1、在我們了解了電子在晶體周期勢場中運動的本征態(tài)和本征能量之后，就可以開始研究晶體中電子運動的具體問題了，由于周期勢場的作用，晶體中的電子的本征能量和本征函數(shù)都已不同于自由電子，因而在外場中的行為也完全不同于自由電子，我們稱之為 Bloch 電子。首先分析一下它和自由電子的區(qū)別及其一般特征。,一. Bloch 電子的準經(jīng)典描述 波包與電子速度 電子的準動量 電子的加速度和有效質(zhì)量,見黃昆書5.1節(jié)p237,第七篇 晶體中電子的運動特征,一. Bloch 電子的準經(jīng)典描述：,當外加場（電場、磁場等）施加到晶體上時，晶體中的電子不只是感受到外場的作用，而且還同時感受著晶體周期場的作用。通常情況下，外場

2、要比晶體周期勢場弱得多。因為晶體周期場強度一般相當于 108 V/cm。而外電場是難以達到這個強度的。因此，晶體中的電子在外場中的運動必須在周期場本征態(tài)的基礎上進行討論。采用的方法有兩種： 求解含外場的單電子波動方程。 或者是在一定條件下，把晶體中電子在外場中的運動 當作準經(jīng)典粒子來處理。,通常情況下求解含外場的波動方程，但只能近似求解。,含外場的波動方程,外場較弱且恒定。 不考慮電子在不同能帶間的躍遷。 不考慮電子的衍射、干涉及碰撞。,另一種方法是在：,等條件下把晶體中電子在外場中的運動當作準經(jīng)典粒子 來處理。這種方法圖像清晰，運算簡單，我們樂于采用。,經(jīng)典粒子同時具有確定的能量和動量，但服

3、從量子力學 運動規(guī)律的微觀粒子是不可能的，如果一個量子態(tài)的經(jīng)典描 述近似成立，則在量子力學中這個態(tài)就要用一個“波包”來代 表，所謂波包是指該粒子（例如電子）空間分布在 r0 附近的 r 范圍內(nèi)，動量取值在 附近的 范圍內(nèi)， 滿 足測不準關系。把波包中心 r0 看作該粒子的位置，把 看 作該粒子的動量。 晶體中的電子，可以用其本征函數(shù) Bloch波組成波包， 從而當作準經(jīng)典粒子來處理。,二. 波包與電子速度：,在晶體中，電子的準經(jīng)典運動可以用 Bloch 函數(shù)組成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征態(tài)，因此，必須用含時間因子的Bloch 函數(shù)。 首先考慮于一維情況。設波包由以 k0為中心，在

4、 k 的范圍內(nèi)的波函數(shù)組成，并假設 k 很小，可近似認為,不隨 k 而變。,對于一確定的 k ，含時間的Bloch函數(shù)為,把與 k0 相鄰近的各 k 狀態(tài)疊加起來就可以組成與量子態(tài) k0 相對應的波包：,波包,令,為分析波包的運動，只需分析 2，即幾率分布即可。,令,0,波函數(shù)集中在尺度為 的范圍內(nèi)， 波包中心為：w0。,有,若將波包看成一個準粒子，則粒子的速度為,布里淵區(qū)的寬度：2/a ，而假設 k 很小，一般要求,即,推廣到三維情況，電子速度為,注意，這里給出了把 Bloch 波當作準經(jīng)典粒子處理的條件。 由于Bloch 波有色散，一個穩(wěn)定的波包所包含的波矢范圍k 應是一個很小的量。Blo

5、ch 波有獨立物理意義的波矢被限制 在第一布里淵區(qū)內(nèi)， 因為測不準關系,這表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶體中電子的 運動就可以用波包的運動規(guī)律來描述。對于輸運現(xiàn)象，只有 當電子平均自由程遠大于原胞尺寸的情況下，才可以把晶體 中的電子當作準經(jīng)典粒子，波包移動的速度（群速度）等于 處于波包中心處粒子所具有的平均速度。,附錄：更簡明的說明： 量子力學告訴我們，晶體中處于 狀態(tài)的電子，在經(jīng) 典近似下，其平均速度相當于以 k0為中心的波包速度，而 波包的傳播速度是群速度： 量子力學中的德布羅意關系： 所以電子的平均速度：,考慮到不同能帶的電子，晶體中電子速度的一般表述：,這個公式表達了一個非常

6、重要的事實，那就是： 晶體中電子的平均速度只與能量和波矢有關，對時間和空間而言，它是常數(shù)，因此平均速度將永遠保持不變而不衰減。也就是說可以一直流動下去而不衰減。這意味著：電子不會被靜止的原子所散射，嚴格周期性晶體的電阻率為零。 這一點和自由電子論中離子是作為散射中心對電子產(chǎn)生散射而影響電子的平均（漂移）速度的概念完全不同。 下一節(jié)還將仔細分析這種情況。,換句話說：若電子處于一個確定的狀態(tài) 時，只要晶格的 周期性不變，則永遠處于這個態(tài)，因此，只要這種情況不變， 則電子將以同樣的速度在整個晶體中不斷運動，而不被任何晶 格所阻礙，即電子速度是一個常數(shù)，因為晶格對傳播速度的影 響，都已經(jīng)通過能量 包括

7、在內(nèi)了。 當然，晶格對周期性的偏離會引起電子的散射，使它的速 度發(fā)生變化，例如，電子在熱振動的晶格中運動，會和聲子多 次碰撞，對電子的速度產(chǎn)生極大影響；此外，外加電場和磁場 也會對電子運動速度帶來變化，以后將陸續(xù)討論到這些情況。,這個公式還表明：電子速度的方向為 k 空間中能量梯度的方向，即垂直于等能面。因此，電子的運動方向決定于等能面的形狀，在一般情況下，在 k 空間中，等能面并不是球面，因此，v 的方向一般并不是 k 的方向。下圖比較準確地反映了Bloch 電子的這一特點。,只有當?shù)饶苊鏋榍蛎?，或在某些特殊方向上，v 才與 k 的方 向相同。電子運動速度的大小與 k 的關系，以一維為例說明

8、 在能帶底和能帶頂，E(k)取極值，,因此，在能帶底和能帶頂，電子速度 v0。,E(k),v(k),而在能帶中的某處： 電子速度的數(shù)值最 大，這種情況與自由電子的速度總是隨能量的增加而單調(diào)上升是完全不同的。,上頁圖取自黃昆書圖 5-2，右圖表示的更準確，一維晶格的能帶結構（上圖）相應的電子速度（下圖），虛線表示自由電子的速度。,這種變化可用NEF模型來解釋：在區(qū)心處，電子可以用平面波描寫，因而速度成線性變化，但隨著k 值的增加，自由波受晶格散射波的影響越來越大，散射波對入射波的消弱越來越明顯，直到布里淵區(qū)邊界，強的Bragg反射使散射波和入射波相等，所以波速度為零。這個結果和一切幅射波在有周期

9、性的晶體中的傳播是一樣的。,三. 電子的準動量 ：,在外場中，電子所受的力為F，在 dt 時間內(nèi)，外場對電子所做的功為 Fv dt,根據(jù)功能原理，有,在平行于 v 的方向上，dk/dt 和 F 的分量相等；當 F 與速度 v 垂直時，不能用功能原理來討論電子能 量狀態(tài)的變化，但是我們?nèi)钥梢宰C明在垂直于速度 的方向上， dk/dt和外力F的分量也相等。,上式是電子在外場作用下運動狀態(tài)變化的基本公式， 具有與經(jīng)典力學中牛頓定律相似的形式。,k 是電子的準動量，準動量不是嚴格意義上的 Bloch 電子的動量，嚴格意義上的動量的變化率等于作用在 電子上面所有力的和，而準動量的變化率只是外場力 作用的結

10、果，這里沒有包括晶格勢場作用力。晶格勢 場的作用被包含在準動量中。,是Bloch 電子準動量的另一種說明：,對于自由電子， k=p 就是電子的動量。,對于晶體周期場中的電子用Bloch波描述，動量算符作用下：,這表明 Bloch波不是動量算符的本征函數(shù)。 在晶體周期場 中，k 是動量概念的擴展，稱為準動量或電子晶格動量。,四. 電子的加速度和有效質(zhì)量,晶體中電子運動的準經(jīng)典模型為，外場用經(jīng)典方式處理，晶體周期場用能帶論的處理，電子位置用 Bloch 波包的中心位置代替。 準經(jīng)典運動的基本關系式：,此外，假定能帶指標 n 是運動常數(shù)，即電子總是呆在同一能帶中，忽略電子在能帶之間的躍遷。,相當于牛

11、頓第二定律,從電子運動的基本關系式可以直接導出在外力作用下 電子的加速度。,1. 一維情況,引入電子的有效質(zhì)量：,由于周期場的作用，當把加速度在形式上寫成僅由外力引起的形式時，外力與加速度之間的關系顯然不是由電子的慣性質(zhì)量所聯(lián)系的，而必須引入一個有效質(zhì)量的概念，它計入了周期場的影響。,有,由于周期場中電子的能量 E(k) 與 k 的函數(shù)關系不是拋物線 關系，因此，電子的有效質(zhì)量不是常數(shù)， m*與 k 有關。 在能帶底，,E(k)取極小值，,這時，m*0；,E(k)取極大值，,所以，m*0 。,在能帶頂,2. 三維情況,其分量形式為,1, 2, 3,矩陣形式,與牛頓定律,相比可知，現(xiàn)在是用一個二

12、階,張量代替了,稱為倒有效質(zhì)量張量。由于微商可以交換順序，倒有效質(zhì)量張量是一個對稱張量。同時，晶體的點群對稱性也會使張量的獨立分量減少，對于各向同性晶體，它退化為一個標量。,由于倒有效質(zhì)量張量是對稱張量，如將 kx、ky、kz取為張量的主軸方向，就可將其對角化。,這時有,有效質(zhì)量的作用在于它概括了晶體內(nèi)部周期場作用（把這個作用用有效質(zhì)量代替），使我們能夠簡單地由外場力確定電子的加速度。 需要注意電子的加速度方向并不一定與外場力的方向一致，這是由倒有效質(zhì)量張量的性質(zhì)所決定的。 電子有效質(zhì)量常用電子比熱數(shù)據(jù)計算得到：,其中0為自由電子的比熱系數(shù)，exp為實驗值。,對于有些材料，這個比值可以很大，1

13、001000倍，即電子的有效質(zhì)量很大，稱為重費米子，相應材料稱為重費米子材料。這類材料對應于費米能級處非常高的態(tài)密度。這一點我們可以從自由電子氣比熱系數(shù)中看到N(EF),例如，1975年發(fā)現(xiàn)化合物CeAl3，其低溫電子比熱系數(shù)高達1620 mJ/molK 。通常把值大于400 mJ/molK 的材料稱為重費米子系統(tǒng)。 （見黃昆書p286 ）,例：求簡單立方晶體 s 態(tài)電子的有效質(zhì)量。, , , 1, 2, 3,即kx , ky, kz為張量的主軸方向，由此可得,這表明有效質(zhì)量的三個主分量均與 J1 成反比，若原子間距 越大，J1 越小，則有效質(zhì)量就越大。,在能帶底點：k = (0, 0, 0)

14、，,這時有效質(zhì)量張量退化為一個標量。,在能帶頂R點：,這表明，在能帶底和能帶頂電子的有效質(zhì)量是各向同性的，退化為一標量，這是立方對稱的結果。 在X點：,有效質(zhì)量是一個很重要的概念，它把晶體中電子準經(jīng)典運動的加速度與外力聯(lián)系起來。 有效質(zhì)量中包含了周期場對電子的作用。在一般情況下， 有效質(zhì)量是一個張量，在特殊情況下也可以退化為標量。 有效質(zhì)量不僅可以取正，也可以取負。 在能帶底附近，有效質(zhì)量總是正的；而在能帶頂附近， 有效質(zhì)量總是負的。這是因為在能帶底和能帶頂 E(k)分 別取極大值和極小值，分別具有正的和負的二價微商。,補充：有效質(zhì)量的再理解： 電子的運動應該同時受到晶格力 Fl和外場力F,但在實際中， 是難以表示清楚的，因此可將公式 改寫為：,通過引入有效質(zhì)量 m* 取代真實質(zhì)量 m 而將未知的晶格力 的作用考慮進來，采用有效質(zhì)量后，就可以仍采用我們已 經(jīng)非常熟悉的牛頓定律來描述晶體電子在外場中的行為。 但由于包含了晶格力作用的緣故，m*不同于m，因此，晶 體中運動的電子是一種“準