1、,第1章 單自由度系統(tǒng)的自由振動,主講 賈啟芬,重慶大學機械振動,Mechanical and Structural Vibration,引 言,振動是一種運動形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復運動。 振動屬于動力學第二類問題已知主動力求運動。,Mechanical and Structural Vibration,機械與結(jié)構(gòu)振動,振動問題的研究方法與分析其他動力學問題相類似：,選擇合適的廣義坐標； 分析運動； 分析受力； 選擇合適的動力學定理； 建立運動微分方程； 求解運動微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。,引 言,Mechanical and Structural Vibration,機

2、械與結(jié)構(gòu)振動,振動問題的研究方法與分析其他動力學問題不同的是：一般情形下，都選擇平衡位置作為廣義坐標的原點。,研究振動問題所用的動力學定理：,矢量動力學基礎(chǔ)中的動量定理； 動量矩定理； 動能定理； 達朗貝爾原理。 分析動力學基礎(chǔ)中的拉格朗日方程。,引 言,Mechanical and Structural Vibration,機械與結(jié)構(gòu)振動,振動概述,所考察的系統(tǒng)既有慣性又有彈性。 運動微分方程中，既有等效質(zhì)量，又有等效剛度。,振動問題的共同特點,Mechanical and Structural Vibration,機械與結(jié)構(gòu)振動,按系統(tǒng)的自由度劃分：,振動問題的分類,單自由度振動一個自由度

3、系統(tǒng)的振動。 多自由度振動兩個或兩個以上自由度系統(tǒng)的 振動。 連續(xù)系統(tǒng)振動連續(xù)彈性體的振動。這種系統(tǒng) 具有無窮多個自由度。,振動概述,機械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,按系統(tǒng)特性或運動微分方程類型劃分：,振動問題的分類,線性振動系統(tǒng)的運動微分方程為線性方程的振動。,非線性振動系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時，將得到非線性運動微分方程，這種系統(tǒng)的振動稱為非線性振動。,機械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,線性振動：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。 線性振動的一個重要特性是線性疊加原理成立。 非線性振動：相應(yīng)的

4、系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。 非線性振動的疊加原理不成立。,機械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,按激勵特性劃分：,振動問題的分類,自由振動沒有外部激勵，或者外部激勵除去后，系統(tǒng)自身的振動。 受迫振動系統(tǒng)在作為時間函數(shù)的外部激勵下發(fā)生的振動，這種外部激勵不受系統(tǒng)運動的影響。 自激振動系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運動所誘發(fā)和控制的激勵下發(fā)生的振動。 參激振動激勵源為系統(tǒng)本身含隨時間變化的參數(shù)，這種激勵所引起的振動。,振動概述,機械與結(jié)構(gòu)振動,Mechanical and Structural Vibration,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,目錄,Mechanical

5、 and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動 1.2 計算固有頻率的能量法 1.3 瑞利法 1.4 有阻尼系統(tǒng)的衰減振動,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,天津大學,關(guān)于單自由度系統(tǒng)振動的概念,典型的單自由度系統(tǒng):彈簧-質(zhì)量系統(tǒng),梁上固定一臺電動機，當電機沿鉛直方向振動時，可視為集中質(zhì)量。如不計梁的質(zhì)量，則相當于一根無重彈簧，系統(tǒng)簡化成彈簧-質(zhì)量系統(tǒng),Mechanical and Structural Vibration,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,天津大學,

6、1.1.1 自由振動方程 1.1.2 振幅、初相位和頻率 1.1.3 等效剛度系數(shù) 1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,Mechanical and Structural Vibration,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,1.1.1 自由振動方程,當物塊偏離平衡位置為x距離時，物塊的運動微分方程為,其中,取物塊的靜平衡位置為坐標原點O，x軸順彈簧變形方向鉛直向下為正。當物塊在靜平衡位置時，由平衡條件，得到,無阻尼自由振動微分方程,固有圓頻率,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,其通解為：,其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運動的起始條件確定。設(shè)

7、t=0時， 可解,1.1.1 自由振動方程,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,兩種形式描述的物塊振動，稱為無阻尼自由振動，簡稱自由振動。,另一種形式,無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動,1.1.1 自由振動方程,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,1.1.2 振幅、初相位和頻率,系統(tǒng)振動的周期,系統(tǒng)振動的頻率,系統(tǒng)振動的圓頻率為,圓頻率pn 是物塊在自由振動中每2 秒內(nèi)振動的次數(shù)。f、 pn只與振動系統(tǒng)的彈簧常量k和物塊的質(zhì)量 m 有關(guān)，而與運

8、動的初始條件無關(guān)。因此，通常將頻率f 稱為固有頻率，圓頻率pn稱為固有圓頻率。,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,用彈簧靜變形量dst表示固有圓頻率的計算公式,物塊靜平衡位置時,固有圓頻率,1.1.2 振幅、初相位和頻率,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,1.1.3 等效剛度系數(shù),單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程,等效的概念,這一方程，可以等效為廣義坐標的形式,Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自

9、由振動,等效的概念,1.1.3 等效剛度系數(shù),Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度,例 在圖中，已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1、k2，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動系統(tǒng)的固有頻率。,解：（1）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是：二彈簧變形相等。,振動過程中，物塊始終作平行移動。處于平衡位置時，兩根彈簧的靜變形都是dst，而彈性力分別是,系統(tǒng)平衡方程是,1.1.3 等效剛度系數(shù),Mechanical and Structural Vibration,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,如果用一根彈

10、簧剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則,k稱為并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)。,并聯(lián)后的等效彈簧剛度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧剛度系數(shù)的算術(shù)和。,系統(tǒng)的固有頻率,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,（2）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：二彈簧受力相等。,當物塊在靜平衡位置時，它的靜位移dst等于每根彈簧的靜變形之和，即 dst = d1st + d2st,由于每根彈簧所受的拉力都等于重力mg，故它們的靜變形分別為,如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧

11、，此彈簧的靜變形等于,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k 的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于,k稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù),串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,組合彈簧的等效剛度,例 質(zhì)量為m的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿AB的質(zhì)量不計，兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1和k2,又AC=a，AB=b，求物塊的自由振動頻率。

12、,解：將各彈簧的剛度系數(shù)按靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。 先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量m所在處C的等效剛度系數(shù)k。,C,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量m所在處C的等效剛度系數(shù)k。,C,設(shè)在C處作用一力F，按靜力平衡的關(guān)系，作用在B處的力為,此力使B 彈簧 k2 產(chǎn)生 變形，,而此變形使C點發(fā)生的變形為,得到作用在C處而與k2彈簧等效的剛度系數(shù),1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,

13、C,物塊的自由振動頻率為,與彈簧k1串聯(lián),得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù),1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,彈性梁的等效剛度,例 一個質(zhì)量為m的物塊從 h 的高處自由落下，與一根抗彎剛度為EI、長為的簡支梁作塑性碰撞，不計梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動的頻率、振幅和最大撓度。,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,解：當梁的質(zhì)量可以略去不計時，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個系統(tǒng)簡化成彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形 則求出系統(tǒng)的固有頻率,Mechanical and Structural Vi

14、bration,由材料力學可知，簡支梁受集中載荷作用，其中點靜撓度為,求出系統(tǒng)的固有頻率為,中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點O，建立坐標系，并以撞擊時刻為零瞬時，則t=0時，有,自由振動的振幅為,梁的最大撓度,1.1.3 等效剛度系數(shù),1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,Theoretical Mechanics,返回首頁,己知圖中所示的三根彈簧的剛性系數(shù)

15、分別為K1，K2，K3，振體的質(zhì)量為m，則此系統(tǒng)沿鉛垂方向振動的固有圓頻率為。,（A） （B） （C） （D）,答案：A,習 題,Theoretical Mechanics,答案：A 點評： 由圖知三根彈簧為并聯(lián)關(guān)系。因此，可計算出三根并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)為K = K1+K2+K3。由彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)計算固有圓頻率的公式，計算出系統(tǒng)沿鉛垂方向振動的固有圓頻率為,要點：串聯(lián)、并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)計算和等效彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)。,習 題,Theoretical Mechanics,返回首頁,習 題,小車M重P在斜面h自高度h處滑下與緩沖器相撞，斜面傾角為，緩沖彈簧剛性系數(shù)為k。如緩沖器質(zhì)量不計，斜面摩

16、擦不計，小車碰撞后，系統(tǒng)的自由振動周期為：,（A）,（B）,（C）,（D）,（D）,天津大學,1.3 練 習,Mechanical and Structural Vibration,將一剛度系數(shù)為k，長為l的彈簧截成等長（均為l/2）的兩段，則截斷后每根彈簧的剛度系數(shù)均為 （A）k （B）2k （C）k/2 （D）1/(2k) 答（B）。質(zhì)點的直線振動；固有頻率 彈簧截成等長（均為l/2）的兩段后，剛度增大為2k。,1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,等效系統(tǒng),內(nèi)燃機的曲軸、輪船的傳動軸等，在運轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，簡稱扭振。,扭振系統(tǒng)稱為扭擺。 OA 為一鉛直圓軸，圓盤對其轉(zhuǎn)動慣量為IO。 在研究扭擺的運

17、動規(guī)律時，假定OA的質(zhì)量略去不計，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑線和該線的靜止位置之間的夾角 來決定，稱扭角。圓軸的抗扭剛度系數(shù)為kn，表示使圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動微分方程建立該系統(tǒng)的運動微分方程,扭振的運動規(guī)律,對于單自由度振動系統(tǒng)來說，盡管前述直線振動和當前扭振的結(jié)構(gòu)形式和振動形式均不一樣，但其振動規(guī)律、特征是完全相同的。,1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,圖 (a)所示為扭振系統(tǒng)

18、兩個軸并聯(lián)的情況；圖(b)為兩軸串聯(lián)的情況；圖(c)則為進一步簡化的等效系統(tǒng)。,并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù),串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù),1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動,1.1 無阻尼系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,1.2 計算固有頻率的能量法,第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動,Mechanical and Structural Vibration,天津大學,計算固有頻率的能量法的理論基礎(chǔ)是機械能守恒定律。,無阻尼單自由振動系統(tǒng)中，勢能與動能之和保持不變。,常量,式中T是動能，V是勢能。如果取平衡位置O為勢能的零點，系統(tǒng)在任一位置,1.2 計算固有頻率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,天津大學,當系統(tǒng)在平衡位置時，x=0,速度為最大，勢能為零，動能具有最大值Tmax； 當系統(tǒng)在最大偏離位置時，速度為零，動能為零，而勢能具有最大值Vmax。 由于系統(tǒng)的機械能守恒,用能量法計算固有頻率的公式,1.2 計算固有頻率的能量法,Mechanical and Structural Vibration,天津大學,例 船舶振動記錄儀的原理