1、,考情考向分析,利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)的極值、最值是函數(shù)的基本問(wèn)題，高考中常與函數(shù)零點(diǎn)、方程根及不等式相結(jié)合，難度較大.,熱點(diǎn)分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點(diǎn)分類突破,用導(dǎo)數(shù)證明不等式是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一，可以間接考查用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的最值，以及構(gòu)造函數(shù)解題的能力.,熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,解答,例1(2018湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)、河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ae2xaexxex(a0，e2.718，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若f(x)0對(duì)于xR恒成立. (1)求實(shí)數(shù)a的值；,解由f(x)ex(aexax)0對(duì)于xR恒成立， 設(shè)函數(shù)g(x)aexax， 可得g(x)aexax0對(duì)于

2、xR恒成立， g(0)0，g(x)g(0)， 從而x0是g(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)， g(x)aex1，g(0)a10，即a1. 當(dāng)a1時(shí)，g(x)ex1x，g(x)ex1， x(，0)時(shí)，g(x)0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞增， g(x)g(0)0，故a1.,證明,證明當(dāng)a1時(shí)，f(x)e2xexxex， f(x)ex(2exx2). 令h(x)2exx2，則h(x)2ex1， 當(dāng)x(，ln 2)時(shí)，h(x)0，h(x)在(ln 2，)上為增函數(shù)， h(1)0， 在(2，1)上存在xx0滿足h(x0)0， h(x)在(，ln 2)上為減函數(shù)， 當(dāng)x(，x0)時(shí)，h(x)0， 即f(x)0，f(

3、x)在(，x0)上為增函數(shù)，,當(dāng)x(x0，ln 2)時(shí)，h(x)h(0)0， 即f(x)0，f(x)在(0，)上為增函數(shù)， f(x)在(ln 2，)上只有一個(gè)極小值點(diǎn)0， 綜上可知，f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0， 且x0(2，1).,h(x0)0，2 x020，,用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法 (1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，則f(a)f(x)f(b)；對(duì)x1，x2a，b，且x1x2，則f(x1)f(x2).對(duì)于減函數(shù)有類似結(jié)論. (2)利用最值：若f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則對(duì)xD，有f(x)M(或f(x)m). (3)證明f(x)g(x)，可構(gòu)造

4、函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)0.,解答,跟蹤演練1(2018荊州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)axln x. (1)討論f(x)的單調(diào)性；,當(dāng)a0時(shí)，則f(x)0時(shí)，,綜上當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；,證明,證明令g(x)f(x)2axxeax1 xeax1axln x，,設(shè)r(x)xeax11(x0)， 則r(x)(1ax)eax1(x0)， eax10，,h(t)h(e2)0； g(x)0，故f(x)2axxeax1.,熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)討論方程根的個(gè)數(shù),方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是三個(gè)等價(jià)的概念，解決這類問(wèn)題可以通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫(huà)出函數(shù)

5、圖象的走勢(shì)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想直觀求解.,解答,例2(2018衡水金卷分科綜合卷)設(shè)函數(shù)f(x)ex2aln(xa)，aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (1)若a0，且函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；,解函數(shù)f(x)在0，)內(nèi)單調(diào)遞增，,即aexx在0，)內(nèi)恒成立. 記g(x)exx， 則g(x)ex10恒成立， g(x)在區(qū)間0，)內(nèi)單調(diào)遞減， g(x)g(0)1，a1， 即實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，).,解答,知f(x)在區(qū)間(a，)內(nèi)單調(diào)遞增.,f(x)在區(qū)間(a，)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)x0，,當(dāng)ax0時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增. f(x)minf(x0) 2aln (x0

6、a),當(dāng)且僅當(dāng)x0a1時(shí)，取等號(hào).,f(x)minf(x0)0，即函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn).,(1)函數(shù)yf(x)k的零點(diǎn)問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)和直線yk的交點(diǎn)問(wèn)題. (2)研究函數(shù)yf(x)的值域，不僅要看最值，而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢(shì).,跟蹤演練2(2018全國(guó))已知函數(shù)f(x)exax2. (1)若a1，證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)1；,證明,證明當(dāng)a1時(shí)，f(x)1等價(jià)于(x21)ex10. 設(shè)函數(shù)g(x)(x21)ex1， 則g(x)(x22x1)ex(x1)2ex. 當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞減. 而g(0)0，故當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，即f(x)

7、1.,(2)若f(x)在(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.,解答,解設(shè)函數(shù)h(x)1ax2ex. f(x)在(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于h(x)在(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn). ()當(dāng)a0時(shí)，h(x)0，h(x)沒(méi)有零點(diǎn)； ()當(dāng)a0時(shí)，h(x)ax(x2)ex. 當(dāng)x(0,2)時(shí)，h(x)0. 所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增.,因?yàn)閔(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一個(gè)零點(diǎn)； 由(1)知，當(dāng)x0時(shí)，exx2，,故h(x)在(2,4a)上有一個(gè)零點(diǎn). 因此h(x)在(0，)上有兩個(gè)零點(diǎn).,生活中的實(shí)際問(wèn)題受某些主要變量的制約，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題就是把制約問(wèn)題的主要變量找

8、出來(lái)，建立目標(biāo)問(wèn)題即關(guān)于這個(gè)變量的函數(shù)，然后通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，從而找到變量在什么情況下可以達(dá)到目標(biāo)最優(yōu).,熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題,解答,例3羅源濱海新城建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為32萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2 )x萬(wàn)元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元. (1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；,解設(shè)需新建n個(gè)橋墩，,解答,(2)當(dāng)m96米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使余下工程的費(fèi)用y最?。?令f(x)0，得 64，所以x16.

9、當(dāng)00，f(x)在區(qū)間(16,96)內(nèi)為增函數(shù)， 所以f(x)在x16處取得最小值，,答需新建5個(gè)橋墩才能使余下工程的費(fèi)用y最小.,利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟 (1)建模：分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x). (2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0. (3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值. (4)作答：回歸實(shí)際問(wèn)題作答.,解答,跟蹤演練3圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是

10、半圓，凹槽的橫截面的周長(zhǎng)為4.若凹槽的強(qiáng)度T等于橫截面的面積S與邊AB的乘積，設(shè)AB2x，BCy. (1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式， 并指出x的取值范圍；,解易知半圓CmD的半徑為x， 故半圓CmD的弧長(zhǎng)為x. 所以42x2yx，,解答,(2)求當(dāng)x取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.,8x2(43)x3. 令T16x3(43)x20，,真題押題精練,(2017全國(guó))已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx. (1)討論f(x)的單調(diào)性；,真題體驗(yàn),解答,解f(x)的定義域?yàn)?，)， f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1). (i)若a0，則f(x)0，則由f(x)0，得xln a. 當(dāng)

11、x(，ln a)時(shí)，f(x)0. 所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增.,(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.,解答,解(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn). (ii)若a0，由(1)知，當(dāng)xln a時(shí)，,即f(ln a)0，故f(x)沒(méi)有零點(diǎn)；,當(dāng)a1時(shí)，由于f(ln a)0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；,又f(2)ae4(a2)e222e220， 故f(x)在(，ln a)上有一個(gè)零點(diǎn).,因此f(x)在(ln a，)上有一個(gè)零點(diǎn). 綜上，a的取值范圍為(0,1).,則f(n0) (a a2)n0 n0 n00.,押題預(yù)測(cè),已知f(x)asin

12、x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函數(shù). (1)若0a1，證明：函數(shù)G(x)f(1x)g(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)；,押題依據(jù)有關(guān)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題多考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，考查分類整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.本題的命制正是根據(jù)這個(gè)要求進(jìn)行的，全面考查了考生綜合求解問(wèn)題的能力.,證明,押題依據(jù),證明由題意知G(x)asin(1x)ln x，,acos(1x)0， 故函數(shù)G(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù).,證明,證明由(1)知，當(dāng)a1時(shí)， G(x)sin(1x)ln x在(0,1)上單調(diào)遞增. sin(1x)ln xG(1)0，,解答,(3)設(shè)F(x)g1(x)mx22(x1)b，若對(duì)任意的x0，m0恒成立，求滿足條件的最小整數(shù)b的值.,解由對(duì)任意的x0，m0恒成立， 即當(dāng)x(0，)時(shí)，F(xiàn)(x)min0. 又設(shè)h(x)F(x)ex2mx2， h(x)ex2m，m0，h(x)單