1、,11.3 多邊形及其內(nèi)角和,知識(shí)回顧：,什么是三角形、三角形的邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角和外角？,在平面內(nèi)，由三條不在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次連接組成的圖形叫做三角形。,記作：ABC,在平面內(nèi)，由四條不在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次連接組成的圖形叫做四邊形。,記作：四邊形ABCD,在平面內(nèi)，由五條不在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次連接組成的圖形叫做五邊形。,在平面內(nèi)，由六條不在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次連接組成的圖形叫做六邊形。,記作：六邊形ABCDEF,記作：五邊形ABCDE,多（n）邊形的定義：,在平面內(nèi)，由n條不在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段 首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。,多邊形的內(nèi)角和外角：,一個(gè)四邊形有幾個(gè)外角

2、？,多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角； 多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角叫做多邊形的外角.,多邊形的對(duì)角線(xiàn)：,連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做多邊形 的對(duì)角線(xiàn)。,如圖是四邊形ABCD，求作它的所有對(duì)角線(xiàn).,多邊形的對(duì)角線(xiàn),在圖（1）中，畫(huà)出四邊形的任何一條邊所在的直線(xiàn)，這個(gè)圖形都在這條之間的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四邊形； 而圖（2）的四邊形中，畫(huà)出一邊所在的直線(xiàn)后，圖形在直線(xiàn)的兩側(cè)，我們就稱(chēng)其為凹四邊形.,凸多邊形與凹多邊形,（通常所說(shuō)的多邊形都是指凸多邊形）,問(wèn)題 1 五邊形、六邊形分別有多少個(gè)內(nèi)角？多少個(gè)外角？,答：五邊形有5個(gè)內(nèi)角，10個(gè)（5對(duì)）外角； 六邊形有6個(gè)內(nèi)角，

3、12個(gè)（6對(duì)）外角.,問(wèn)題：n邊形有多少個(gè)內(nèi)角？多少個(gè)外角？,答：n邊形有n個(gè)內(nèi)角，2n個(gè)（n對(duì)）外角.,如果多邊形的各個(gè)角都相等，各條邊都相等，那么就稱(chēng)它為正多邊形.,如：正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形、正六邊形等.,正多邊形,議一議：,（1）一個(gè)多邊形的邊都相等，它的內(nèi)角一定都相等嗎？,（2）一個(gè)多邊形的內(nèi)角都相等，它的邊一定都相等嗎？,課時(shí)思考,11.3 多邊形及其內(nèi)角和,1.畫(huà)出下列多邊形的全部對(duì)角線(xiàn).,課時(shí)思考,11.3 多邊形及其內(nèi)角和,2.四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)將四邊形分成幾個(gè)三角形？從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)出幾條對(duì)角線(xiàn)？它們將五邊形分成幾個(gè)三角形？,答：四邊形的一條對(duì)

4、角線(xiàn)將四邊形分成2個(gè)三角形；從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(huà)出2條對(duì)角線(xiàn)？它們將五邊形分成3個(gè)三角形.,問(wèn)題2：你知道長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和是多少？ 任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是多少？,問(wèn)題1：你還記得三角形內(nèi)角和是多少度？,（三角形的內(nèi)角和等于180）,（都是360）,想一想,A,B,C,D,問(wèn)題3：在探究四邊形的內(nèi)角和時(shí)，有的同學(xué)不是用量角器度量、計(jì)算得到，而是 按照如圖所示，利用輔助線(xiàn)將四邊形分割成兩個(gè)三角形的方法，利用三角形內(nèi)角和等于180，得到四邊形內(nèi)角和等于360。你能說(shuō)明它的合理性嗎？并且啟發(fā)你能否借助輔助線(xiàn)找到不同的分割方法呢？,想一想,P,A,B,C,D,圖 1,如圖1，在四邊形內(nèi)

5、任取一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個(gè)公共頂點(diǎn)的四個(gè)三角形，四邊形內(nèi)角和等于1804 360= 360,學(xué)一學(xué),P,A,B,D,C,圖 2,如圖2，在四邊形的一邊上任取一點(diǎn)P,連接PB、PC，將四邊形變成有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三個(gè)三角形，四邊形內(nèi)角和等于180 3 180 = 360,P,A,B,C,D,圖 3,如圖3，在四邊形外任取一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個(gè)公共頂點(diǎn)的四個(gè)三角形，四邊形內(nèi)角和等于180 3 180 = 360,你知道五邊形的內(nèi)角和嗎？六邊形呢？七邊形呢？你能證明嗎？,請(qǐng)你選擇喜歡的一種方法解答上述問(wèn)題。,想一想,n2,(n2)180,1,

6、2,3,4,180,360,540,720,探究,你知道 n 邊形的內(nèi)角和嗎？,1、利用在探究上述多邊形內(nèi)角何時(shí)得到的規(guī)律，可得 n邊形的內(nèi)角和等于（n2） 180.,想一想,2、我們也可以利用下列不同的方法分割多邊形，得到 n 邊形的內(nèi)角和公式,試一試,解：如圖，在四邊形ABCD中， AC180 ABCD 180（42）360 BD 360（AC） 360180180,例1：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組 對(duì)角有什么關(guān)系？,如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ).,例2：如圖，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.求六邊形的內(nèi)角和.,解：六邊形的

7、任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角，都等于180.因此六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和等于6180. 這個(gè)總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和，所以外角和等于總和減去內(nèi)角和. 即外角和等于 6180（62）180 2180360,課時(shí)思考,天生我才,11.3 多邊形及其內(nèi)角和,3.如果將例2中的六邊形換為n邊形（n的值是不小于3的任意正整數(shù)），可以得到同樣的結(jié)果嗎？你能得出什么結(jié)論？,結(jié)論：,任何多邊形的外角和都等于360.,4、（搶答） 八邊形的內(nèi)角和等于多少度？十邊形呢？,（82) ,180= 1080,(102) ,180=,1440,5.求下列圖形中x的值：,做一做,65,60,

8、95,75,課后思考,11.3 多邊形及其內(nèi)角和,6.已知一個(gè)多邊形每個(gè)內(nèi)角都等于 108 ，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)？,解法1：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n. 180（n2）108n 解得 n5 解法2：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n. （180108）n360 解得 n5 答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為5.,課后思考,11.3 多邊形及其內(nèi)角和,7.如圖：ADAB，BCCD，則B與D是什么關(guān)系？為什么？,答：BD180 證明：ADAB，BCCD AC90 AC9090 180 BD180,8.在下面每個(gè)多邊形中，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，畫(huà)出它所有的對(duì)角線(xiàn)，觀察圖形找規(guī)律填表：,天生我才,課后思考,11.3 多邊形及其內(nèi)角和,

9、1,2,3,n3,天生我才,11.3 多邊形及其內(nèi)角和,拓廣探索,9.以五邊形為例，探索多邊形的對(duì)角線(xiàn)與邊數(shù)的關(guān)系. （1）從頂點(diǎn)A出發(fā)做對(duì)角線(xiàn)，可以作出 條.分別是 .從頂點(diǎn)B出發(fā)做對(duì)角線(xiàn)，可以作出 條.分別是 .同理：分別從C、D、E出發(fā)均可作出 條對(duì)角線(xiàn).,2,AC、AD,2,BD、BE,2,11.3 多邊形及其內(nèi)角和,拓廣探索,天生我才,9.以五邊形為例，探索多邊形的對(duì)角線(xiàn)與邊數(shù)的關(guān)系. （2）分析：五邊形有 個(gè)頂點(diǎn)，從每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都可以作出 條對(duì)角線(xiàn)，按這樣計(jì)算，五邊形的對(duì)角線(xiàn)共有 條；不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)每一條對(duì)角線(xiàn)都重復(fù)算了兩次，事實(shí)上，五邊形總共只有 條對(duì)角線(xiàn)，因此，五邊形的對(duì)角線(xiàn)應(yīng)表示為 . （只用算式表示）,5,（53）,5（53）,5,