1、1,上一講回顧,外力功與外力余功,應(yīng)變能與余能,彈性體的余能Vc數(shù)值上等于余功：,解題技巧：附加載荷法,注意事項：同名載荷法區(qū)分,2,第 12 章 能量法（一）,12-5 單位載荷法,12-4 變形體虛功原理,3,12-4 變形體虛功原理,一、 回顧剛體虛功原理,處于平衡狀態(tài)的任意剛體，作用于其上的力系在任意虛位移或可能位移上所作之總虛功等于零。,平衡狀態(tài),剛體,虛位移或可能位移,4,1. 幾個概念,二、 變形體的虛功原理,（1）可能內(nèi)力：與外力保持平衡(并滿足靜力邊界條件)的內(nèi)力稱為靜力可能內(nèi)力或簡稱為可能內(nèi)力。,桿的可能內(nèi)力用 FN ,T, FS 與M表示。,靜定桿系：可能內(nèi)力真實內(nèi)力 靜

2、不定桿系：可能內(nèi)力 + 滿足變形協(xié)調(diào)條件真實內(nèi)力,5,滿足變形連續(xù)條件與位移邊界條件的任意微小位移，稱為幾何可能位移或虛位移，相應(yīng)之變形稱為可能變形或虛變形。,（2）虛位移與虛變形,桿微段的虛變形用 dd *,df *與dq *表示。,虛位移 + 滿足力平衡條件真實位移,6,（3） 內(nèi)虛功與外虛功,內(nèi)虛功作用在所有微段上的可能內(nèi)力在虛變形上作之總虛功,外虛功外力在可能位移上所作之總虛功,7,2. 變形體虛功原理,外力在虛位移上所作外虛功 We，等于可能內(nèi)力在虛變形上所作內(nèi)虛功 Wi，即 We Wi,8, 變形體虛功原理適用于線性彈性體，非線性彈性體與非彈性體。,3. 應(yīng)用變形體虛功原理的應(yīng)用條

3、件與應(yīng)用范圍：, 所研究的力系（外力與內(nèi)力）必須滿足平衡條件與靜力邊界條件。, 所選擇的位移應(yīng)是微小的，且滿足變形連續(xù)條件與位移邊界條件。,9,4. 驗證虛功原理,外力虛功：,內(nèi)力虛功：,以圖示梁為例驗證：We=Wi,證明： 可能內(nèi)力滿足：,（平衡條件）,（靜力邊界條件）,虛位移滿足：,（變形連續(xù)條件）,（位移邊界條件）,10,虛位移,證明：可能內(nèi)力滿足：,虛位移滿足：,外虛功：,由分部積分,即：We=Wi，證畢。,11,12-5 單位載荷法, 回顧求桿或桿系軸線上一點位移的計算方法, 直接計算法 (畫變形圖、積分法等), 利用功能原理, 利用卡氏第二定理,不適宜解決復(fù)雜問題,只能求解作用有單

4、個廣義力時，該廣義力的相應(yīng)位移,只適用于線彈性體,單位載荷法：更一般的方法，應(yīng)用更廣泛，更方便。,12, 單位載荷法, 理論基礎(chǔ)：變形體虛功原理, 任務(wù)：變形體在已知載荷作用下，求任意一點沿 任一方向的位移,例：求任一A截面沿任一方向n-n方向的位移, A截面上不一定有作用廣義力, 桿系結(jié)構(gòu)上作用有多個廣義力, 所求位移不為某一廣義力的相應(yīng)位移,13,方法一：卡氏定理,方法二：虛功原理,處于平衡狀態(tài)的變形體，外力在虛位移上所做功等于內(nèi)力在虛變形上所做功。, 選擇單位載荷狀態(tài), 選擇虛位移,將真實載荷狀態(tài)下的位移作為虛位移,14,研究單位載荷狀態(tài)，并取真實載荷引起的位移作為虛位移。,虛功原理的表

5、達式：,真實載荷在微段引起的虛變形：,單位載荷在微段引起的內(nèi)力：,忽略剪力的影響,15,對于線彈性體：,(a),(b),16, 關(guān)于單位載荷法的說明：, 應(yīng)用(a)式，不受材料性質(zhì)的限制(但須滿足小變形條件),應(yīng)用(b)式，只能是線彈性體, 式中的A,n也可以是轉(zhuǎn)角(此時單位載荷狀態(tài)加的 是單位力偶),17, 式中的A,n還可以是兩截面的相對位移或相對轉(zhuǎn)角(此 時單位載荷狀態(tài)加的是一對反向的單位力或單位力偶), 按以上公式求出的位移為正，則說明所求位移方向與 所加單位載荷同向，為負，則說明兩者反向。,18,例1：求A點的垂直位移。已知桿的抗彎剛度EI與抗扭剛度GIt, 選定單位載荷狀態(tài), 分別

6、求原始受力狀態(tài)下和單位載荷狀態(tài)下，桿的內(nèi)力分布,AB段：,BC段：, 代入公式計算位移,19,例2：求A端截面的轉(zhuǎn)角。已知梁的抗彎剛度EI, 選定單位載荷狀態(tài), 分別求原始受力狀態(tài)下和單位載荷狀態(tài)下，桿的內(nèi)力分布,AB段：,BC段：, 代入公式計算位移,20,例3：求圖示桁架中AB桿的轉(zhuǎn)角及A、D點的相對位移。已知桿的拉壓剛度EA。, 選定單位載荷狀態(tài),21, 分別求原始受力狀態(tài)下和單位載荷狀態(tài)下，桿的內(nèi)力分布,單位狀態(tài)下：,22, 代入公式計算位移,23,例4：如圖所示簡支梁，試用單位載荷法(或卡氏定理)計算梁變形前后梁軸所圍成的面積A*。已知梁的拉彎剛度EI，且材料服從虎克定律。,1, 選定單位載荷狀態(tài),24,例5：已知EI，求 A左、 A右、 A左/ A右,解：,(1) 求 A左,25,(2) 求 A右,26,求解思路討論：,A 點在與F 垂直方向位移,思考題：A點位移與F方向相同，求角,解：配置單位載荷系統(tǒng),27,28,作業(yè)： 11-17(b)，18(a)，22，26，2