1、第八章 壓桿的穩(wěn)定性,8-1 壓桿穩(wěn)定性的概念,受軸向壓縮的直桿，其破壞有兩種形式：,1）短粗的直桿，其破壞是由于橫截面上的正應(yīng)力達(dá)到材料的極限應(yīng)力，為強(qiáng)度破壞。,2）細(xì)長(zhǎng)的直桿，其破壞是由于桿不能保持原有的直線平衡形式，為失穩(wěn)破壞。,工程中存在著很多受壓桿件。,對(duì)于相對(duì)細(xì)長(zhǎng)的壓桿，其破壞并非由于強(qiáng)度不足，而是由于荷載（壓力）增大到一定數(shù)值后，不能保持原有直線平衡形式而失效。,1. 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿，當(dāng)F力較小時(shí)，桿在力F作用下將保持原有直線平衡形式。,此時(shí)，在其側(cè)向施加微小干擾力使其彎曲，當(dāng)干擾力撤除后，桿仍可回復(fù)到原來(lái)的直線形式?？梢?jiàn)這種直線平衡形式是穩(wěn)定的。,2. 當(dāng)壓力超過(guò)某一數(shù)值時(shí)，

2、如作用一側(cè)向微小干擾力使壓桿微彎，則在干擾力撤除后，桿不能回復(fù)到原來(lái)的直線平衡形式，而在微彎狀態(tài)下保持平衡。壓桿原來(lái)的直線平衡形式不穩(wěn)定。,這種喪失原有平衡形式的現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱失穩(wěn)。,壓桿從穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡時(shí)，軸向壓力的臨界值，稱為臨界力或臨界荷載，用Fcr表示。,剛體平衡,其它一些構(gòu)件的穩(wěn)定性問(wèn)題,8-2 細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力,在臨界力Fcr作用下，細(xì)長(zhǎng)壓桿在微彎狀態(tài)下平衡， 若此時(shí)壓桿仍處在彈性階段，可應(yīng)用梁的撓曲線近似 微分方程及桿端約束條件求解臨界力Fcr。,一、歐拉公式,設(shè)兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿在臨界荷載Fcr作用下，在xOw平面內(nèi)處于微彎狀態(tài)。,1.兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿,撓

3、曲線近似微分方程為,EIw = -M(x),x截面的彎矩為,M(x) = Fcr w,EIw =-Fcr w,EIw +Fcr w =0,令,w +k2w =0,得,二階常系數(shù)線性微分方程,由桿的已知位移邊界條件確定常數(shù),x = 0，w = 0,x = l，w = 0,得 B = 0，w =Asinkx,得 Asinkl = 0,由 Asinkl=0 得 A=0（不可能）,或 sinkl = 0,即 kl = n (n = 0,1,2）,其通解為,w =Asinkx+Bcoskx,A、B、k待定常數(shù),w +k2w =0,(n = 0,1,2）,最小的臨界荷載（n=1）,（Euler公式）,壓桿

4、的撓曲線方程為,（半波正弦曲線）,w0= A,w =Asinkx+Bcoskx,k = /l,A是壓桿中點(diǎn)的撓度w0。為任意的微小值。,F與中點(diǎn)撓度w0之間的關(guān)系,（1） 若采用近似微分方程，則F與如折線OAB所示；,（2） 若采用精確的撓曲線微 分方程，則可得F與w0之間的 關(guān)系如曲線OAB所示；,（3） 實(shí)際工程壓桿F與w0之 間的關(guān)系如曲線OB所示。,2.不同桿端約束下壓桿的臨界力,類比法,一端固定一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿，長(zhǎng)度2l范圍內(nèi)與 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿撓曲線形狀相同。,兩端固定細(xì)長(zhǎng)壓桿，長(zhǎng)度0.5l范圍內(nèi)與兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿撓曲線形狀相同。,類比法,一端固定，另一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿，在0.7

5、l范圍內(nèi) 與兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿撓曲線形狀相同。,類比法,Euler公式的統(tǒng)一形式,約束越強(qiáng)，越小，臨界力Fcr越大。,長(zhǎng)度因數(shù),l相當(dāng)長(zhǎng)度,一端固定一端自由,一端固定一端鉸支,兩端固定,兩端鉸支,=1.0,=2.0,=0.5,=0.7,公式討論,2.當(dāng)桿端約束在各個(gè)方向相同時(shí)（如球鉸、空間固定端），壓桿只可能在最小抗彎剛度平面內(nèi)失穩(wěn)，即I取Imin值；,1. Fcr與抗彎剛度成EI正比，與相當(dāng)長(zhǎng)度l的平方成反比；,最小抗彎剛度平面：形心主慣性矩I為最小的縱向平面,如矩形截面的Iy最小，xOz平面為最小抗彎剛度平面。,3.當(dāng)桿端約束情況在各個(gè)方向不同時(shí)，如圖柱形鉸， xOz平面內(nèi)為鉸支（可繞y軸自

6、由轉(zhuǎn)動(dòng)）， xOy平面內(nèi)為固定端（不能轉(zhuǎn)動(dòng)）。計(jì)算臨界荷載應(yīng)取I與2比值的最小值，壓桿在相應(yīng)的平面內(nèi)失穩(wěn)。,壓桿在 xOz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)：,=1.0， I= Iy,計(jì)算臨界力Fcr 1,壓桿在 xOy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)：,=0.5， I= Iz,計(jì)算臨界力Fcr 2,臨界力Fcr為兩者中較小的值。,4.實(shí)際工程中的壓桿。其桿端約束有很多變化，要根據(jù) 具體情況選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度系數(shù)值。,5.實(shí)際工程中的壓桿，非理想的均質(zhì)直桿，荷載也總會(huì) 有小的偏心，因此其臨界力比公式計(jì)算出的為小，這可 以在安全因數(shù)里考慮，故實(shí)際工程中壓桿仍可按該公式 計(jì)算其臨界荷載。,8-3 壓桿的柔度與壓桿的非彈性失穩(wěn),當(dāng)壓桿在臨界荷載

7、Fcr作用下，并仍處于直線形式的 平衡狀態(tài)時(shí)，橫截面上的正應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力。,一、壓桿的臨界應(yīng)力與柔度,則有,稱為壓桿的柔度（或細(xì)長(zhǎng)比），它綜合反映了 壓桿的幾何尺寸和桿端約束對(duì)壓桿承載能力的影響。,二、歐拉公式的適用范圍,推導(dǎo)歐拉公式時(shí)， 桿處于彈性狀態(tài),cr P,故歐拉公式的適用條件,滿足該條件的壓桿稱為細(xì)長(zhǎng)桿（或大柔度桿）。,P,為材料參數(shù)，不同的材料有不同的值。,如Q235鋼，,三、非彈性失穩(wěn)壓桿的臨界力,為彈性失穩(wěn),壓桿的失穩(wěn)稱為非彈性失穩(wěn),cr P,此時(shí)歐拉公式不再適用，工程上常以試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù) 的經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)計(jì)算這類壓桿的臨界應(yīng)力cr 。如直線公式,cr=a-b ,a、b為與材料有

8、關(guān)的常數(shù)，由試驗(yàn)確定。,如Q235鋼，,a=304MPa,b=1.12MPa,壓桿將發(fā)生強(qiáng)度破壞，而不是失穩(wěn)破壞。,故直線公式的適用范圍,P cr u,稱為短粗桿(小柔度桿),稱為中長(zhǎng)桿(中柔度桿),四、失效應(yīng)力總圖,細(xì)長(zhǎng)桿（或大柔度桿），歐拉公式,稱為中長(zhǎng)桿(中柔度桿)，直線公式,短粗桿(小柔度桿)， 強(qiáng)度破壞,例 TC13松木壓桿,兩端為球鉸。壓桿材料的 比例極限p=9MPa,強(qiáng)度極限b=13MPa，彈性模 量E=1.0104MPa。壓桿采用面積相同的兩種截面: (1)h=120mm,b=90mm的矩形。 (2)b=104mm正方形。 試比較二者的臨界荷載。,解：,(1).矩形截面,該壓桿

9、為細(xì)長(zhǎng)桿,臨界力用歐拉公式計(jì)算:,(2).正方形截面,該壓桿為中長(zhǎng)桿,例 一壓桿,長(zhǎng)l=2m,截面為10號(hào)工字鋼,材料為Q235鋼,s=235MPa,E=206GPa,p=200MPa。壓桿兩端為柱形鉸。試求壓桿的臨界荷載。,解：先計(jì)算壓桿的柔度。,在xz面內(nèi)，壓桿兩端可視為鉸支，=1。查型鋼表，得iy=4.14cm，故,在xy面內(nèi)，壓桿兩端可視為固支，=0.5。查型鋼表，得iz=1.52cm，故,壓桿將在xy面內(nèi)失穩(wěn),Q235鋼,故壓桿為中長(zhǎng)桿,臨界應(yīng)力:,橫截面面積:,臨界力:,8-4 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算,一、壓桿的穩(wěn)定條件,壓桿的穩(wěn)定條件為,nst為穩(wěn)定安全因數(shù)；Fst為穩(wěn)定容許壓力。,用應(yīng)

10、力表示的穩(wěn)定條件為,st為穩(wěn)定容許應(yīng)力。,nst的選取除了要考慮在選取強(qiáng)度安全因數(shù)時(shí)的 那些因素外，還要考慮影響壓桿失穩(wěn)的其它不利因 素，如初曲率、荷載偏心等。,二、壓桿的穩(wěn)定計(jì)算,1.安全因數(shù)法,2.折減因數(shù)法,或,稱為折減因數(shù)；小于1大于0。,隨柔度變化，與的關(guān)系可查規(guī)范。,例 由Q235鋼制成的千斤頂如圖。絲桿長(zhǎng)l=800mm，直徑d=40mm，上端自由，下端可視為固定。材料E=2.1105MPa。若該絲桿的穩(wěn)定安全因數(shù)nst=3，是求該千斤頂?shù)淖畲蟪休d力。,解：先求絲桿的臨界壓力Fcr,Q235鋼,故絲桿為細(xì)長(zhǎng)桿,例 某鋼柱長(zhǎng)7m，由兩根16b號(hào)槽鋼組成，材料 為Q235鋼，橫截面如圖

11、所示，截面類型為b類。鋼柱 的兩端截面上有4個(gè)直徑為30mm的螺栓孔。鋼柱=1.3 ， 受260kN的軸向壓力，材料的=170MPa。 （1）求兩槽鋼的間距h。 （2）校核鋼柱的穩(wěn)定性和強(qiáng)度。,解：(1) 確定兩槽鋼的間距h,鋼柱兩端約束在各方向均相同，因此，最合理的設(shè)計(jì)應(yīng)使Iy=Iz , 從 而使鋼柱在各方向有相同的穩(wěn)定性。,單根16b號(hào)槽鋼的截面幾何性質(zhì)可由型鋼表查得為:,A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4， z0=1.75cm，=10mm,由平行移軸公式，鋼柱截面 對(duì)y軸的慣性矩為,Iy =2Iyo+A(z0+h/2)2,由Iy = Iz的條件得到,29

12、34.5=283.4+25.15(1.75+h/2)2,整理后得到,12.58h2+85.51h-1566.83=0,解出h后,舍棄不合理的負(fù)值,得h=8.23cm 。,A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm =10mm,(2)校核鋼柱的穩(wěn)定性,鋼柱兩端附近截面雖有螺栓孔 削弱,但屬于局部削弱,不影響整體 的穩(wěn)定性。,鋼柱截面的和i分別為,A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，=10mm,查表得 = 0.308，所以,=0.308170 MPa =52.4MPa,而鋼柱的工作應(yīng)力為,鋼柱滿足穩(wěn)

13、定要求。,(3)校核鋼柱的強(qiáng)度,對(duì)螺栓孔削弱的截面,應(yīng)進(jìn)行強(qiáng)度校核。該截面上的工作應(yīng)力為,故削弱的截面仍有足夠的強(qiáng)度。,例 桁架中,上弦桿AB為Q235工字鋼,材料的容許 應(yīng)力=170MPa,已知該桿受250kN的軸向壓力的作 用,試選擇工字鋼型號(hào)。,解: 在已知條件中給出了值，但對(duì)nst沒(méi)有明確要求， 所以應(yīng)按折減因數(shù)法來(lái)進(jìn)行截面設(shè)計(jì)。其尚未知，取 決于，而又與截面尺寸有關(guān)，因此，需用試算法。,先假設(shè)=0.5，得,選18號(hào)工字鋼，A=30.6cm2，imin=2.0cm。=1,查表得=0.186，需做第二次試算，令,選22b工字鋼，A=46.4cm2，imin=2.27cm。=1,查表得=0

14、.234，還需試算，令,選28a工字鋼，A=55.45cm2，imin=2.495cm。=1,查表得=0.276，可結(jié)束。,校核其穩(wěn)定性：,壓桿的臨界荷載越大，壓桿越不容易失穩(wěn)。臨界荷載 取決于壓桿的長(zhǎng)度、截面形狀和尺寸、桿端約束及材料的 力學(xué)性質(zhì)等因素。,1. 在截面面積不變的前提下，盡量使材料分布得離形 心較 遠(yuǎn)，以增大I值，從而增大壓桿的臨界荷載。,8-5 增強(qiáng)壓桿穩(wěn)定性的措施,一、選擇合理的截面形式,2.盡量使壓桿各個(gè)方向具有相同的穩(wěn)定性。,實(shí)心變空心等,組合而成的壓桿必須同時(shí)保證整體的穩(wěn)定性和每一分支 的穩(wěn)定性，最合理的情況是整體與分支具有相同的穩(wěn)定性。,1.壓桿越細(xì)長(zhǎng)，穩(wěn)定性越差，因此，應(yīng)盡可能減小桿 的相當(dāng)長(zhǎng)度，以提