1、第八章 梁的應力,1 梁橫截面的正應力和正應力強度條件,2 梁橫截面的切應力和切應力強度條件,3 薄壁截面梁彎曲切應力的進一步分析,4 提高梁承載能力的措施,.純彎曲 梁的橫截面上只有彎矩而無剪力的彎曲（橫截面上只有正應力而無切應力的彎曲）。,剪力“Fs”切應力“t ”； 彎矩“M”正應力“s ”,2.橫力彎曲（剪切彎曲）,梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲（橫截面上既有正應力又有切應力的彎曲）。,一、 純彎曲和橫力彎曲的概念,1 梁橫截面的正應力和正應力強度條件,二 、純彎曲梁橫截面上的正應力公式,（一）變形幾何關系： 由純彎曲的變形規(guī)律縱向線應變的變化規(guī)律。,1、觀察實驗：,2、變形規(guī)律：

2、,(2)、橫向線：仍為直線，只是相對轉(zhuǎn)動了一個角度且仍與縱向線正交。,(1)、縱向線：由直線變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸長。,3、假設：,（1）彎曲平面假設：梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)動了一個角度。,凹入一側(cè)纖維縮短,突出一側(cè)纖維伸長,根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時從其凹入一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長區(qū)，中間必有一層縱向無長度改變的過渡層-稱為中性層 。,中間層與橫截面的交線 中性軸,（2）縱向纖維假設：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維 之間無擠壓。,梁的彎曲變形實際上是各截面繞各自的中性軸

3、轉(zhuǎn)動了一個角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。,4、縱向線應變的變化規(guī)律 （縱向線段的變化規(guī)律）,中性層曲率半徑,橫截面上各點的縱向線應變與它到中性軸的距離成正比,4、縱向線應變的變化規(guī)律 （縱向線段的變化規(guī)律）,在彈性范圍內(nèi)，,（二）物理關系：,橫截面上各點的正應力沿截面高度按線性規(guī)律變化,中性層曲率半徑,梁彎曲時橫截面上正應力分布圖：,中性軸的位置？,中性層,橫截面上各點的正應力沿截面高度按線性規(guī)律變化,（中性軸 z 軸為形心軸）,（y 、z 軸為形心主軸）,彎曲變形計算的基本公式,（三）、靜力平衡條件 由橫截面上的彎矩和正應力的關系 正應力的計算公式。,梁橫截面上內(nèi)力已知：,純彎曲時梁

4、橫截面上正應力的計算公式。,彎矩可代入絕對值，應力的符號由變形來判斷。 當 M 0 時，下拉上壓； 當 M 0 時，上拉下壓。,將上式代入式 得：,彎曲變形計算的基本公式,反映梁變形的劇烈程度,中性軸 z 為橫截面的對稱軸時,稱為截面的抗彎截面系數(shù),梁橫截面上的最大正應力發(fā)生在距中性軸最遠的地方,純彎曲時梁橫截面上正應力的計算公式,中性軸 z 不是橫截面的對稱軸時,M,純彎曲時梁橫截面上正應力的計算公式：,幾種簡單截面的抗彎截面系數(shù), 矩形截面, 圓形截面, 空心圓截面,(4) 型鋼截面：參見型鋼表,式中,幾種簡單截面的抗彎截面系數(shù),三、純彎曲理論的推廣,橫力彎曲時 1、由于切應力的存在，梁的

5、橫截面發(fā)生翹曲； 2、橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。 平面假設和縱向線之間無擠壓的假設實際上都不再成立。,純彎曲時梁橫截面上正應力的計算公式,實驗和彈性理論的研究結(jié)果表明： 對于細長梁（跨高比 l / h 5 ），剪力的影響可以忽略，純彎曲時的正應力計算公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確。,彎曲正應力公式,可推廣應用于橫力彎曲和小曲率梁（曲率半徑大于5倍梁截面高度的曲桿),例：厚為t = 1.5 mm的鋼帶，卷成直徑D3m 的圓環(huán)。 。 求：鋼帶橫截面上的最大正應力,解：1）研究對象：單位寬條,2）曲率公式：,3）求應力：,例：求圖示懸臂梁的最大拉、壓應力。已知：,10槽鋼,解：1）畫彎

6、矩圖,2）查型鋼表：,3）求最大拉、壓應力應力：,四、梁的彎曲正應力強度條件,材料的許用彎曲正應力,中性軸為橫截面對稱軸的等直梁,拉、壓強度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁,為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設計為,M,彎曲正應力強度條件,解：1、求約束反力,例：矩形截面梁 b= 60 mm、h=120mm，s =160MPa, 求：Fmax,M max = 0.5F,3、強度計算,2、畫M圖，求Mmax,M,解：1)求約束反力,例、T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的t = 30 M Pa， c = 60 M Pa.其截面形心位于C點，y1= 52 mm， y2= 88 mm，Iz =763 cm

7、4 ，試校核此梁的強度。,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,2）畫彎矩圖 定危險截面,3）求應力,B截面（上拉下壓）,M,C截面（下拉上壓）,為什么？,C截面（下拉上壓）:,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,F,2,=,4,kN,F,1,=,9,kN,4 ) 強度校核,46.2MPa,27.3MPa,28.2MPa,B截面（上拉下壓）:,最大拉、壓應力不在同一截面上,結(jié)論 對Z軸對稱截面的彎曲梁，只計算一個截面： 對Z軸不對稱截面的彎曲梁，必須計算兩個截面：,M,M,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,F,2,=,4,kN,F,1,=,9,kN,例 跨長 l= 2m 的鑄鐵梁受

8、力如圖，已知鑄鐵的許用拉應力 st =30 MPa，許用壓應力 sc =90 MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形梁橫截面的尺寸d ，并校核梁的強度 。,解：,根據(jù)截面最為合理的要求,得,截面對中性軸的慣性矩為,例 跨長 l= 2m 的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應力 st =30 MPa，許用壓應力 sc =90 MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形梁橫截面的尺寸d ，并校核梁的強度 。,梁上的最大彎矩,最大壓應力為,梁滿足強度要求。,例 圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b = 2m，截面對中性軸的慣性矩 Iz=5493104mm4， 鑄鐵的許用拉應力 st =30 MPa，許用壓應力 sc =90 MPa。試求梁的許可荷載F 。,解：1、梁的支反力為,2、作梁的彎矩圖如下,發(fā)生在截面C,發(fā)生在截面B,例 圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b = 2m，截面對中性軸的慣性矩 Iz=5493104mm4， 鑄鐵的許用拉應力 st =30 MPa，許用壓應