1、13.3 等腰三角形的性質(zhì),八年級(jí)數(shù)學(xué)備課組,有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.,等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.,底邊,概念,1、等腰三角形一腰為3cm,底為4cm,則它的周長(zhǎng)是 ； 2、等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為4cm,則它的周長(zhǎng)是 ； 3、等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為8cm,則它的周長(zhǎng)是 .,10 cm,10 cm 或 11 cm,19 cm,小試牛刀,動(dòng)手做一做,ABC有什么特點(diǎn)?,看一看,把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角，填入下表.,動(dòng)動(dòng)手,ABAC,BDCD,ADAD,B

2、 C.,BAD CAD,ADB ADC,等腰三角形除了兩腰相等以外,你還能發(fā)現(xiàn)它的角有什么性質(zhì)嗎?,大膽猜想,猜想與論證,等腰三角形的兩個(gè)底角相等.,已知：ABC中，AB=AC,求證：B=C,分析：1.如何證明兩個(gè)角相等？,2.如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形？,猜想,則有1 2,D,1,2,在ABD和ACD中,證明: 作頂角的平分線AD，,ABAC,12,ADAD,（公共邊）, ABD ACD,（SAS）, BC,（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）,方法一,則有 BDCD,D,在ABD和ACD中,證明: 作ABC 的中線AD,ABAC,BDCD,ADAD,（公共邊）, ABD ACD,（SSS）, BC,（全

3、等三角形對(duì)應(yīng)角相等）,方法二,則有 ADBADC 90,D,在RtABD和RtACD中,證明: 作ABC 的高線AD,ABAC,ADAD,（公共邊）, RtABDRtACD,（HL）, BC,（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）,方法三,或：在ABC中， AC=AB（ ） B=C ( ）,已知,等邊對(duì)等角,等腰三角形的兩個(gè)底角相等. 也就是說(shuō) “在同一個(gè)三角形中,等邊對(duì)等角”,幾何語(yǔ)言：,等腰三角形的性質(zhì)一,文字?jǐn)⑹觯? ABC是等腰三角形（已知） B=C （等邊對(duì)等角）,等腰三角形一個(gè)底角為75,它的另外兩個(gè) 角為_(kāi) _； 等腰三角形一個(gè)角為70,它的另外兩個(gè)角為_(kāi)； 等腰三角形一個(gè)角為110,它的另外

4、兩個(gè)角為_(kāi) _.,75, 30,70,40或55,55,35,35,小試牛刀,想一想:,剛才的證明除了能得到BC 你還能發(fā)現(xiàn)什么?,A,B,D,C,ABAC,BDCD,ADAD,B C.,BAD CAD,ADB ADC,=90,等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線 和底邊上的高互相重合.,簡(jiǎn)稱(chēng)“等腰三角形三線合一”,頂角平分線,底邊上的中線,底邊上的高,等腰三角形的性質(zhì)二,文字?jǐn)⑹觯?A,B,C,D,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)2，在ABC中，AB=AC時(shí),BAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BAD,CAD,AD,BC,BD,CD,A,C,B,D,再創(chuàng)佳績(jī),D,作ABC的中線AD，交底邊BC于D.,

5、D,作ABC的高AD，垂直底邊BC于D.,D,1,2,作頂角的平分線AD.,等腰三角形常見(jiàn)輔助線,歸納總結(jié),畫(huà)出任意一個(gè)等腰三角形的底角平分線、這個(gè)底角所對(duì)的腰上的中線和高，看看它們是否重合？,不重合！,“三線合一”應(yīng)該對(duì)應(yīng)等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線和底邊上的高,為什么不一樣?,教材77頁(yè)第1,2,3題,練習(xí),如圖，在ABC中 ，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度數(shù).,x,x,2x,2x,2x,解：AB=AC，BD=BC=AD， ABC=C=BDC，A=ABD(等邊對(duì)等角) 設(shè)A=x,則BDC= A+ ABD=2x, 從而ABC= C= BDC=2x, 于

6、是在ABC中， 有A+ABC+C=x+2x+2x=180， 解得x=36， 在ABC中， A=36，ABC=C=72,鞏固提升,軸對(duì)稱(chēng)圖形,兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”,頂角平分線、底邊上的中線、和底邊上的高 互相重合，簡(jiǎn)稱(chēng)“三線合 一”,等腰三角形,小 結(jié),1. 如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到AB，AC的距離相等.請(qǐng)說(shuō)明理由.,解：相等，理由如下： 連接AD 在ABC中， AB=AC，D為C中點(diǎn) AD平分BAC DEAB，DFAC DE=DF,2、如圖,已知點(diǎn)D、E在BC上,AB=AC,AD=AE. 求證：BD=CE.,A,B,C,D,E,例題精析,已知

7、：BD，CE是等腰三角形ABC兩腰上的 中線，BD與CE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.,變式一： BD，CE是等腰三角形ABC兩腰上的高，BD與CE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。,變式二： BD，CE是等腰三角形ABC兩底角的平分線， BD與CE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。,你的細(xì)心和你的 耐心等于成功！,如圖：ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它們相交于點(diǎn)H，且AE=BE。 求證：AH=2BD,證明：AB=AC,AD是高,BC=2BD,又BE是高，ADC=BEC=AEH=90,在AEH和BEC中,AEHBEC(ASA),1+C=2+C=90 1=2,AH=BC,AH=2BD,摩拳擦掌,一次數(shù)學(xué)課上，老師布置了一道幾

8、何證明題，通過(guò)大家的激烈討論得到了許多種證明方法，聰明的你們，能找出幾種證明方法呢？試試看吧！,如圖，已知ABC中，AB=AC,F在AC上，在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AF,求證：EDBC,天生我才,如圖，AD是ABC的角平分線，E是AB上一點(diǎn)，AE=AC，EFBC交AC于F，則CE是否平分DEF，并說(shuō)明理由。,思考題：,歸納： 1、等腰三角形 2、平行線 3、角平分線,三者知二得一,A,B,C,D,已知:如圖，AB=BC=CD=ED=EF.,E,F,M,N,A=15，試求 FEM的度數(shù)？,文字?jǐn)⑹?幾何語(yǔ)言,等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)等邊對(duì)等角）,AB=AC B=C,等腰三角形頂角的平分線平

9、分底邊并且垂直于底邊（簡(jiǎn)稱(chēng)三線合一）,AB=AC，1=2 ADBC，BD=CD,體會(huì)*分享,已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)作 等腰三角形ABC，使底邊BC=a，BC邊 上的高為h.,作法:,1.作線段BC=a.,2.作BC的中垂線m，交BC于點(diǎn)D.,3.在直線 m上截取DA=h，連接AB，AC.,ABC就是所求的等腰三角形.,典例精解,h,a,猜想一下，等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等嗎？,（高DE=DF？）,（中線DE=DF？）,（角平線DE=DF？）,（2）有一個(gè)角是60的等腰三角形，其它兩個(gè)內(nèi)角 也為60。,診斷下列語(yǔ)句是否有“病”，并對(duì)癥下藥。,（1）等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合。,（3）等腰三角形的底角都是銳角。,（4）等腰三角形的頂角一定是銳角。,把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角.,等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？,是,思考,等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是,頂角的平分線,底邊上的中線,底邊上的高,所在的直線。,動(dòng)動(dòng)手,AB=AC，1