng)作的鼎盛期發(fā)展起來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。拓?fù)鋵W(xué)關(guān)注空間那些扭曲后依然不變的性質(zhì)，這種扭曲可以是拉長(zhǎng)或彎曲，但不是撕裂或折斷。拓?fù)鋵W(xué)家們忙于向世界展示那些奇怪的物體，莫比烏斯帶也許是最主要

10、的例子，埃舍爾利用它創(chuàng)作了許多作品。它有一個(gè)令人感興趣的性質(zhì)-它只有一條邊和一個(gè)面。這樣, 如果你在 莫比烏斯帶II上跟蹤螞蟻的路徑, 你將發(fā)現(xiàn)它們不是在相反的面上走，而是都走在一個(gè)面上。制作一個(gè)莫比烏斯帶很容易; 只要用剪刀把紙剪成條狀，將它扭曲180度, 然后用膠水或膠帶粘住兩頭就可以了。如果你試圖把這條東西縱向的剪成兩半，請(qǐng)你預(yù)想一下會(huì)發(fā)生什么情況？,另外一幅很著名的平版畫, 叫做藝術(shù)畫廊，它探索了空間邏輯與拓?fù)涞男再|(zhì)。一個(gè)年輕人在一個(gè)藝術(shù)畫廊正看著海邊小鎮(zhèn)的一角，在船塢邊有一家小店，在店里面是一個(gè)藝術(shù)畫廊及一個(gè)年輕人-他正朝著海邊小鎮(zhèn)的一角望去. . . 但是等一下！發(fā)生了什么？埃舍爾

11、的所有作品都值得細(xì)細(xì)觀賞，但是這一次尤其特別。某種程度上, 埃舍爾把空間由二維變成了三維, 使人感覺(jué)到那個(gè)年輕人同時(shí)既在畫像內(nèi)又在畫像外面。,達(dá)到這樣效果的秘密在藝術(shù)家創(chuàng)作這幅平版畫的格子草圖中有所顯現(xiàn)注意格子的邊框連續(xù)地按順時(shí)針?lè)较蚺帕羞@一規(guī)律，并且特別注意這個(gè)技巧的關(guān)鍵：在中間的一個(gè)洞。一個(gè)數(shù)學(xué)家將這叫做奇異點(diǎn)，一個(gè)空間的結(jié)構(gòu)不再保持完整的地方，要將整個(gè)空間編織成一個(gè)無(wú)洞的整體是非常困難的，埃舍爾也寧可保持這種現(xiàn)狀，并且把他的商標(biāo)initials放在了奇異點(diǎn)的中心。,空間的邏輯,這里所說(shuō)的空間的邏輯是指物理中的物體之間的那些空間的必要的關(guān)系,在產(chǎn)生違背視覺(jué)的悖論時(shí)，被叫做視錯(cuò)覺(jué)。所有的藝術(shù)

12、家都關(guān)心空間的邏輯，而且許多藝術(shù)家深入地探索了它的規(guī)律，例如畢加索。埃舍爾知道：立體幾何學(xué)決定了空間的邏輯，同樣地，空間的邏輯也經(jīng)常決定其自身的立體幾何學(xué)。他經(jīng)常使用的空間邏輯的特征之一是展示在凹面和凸面物體上的光和陰影。在平版畫有帶子的立方體中，帶子上的凹凸是我們覺(jué)察它們?cè)鯓优c立方體纏繞在一起的視覺(jué)線索。然而, 如果我們相信我們的眼睛，那么我們不能相信這帶子！,埃舍爾關(guān)心的另一個(gè)主要方面是透視。在任何透視畫中，趨向消失的點(diǎn)被選擇用來(lái)代表無(wú)窮遠(yuǎn)。正是由于Alberti、Desargues以及其他一些人在文藝復(fù)興時(shí)期對(duì)透視和趨向無(wú)限的點(diǎn)的研究直接導(dǎo)致了現(xiàn)代射影幾何學(xué)的出現(xiàn)。 通過(guò)一些不平常地消失

13、的點(diǎn)的引導(dǎo)并迫使一幅作品的基本元素去服從于它們，埃舍爾能夠使作品上和下、高和低表現(xiàn)的場(chǎng)景取決于觀眾觀察它的目光如何。在他的名為高和低的透視作品中，藝術(shù)家總共設(shè)置了五個(gè)消失點(diǎn)：上方的左邊和右邊，底部的左方和右邊，以及中心。其結(jié)果是：在作品的下半部觀眾是在往上看, 但是在作品的上半部，觀眾是在朝下看。為了強(qiáng)調(diào)他所取得的成功，埃舍爾把上半部和下半部合成了一幅完整的作品。,這種另類的不可能的繪畫用二維的圖形表示并構(gòu)造一個(gè)三維的物體，它們主要依靠人的大腦通過(guò)視覺(jué)暗示來(lái)理解，埃舍爾創(chuàng)作了許多這種表現(xiàn)反常規(guī)圖形的作品。其中最吸引人的一個(gè)創(chuàng)意源于一個(gè)叫羅杰彭羅斯的數(shù)學(xué)家所提出的不可能的三角形。,在這幅名叫瀑布

14、的平版畫中，兩個(gè)彭羅斯三角形被結(jié)合成一個(gè)不可能的形狀。一個(gè)人如果明白空間的邏輯對(duì)如此的一個(gè)構(gòu)造就必然會(huì)覺(jué)得不可思議：瀑布是一個(gè)封閉系統(tǒng), 但它卻能使作坊車輪象一臺(tái)永動(dòng)機(jī)一樣連續(xù)地轉(zhuǎn)動(dòng)，這就違背了能量守衡的定律。（請(qǐng)注意一下在塔上交叉的立方體和八面體。）,自我復(fù)制和信息科學(xué),我們對(duì)埃舍爾的藝術(shù)所作的最后研究包括了其藝術(shù)與信息科學(xué)、人工智能的關(guān)系，這在先前的研究中被忽略了，但是這一點(diǎn)的重要性被道格拉斯R霍夫施塔特細(xì)心的發(fā)現(xiàn)了，并寫在他贏得1980普利策獎(jiǎng)的Gdel，Escher，Bach ：一條永恒的金帶一書中。埃舍爾表現(xiàn)的一個(gè)核心概念是自我復(fù)制-這被許多人認(rèn)為已經(jīng)逼近了大腦知覺(jué)這個(gè)難題的核心，并

15、且至今計(jì)算機(jī)還不具備成功地模仿人類大腦處理信息能力。平版畫 互繪的雙手和木版畫魚和規(guī)模用不同的方法表現(xiàn)了這個(gè)思想。前者的自我復(fù)制是直接的，概念化的。雙手互繪對(duì)方，互繪的方式就是意識(shí)思考和構(gòu)建自己的方式，神奇的是，在這里自我和自我復(fù)制是連結(jié)在一起的，也是相互同等的。,另一方面, 在魚和規(guī)模這幅畫中，自我復(fù)制具有更大的功能; 人們也許寧愿稱之為自我相似。這樣木板畫描述的就不僅是魚，而是所有的有機(jī)體。因?yàn)椋M管從物理角度來(lái)說(shuō)，我們不是由微小的自我復(fù)制建造起來(lái)的, 但是，從信息理論角度說(shuō)，我們的確是以這樣一種方式建立起來(lái)的，因?yàn)槲覀兩眢w上的每一個(gè)細(xì)胞都以DNA的形式攜帶了我們個(gè)體的完整信息。,在更深層次的水平上，自我復(fù)制是一種我們的認(rèn)知世界互