1、2.1.1橢圓及其標準方程,沙縣一中 劉秋英,生活中的橢圓,問題引入,如何畫出圓？,圓的軌跡定義是如何定義的?,問題引入,將一條繩子的兩端固定在 同一個定點上,用筆尖勾起繩 子的中點使繩子繃直,圍繞定 點旋轉(zhuǎn),筆尖形成的軌跡是一 個圓.,到定點的距離等于定長的所有點的集合, 叫圓.這就是圓的軌跡定義.,1.取一條定長的細繩；,活動 大家動手畫橢圓,數(shù) 學 實 驗,2.把它的兩端固定在圖板上的兩點 處； （兩點間的距離小于繩長）；,3.用鉛筆尖（M）把細繩拉緊，在圖紙上慢慢 移動，看看能畫出什么圖形？,1、在畫橢圓過程中，細繩兩端 的位置是固定的還是運動的？,3.在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定

2、點間距離大小有怎樣的關(guān)系？,反思：,|MF1|+|MF2|=繩長,|MF1|+|MF2| |F1F2|,平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于 常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫橢圓,數(shù) 學 歸 納,一.橢圓的定義,注意：,-1平面內(nèi)-這是大前提,-2動點M 與兩個定點F1、F2的距離的和是常數(shù)2a,-3常數(shù)2a大于焦距2c,這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點， 兩焦點之間的距離叫做焦距(2c),橢圓定義的集合表示,P= M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c0）,數(shù) 學 歸 納,繩長,繩長,平面內(nèi)點M與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（記|MF1|+|MF2|=2a）的點M的

3、軌跡是：,（1）當|MF1|+|MF2|F1F2|時點M的軌跡是為,（2）當|MF1|+|MF2|=|F1F2|時點M的軌跡為,（3）當|MF1|+|MF2|F1F2|時點M的軌跡,橢圓,線段F1F2,不存在,數(shù) 學 歸 納,用定義判斷下列動點M的軌跡用是否為橢圓。,(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為6的點的軌跡。,(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為4的點的軌跡。,(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為3的點的軌跡。,應 用,是,不是,不是,建 系,設(shè) 點,列 式,化 簡,檢 驗,如何求曲線的方程呢？,根據(jù)橢圓的定義求橢圓的方程,求曲線方程的基

4、本步驟, 探討建立平面直角坐標系的方案,建立平面直角坐標系通常遵循的原則：“對稱”、“簡潔”,方案一,思考：,x,y,以F1、F2 所在直線為 x 軸，線段 F1F2 的垂直平分線為 y 軸建立直角坐標系,P( x , y ),設(shè) P( x，y )是橢圓上任意一點,設(shè)|F1F2|=2c，則有F1(-c，0)、F2(c，0),橢圓上的點滿足|PF1|+|PF2| 為定值，設(shè)為2a，則2a2c,則：,O,二.標準方程的推導,則方程可化為,觀察左圖， 你能從中找出表示 c 、 a 的線段嗎？,a2-c2 有什么幾何意義？,（ ）,它表示： 橢圓的焦點在x軸 焦點坐標為F1（-C，0）、F2（C，0）

5、 c2= a2 - b2,歸納：焦點在x軸上的橢圓的標準方程：,思考：當橢圓的焦點在y軸上時,它的標準方程是怎樣的呢,A（x,y),y=x,B(y,x),焦點在y軸上橢圓的標準方程的推導,方法一：,方法二：,問題探討：,歸納：焦點在y軸上的橢圓的標準方程,它表示: 橢圓的焦點在y軸 焦點是F1（0，-c）、 F2（0，c） c2= a2 - b2,分母哪個大，焦點就在哪個軸上,平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等 于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡,根據(jù)所學知識完成下表:,a2=b2 +c2,橢圓方程有特點,系數(shù)為正加相連,分母較大焦點定,右邊數(shù)“1”記心間,（1）在橢圓 中, a= _, b

6、=_,其焦點位于_軸上，,3,2,x,（2）在橢圓 中，a= _ , b= _,其焦點位于_軸上，焦點坐標是 _,y,4,焦點坐標是,應 用,（3）a=5，c=4 的橢圓標準方程是,或,（4）若方程 表示焦點在 軸上的橢圓，則實數(shù) 的取值范圍是,4,（6）已知F1、F2分別為橢圓 的左、右焦點，過F1的直線交橢圓于C、D兩點，則CF2D的周長為,.,20,圖 形,方 程,焦 點,F(c，0),F(0，c),a,b,c之間的關(guān)系,|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0),定 義,注:,共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.,不同點：焦點在x軸的橢圓 項分母較大. 焦點在y軸的橢圓 項分母較大.,小結(jié),本節(jié)課涉及到了哪些數(shù)學思想方法？,回顧反思：,今天我們類比研究圓的基本方法研究了橢圓的定義及標準方程，接下來我們也將繼續(xù)利用方程展開研究橢圓的幾何性質(zhì).研究圓、橢圓的這一思想將貫穿于整個圓錐曲線的教學中.,1.思考：,你能想到幾種方法呢？,