1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,第一課時,著名數(shù)學(xué)家高斯小的時候，勤于思考，善于動腦，這 一點(diǎn)在班級是有名的。他遇到問題總是問“為什么”；用 一種方法解決問題之后，他還考慮有沒有其他別的更有效 的方法，老師和同學(xué)們都喜歡他。一天，老師給同學(xué)們出 了一道“1 2 3 99 100的和等于多少？” 的數(shù)學(xué)題，同學(xué)們都覺得沒什么難的，于是便十分認(rèn)真地 用一個數(shù)加另一個數(shù)慢慢求和的方法來計(jì)算。不一會，小 高斯便舉手示意他做完了。老師和同學(xué)們都覺得特別奇怪 ：別人連一半還沒加完，小高斯怎么就算完了呢？,你知道高斯是怎么計(jì)算的嗎？,(1) 高斯是如何快速求和的？他抓住了問題的什么特征？,(2) 如果換成+200=？我

2、們能否快速求和？ 如何求？,(3) 根據(jù)高斯的啟示，如何計(jì)算18+21+24+27+624=？,(4) 等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d，如何計(jì)算,思考：,一般的，我們稱,為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和，用Sn表示，即,對于公差為d的等差數(shù)列，如何求它的前n項(xiàng)和？,用兩個式子表示前n項(xiàng)和,由得到,n個,由此得到等差數(shù)列an 的前n項(xiàng)和的公式,用 代入上面的公式，得到,在已知首項(xiàng)和尾項(xiàng)時使用此公式。,在已知首項(xiàng)和公差時使用此公式。,例1 2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校 通”工程的通知。某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目 標(biāo)：從2001年起用10年的時間，在全市中小學(xué)建成

3、不同標(biāo)準(zhǔn)的 校園網(wǎng)。據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500 萬元。為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一 年增加50萬元。那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校 通”工程中的總投入是多少？,解：,根據(jù)題意，從20012010年，該市每年投入“校校通” 工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元。所以，可以建立一 個等差數(shù)列an,表示從2001年起各年投入的資金，其中,那么，到2010年(n=10),投入的資金總額為,答：從20012010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元。,例2 等差數(shù)列-10，-6，-2，2， 的前多少項(xiàng)的和為54？,解：,設(shè)題中的等

4、差數(shù)列是an，前n項(xiàng)和為Sn.,則a1-10，d-6-（-10）4，Sn54.,由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得,解得 n19，n23（舍去）.,因此，等差數(shù)列的前9項(xiàng)和是54.,例3.堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆？,解：,由題意可知，這個V形架上共放著120層 鉛筆，且自下而上各層的鉛筆數(shù)成等差 數(shù)列，記為an，,(an表示自下而上第n層所放的鉛筆數(shù)),其中a1=1,a120=120.,根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，得,答：V形架上共放著7260支鉛筆.,1求集合 的元素個數(shù)，,并求這些元素的和.,解：,由 得,正整數(shù) 共有14個即 中共有14個元素,即：7，14，21，98 是以 為首項(xiàng)，,以 為末項(xiàng)的等差數(shù)列.,答：略,課堂練習(xí),2. 已知一個等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是 1220，求其前n項(xiàng)和的公式.,由題設(shè)：,得：,課堂練習(xí),解：,課堂練習(xí),3.一等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)的和是12.5，偶數(shù)項(xiàng)的 和是15，求首項(xiàng)和公差.,首項(xiàng) a1=0.5,公差 d=0.5.,4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為a，前2n項(xiàng)和為b，求前3n項(xiàng)和,S3n=3(b-a).,5. 等差數(shù)列 中，若前100項(xiàng)之和等于前10項(xiàng)和的100倍， 求 。,課堂練習(xí),