1、4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式課堂探究1觀察、歸納、猜想、證明的方法剖析：這種方法解決的問題主要是歸納型問題或探索型問題，命題的成立不成立都預(yù)先需要歸納與探索，而歸納與探索多數(shù)情況下是從特例、特殊情況入手，得到一個結(jié)論，但這個結(jié)論不一定正確，因為這是靠不完全歸納法得出的，因此，需要給出一定的邏輯證明，所以，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索一般規(guī)律，其關(guān)鍵在于正確的歸納猜想，如果歸納不出正確的結(jié)論，那么數(shù)學(xué)歸納法的證明也就無法進(jìn)行了在觀察與歸納時，n的取值不能太少，否則將得出錯誤的結(jié)論教材例1中若只觀察前3項：a11，b12a1b1；a24，b24a2b2；a39，b38a3b3，從而歸納出n2

2、2n(nN，n3)是錯誤的，前n項的關(guān)系可能只是特殊情況，不具有一般性，因而，要從多個特殊事例上探索一般結(jié)論2從“nk”到“nk1”的方法與技巧剖析：在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題中，從“nk”到“nk1”的過渡，利用歸納假設(shè)是比較困難的一步，它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題一樣，只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來，而證明不等式的第二步中，從“nk”到“nk1”，只用拼湊的方法，有時也行不通，因為對不等式來說，它還涉及“放縮”的問題，它可能需要通過“放大”或“縮小”的過程，才能利用上歸納假設(shè)，因此，我們可以利用“比較法”“綜合法”“分析法”等來分析從“nk”到“nk1”的變化，從中找到“放縮尺度”，準(zhǔn)確地

3、拼湊出所需要的結(jié)構(gòu) 題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)函數(shù)中的不等關(guān)系【例1】已知f(x).對于nN，試比較f()與的大小并說明理由分析：先通過n取比較小的值進(jìn)行歸納猜想，確定證明方向，再用數(shù)學(xué)歸納法證明解：據(jù)題意f(x)1，f()1，又1，要比較f()與的大小，只需比較2n與n2的大小即可，當(dāng)n1時，212121，當(dāng)n2時，22422，當(dāng)n3時，238329，當(dāng)n4時，241642，當(dāng)n5時，25325225，當(dāng)n6時，26646236.故猜測當(dāng)n5(nN)時，2nn2，下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明(1)當(dāng)n5時，2nn2顯然成立(2)假設(shè)nk(k5，且kN)時，不等式2nn2成立，即2kk2(k5)

4、，則當(dāng)nk1時，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2(因為(k1)22)由(1)(2)可知，對一切n5，nN，2nn2成立綜上所述，當(dāng)n1或n5時，f().當(dāng)n2或n4時，f()，當(dāng)n3時，f().反思 利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小，關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個量的大小關(guān)系，猜測出證明的方向再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.題型二 數(shù)學(xué)歸納法在解決有關(guān)數(shù)列問題中的應(yīng)用【例2】已知數(shù)列an滿足：a1，且an(n2，nN)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：對一切正整數(shù)n，不等式a1a2an2n！恒成立分析：(1)由題設(shè)條件知，可用構(gòu)造新數(shù)列的方法求得an；(2)可以

5、等價變形，視為證明新的不等式(1)解：將條件變?yōu)椋?，因此數(shù)列1為一個等比數(shù)列，其首項為1，公比為，從而1，因此得an(n1)(2)證明：由得，a1a2an.為證a1a2an2n！，只要證nN時，有.顯然，左端每個因式皆為正數(shù)，先證明，對nN，有1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明式：當(dāng)n1時，顯然式成立，假設(shè)nk(kN，k1)時，式成立，即1，則當(dāng)nk1時，11.即當(dāng)nk1時，式也成立故對一切nN，式都成立利用，得111n.故原不等式成立反思 本題提供了用數(shù)學(xué)歸納法證明相關(guān)問題的一種證明思路，即要證明的不等式不一定非要用數(shù)學(xué)歸納法去直接證明，我們通過分析法、綜合法等方法的分析，可以找到一些證明的關(guān)鍵，“

6、要證明”，“只需證明”，轉(zhuǎn)化為證明其他某一個條件，進(jìn)而說明要證明的不等式是成立的.題型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例3】設(shè)Pn(1x)n，Qn1nxx2，nN，x(1，)，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明分析：這類問題，一般都是先取Pn，Qn的前幾項進(jìn)行觀察，以尋求規(guī)律，作出猜想，再證明猜想的正確性解：P11xQ1，P212xx2Q2，P313x3x2x3，Q313x3x2，P3Q3x3，由此推測，Pn與Qn的大小要由x的符號來決定(1)當(dāng)n1,2時，PnQn.(2)當(dāng)n3時(以下再對x進(jìn)行分類)：若x(0，)，顯然有PnQn.若x0，則PnQn.若x(1,0)，則P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假設(shè)nk(k3，kN)時，有PkQk(k3)，則nk1時，Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即當(dāng)nk1時，不等式成立所以當(dāng)n3，且x(1,0)時，PnQn.反思 本題中，n的取值會影響Pn與Qn的大小變化，變量x也影響Pn與Qn的大小關(guān)系，這就要求我們在探索大小關(guān)系時，不能只顧“n”，而忽視其他變量(參數(shù))的作用.題型四 易錯辨析【例4】已知f(n)1(