1、第十五章 量子物理,15-2 光的量子性,15-3 玻爾的氫原子理論,15-4 粒子的波動(dòng)性,15-5 不確定關(guān)系,15-6 波函數(shù)薛定諤方程,15-7一維問題,15-8量子力學(xué)對(duì)氫原子的應(yīng)用,15-9斯特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn),15-10 電子自旋,15-11 原子的殼層結(jié)構(gòu),15-1黑體輻射普朗克量子假設(shè),15.1 黑體輻射和普朗克的能量子假說,一. 基本概念,1. 熱輻射,分子的熱運(yùn)動(dòng)使物體輻射電磁波,基本性質(zhì),溫度發(fā)射的能量電磁波的短波成分,平衡熱輻射,物體輻射的能量等于在同一時(shí)間所吸收的能量,2.輻射能量按波長(zhǎng)的分布單色輻出度M,單位時(shí)間內(nèi)從物體單位表面發(fā)出的波長(zhǎng)在附近,單位波長(zhǎng)間隔內(nèi)的電磁波

2、的能量.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,普朗克1858-1947,3. 總輻出度 M（T）,1.黑體,能完全吸收各種波長(zhǎng)電磁波而無反射的物體.,M 最大,且只與溫度有關(guān)而和材料及表面無關(guān),二.黑體和黑體輻射的基本規(guī)律,單位:Wm2,單位時(shí)間從物體表面單位面積輻射的總能量.,黑體吸收本領(lǐng)最大其發(fā)射本領(lǐng)也最大.,2. 維恩設(shè)計(jì)的黑體,空腔小孔可近似作為黑體.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,4維恩位移定律,m T = b,b = 2.89775610-3 mK, = 5.6710-8 W/m2K4,3. 斯特藩-玻耳茲曼定律,黑體的輻出度與黑體的溫度的四次方成正比.,斯特藩-玻耳茲曼常數(shù),當(dāng)黑體的溫度升高時(shí),與

3、單色輻出度M的峰值對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)m向短波方向移動(dòng).,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例1.,(1)溫度為室溫(20C)的黑體,其單色輻出度的峰值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)是多少?,(2)若使一黑體單色輻出度的峰值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)在紅色譜線范圍內(nèi),其溫度應(yīng)為多少?,(3)以上兩輻出度的比為多少?,解: (1)室溫的溫度為T=293K,由維恩位移定律得,紅外譜線,(2)取紅光譜線的波長(zhǎng)為6.5010-7m,則,(3)輻出度比:,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例2.,從太陽光譜的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)中, 測(cè)知單色輻出度的峰值所相對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)為465nm.試由此估計(jì)太陽表面的溫度和單位面積輻射的功率.,解: 把太陽背景視為黑體,太陽視為黑體中的小孔.

4、,由維恩位移定律,由此方法估算宇宙中其它發(fā)光星體的表面溫度.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,由斯特藩定律,三. 理論與實(shí)驗(yàn)的對(duì)比,1.瑞利-金斯公式,或:,k為玻耳茲曼常量,2.維恩公式(略),3.經(jīng)典物理的困難,瑞利-金斯公式只適用長(zhǎng)波區(qū),在短波與實(shí)驗(yàn)完全不符,因此稱為“紫外災(zāi)難”.,維恩公式只適用短波,下頁,上頁,結(jié)束,返回,2. 普朗克假定（1900）,h = 6.626075510 -34 Js,3. 普朗克黑體輻射公式, = nh,在全波段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果驚人符合,輻射是物體中帶電體的振動(dòng)-振子,經(jīng)典理論：振子的能量取“連續(xù)值”,振子的能量為: = h , 物體發(fā)射或吸收電磁輻射:,1“振子”的

5、概念,經(jīng)典,能量,量子,四. 普朗克假設(shè)和普朗克黑體輻射公式,n=1,2,3,或:,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例3.質(zhì)量為1.0Kg,彈性系數(shù)k=20N/m的彈簧振子系統(tǒng), 振幅A=1.0nm, 求:,(1)系統(tǒng)振動(dòng)的量子數(shù);,(2)當(dāng)量子數(shù)由n增加到n+1時(shí),系統(tǒng)能量的變化?,解:(1)系統(tǒng)的振動(dòng)能量為,由E = nh 得:,(2) n改變1個(gè)單位，能量變化為,變化很小,難以覺察.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,振動(dòng)頻率,一. 光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律,1光電效應(yīng),2.光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)裝置,15.2 光電效應(yīng),在光照射下,電子從金屬表面逸出的現(xiàn)象叫光電效應(yīng),逸出的電子叫光電子.,A為陽極, K為陰極.,光照

6、射在K上,電子從K逸出,在電壓UAK作用下,形成光電流,G測(cè)其電流, V測(cè)電壓,下頁,上頁,結(jié)束,返回,Ua= K - U0,遏止電勢(shì)差(eUa = Ekmax)與入射光頻率成線性關(guān)系，與入射光強(qiáng)無關(guān).,3. 實(shí)驗(yàn)規(guī)律,(1)只有當(dāng)入射光頻率 v大于一定的頻率v0時(shí),才會(huì)產(chǎn)生光電流. 0叫截止頻率(也稱紅限).,(2)遏止電勢(shì)差Ua,使光電流為零時(shí)的反向電壓.,(3)瞬時(shí)性,只要頻率大于截止頻率,光電效應(yīng)產(chǎn)生的時(shí)間不超過10-9s.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,(4) 飽和光電流強(qiáng)度與入射光強(qiáng)度的關(guān)系,-Ua,在相同的條件下,飽和光電流強(qiáng)度iS與入射光強(qiáng)成正比.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,二.經(jīng)典物

7、理學(xué)所遇到的困難,光波的能量分布在波面上,陰極電子積累能量克服逸出功需要一段時(shí)間,光電效應(yīng)就不可能曖時(shí)發(fā)生!,1.普朗克假定是不協(xié)調(diào)的,三.愛因斯坦的光量子論,經(jīng)典電磁理論認(rèn)為:光波的強(qiáng)度與頻率無關(guān),電子吸收的能量也與頻率無關(guān),更不存在截止頻率！,只涉及光的發(fā)射或吸收,未涉及輻射的傳播.,2.愛因斯坦光量子假設(shè)(1905),電磁輻射由以光速c運(yùn)動(dòng)的局限于空間某一小范圍的光量子（光子）組成, = h,光量子具有“整體性” 粒子性.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,當(dāng) A/h時(shí).不發(fā)生光電效應(yīng),紅限頻率,3. 對(duì)光電效應(yīng)的解釋,光電效應(yīng)方程,入射光子能量,光電子初動(dòng)能,金屬逸出功,入射光強(qiáng)增大光子數(shù)增多光

8、電子增多光電流大,電子初動(dòng)能正比于頻率.,比較得:,h = eK, A = eU0,電子一次吸收一個(gè)光子,不需時(shí)間累積瞬時(shí)性.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,四.光子,光子及光量子,能量: = h,質(zhì)量:,光子總是以光速c 運(yùn)動(dòng),因此光子是相對(duì)論粒子.,m0=0, 光子無靜質(zhì)量.,動(dòng)量:,由相對(duì)論關(guān)系:,E0=m0c2=0,得 E = pc,也可寫為,光的波粒二象性:,光在傳播過程中,波動(dòng)性(, )表現(xiàn)比較顯著;當(dāng)光與物質(zhì)相互作用時(shí),粒子性(E, p)表現(xiàn)比較顯著.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例1已知單色光源的功率P1W，光波長(zhǎng)589nm.在離光源R=3m處放一金屬板，求單位時(shí)間打到金屬板單位面積上的

9、光子數(shù)。,解：?jiǎn)挝粫r(shí)間打到金屬板單位面積的光能量為,每個(gè)光子的能量,打在金屬板上總光子數(shù)為,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例2.鉀的光電效應(yīng)紅限波長(zhǎng)為550nm，求,(1)鉀電子的逸出功;,(2)當(dāng)用波長(zhǎng)為300nm的紫外光照射時(shí)，鉀的遏止電壓Ua,解 由光電效應(yīng)方程,(1) 當(dāng) 時(shí),(2),所以遏止電壓為1.88V,下頁,上頁,結(jié)束,返回,15.2.2 康普頓效應(yīng),康普頓研究X射線在石墨上的散射,一. 實(shí)驗(yàn)規(guī)律,散射光中有0的譜線;,原子量小的物質(zhì), 康普頓效應(yīng)強(qiáng);,在同一散射角下, 與散射物無關(guān);,下頁,上頁,結(jié)束,返回,康普頓,吳有訓(xùn),X射線光子與“靜止”的“自由電子”彈性碰撞,二 . 康普頓

10、效的解釋,光子把部分能量傳給電子h0 h 0,光子與束縛電子發(fā)生碰撞,相當(dāng)于與整個(gè)原子碰撞,光子能量不變. 0不變.,輕原子中的電子一般束縛較弱,康普頓效應(yīng)明顯.,理論推導(dǎo):,動(dòng)量守恒:,下頁,上頁,結(jié)束,返回,電子的Compton波長(zhǎng),理論推導(dǎo),變形后有:,由能量守恒:,或者:,把(2)2減去(1)式,有,下頁,上頁,結(jié)束,返回,大小關(guān)系:,理論推導(dǎo)續(xù),最后:,結(jié)果討論:,(1) 與散射物質(zhì)無關(guān).,(2) ,; =0, =0 , =0 為原波長(zhǎng).,(3) =90時(shí),=0.024,Compton波長(zhǎng),下頁,上頁,結(jié)束,返回,因?yàn)?所以:,例P241,設(shè)有波長(zhǎng)=1.010-11m的X射線與靜止的

11、自由電子碰撞.散射X射線的散射角=90. 問:,(1) 散射波長(zhǎng)的改變量為多少?,(2) 反沖電子的動(dòng)能和動(dòng)量為多少?,解: (1) 已知,=90時(shí),(2)由公式:,電子反沖動(dòng)能為,利用:,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例續(xù),即:,代入已知數(shù)據(jù),得,= 3.891015J,= 2.4104 eV,由動(dòng)量守恒,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例續(xù),由圖,解得,=8.510-23kgm/s,15-3 玻爾的氫原子理論,一. 氫原子光譜的規(guī)律性,1885年,瑞士數(shù)學(xué)家巴耳末發(fā)現(xiàn)氫原子的可見光譜線,可歸納為如下公式,上式叫巴耳末公式. 這個(gè)譜線稱為巴耳末系.,后來里德伯把它改為:,=1/為波數(shù), R為里德伯常量.,

12、R = 1.097 373 153 4107m1,n時(shí),H=364.56nm為巴耳末系的極限波長(zhǎng).,氫的巴耳末譜線,下頁,上頁,結(jié)束,返回,氫原子光譜,氫原子光譜除了可見光外,還有紅外和紫外譜線.,紫外線部分:,萊曼系(1916年),紅外線部分:,帕邢系(1908年),布拉開系(1922年),普豐德系(1924年),可統(tǒng)一寫為:,給定nj (=1,2,3, ),ni取:nj+1,nj+2, ,氫光譜的分立譜線,揭示了原子內(nèi)部的某種結(jié)構(gòu).,下頁,上頁,結(jié)束,返回,二. 盧瑟福的原子有核模型,1897年J.J湯姆孫發(fā)現(xiàn)電子,開始了原子結(jié)構(gòu)的研究,1. 湯姆孫原子結(jié)構(gòu)模型,他假定,原子中的正電荷和原

13、子,質(zhì)量均勻地分布在半徑為1010m,的球體范圍內(nèi),而原子中的電子則浸于此球體中葡萄干蛋糕模型.,2. 粒子散射實(shí)驗(yàn),粒子入射在金箔F上,被散射后打在熒光屏P上,顯微鏡T觀測(cè)粒子數(shù).,下頁,上頁,結(jié)束,返回,3.盧瑟福的原子有核模型(1911年 ),實(shí)驗(yàn)結(jié)果:,絕大多數(shù)粒子穿透金箔后沿原方向運(yùn)動(dòng),但有八千分之一的粒子散射角大于90.更有接近180的.,湯姆孫模型不能偏轉(zhuǎn)角解釋90的情況.,原子的中心有一帶正電的原子核,它幾乎集中了原子的全部質(zhì)量,電子圍繞這個(gè)核旋轉(zhuǎn),核的尺寸與整個(gè)原子相比是很小的.,原子有核模型能解釋大角度散射.,原子核,電子,離核較遠(yuǎn)的粒子,不改變方向離核越近,偏轉(zhuǎn)角越大.

14、有的甚至偏轉(zhuǎn)180,下頁,上頁,結(jié)束,返回,4. 經(jīng)典理論的困難,原子有核模型又稱原子行星模型.,最簡(jiǎn)單的氫原子模型如圖:,原子核外有一個(gè)電子,電量-e,核的電荷+e,質(zhì)量為電子的1837倍.電子以速度v繞核作半徑為r的圓運(yùn)動(dòng).原子的線度為10-10m,核的線度為10-14m.,按經(jīng)典理論氫原子結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定.電子作圓運(yùn)動(dòng)為加速運(yùn)動(dòng), 要不斷地向外輻射能量,能量減少,繞核旋轉(zhuǎn)頻率減小,光譜應(yīng)為連續(xù);且原子的運(yùn)動(dòng)半徑減小,最后電子落在原子上.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,三. 玻爾的氫原子理論,1. 玻爾的三條假設(shè):,(1)電子在原子中,可以在一些特定的圓軌道上運(yùn)動(dòng)而不輻射電磁波,這時(shí)原子處于穩(wěn)定狀態(tài),

15、并具有一定的能量.,(2)電子以速度在半徑為 r 的圓周上繞核運(yùn)動(dòng)時(shí),只有電子的角動(dòng)量L等于h/2的整數(shù)倍的那些軌道才是穩(wěn)定的,即,n=1,2,3, ,h為普朗克常量.,(3)當(dāng)原子從高能量的定態(tài)躍遷到低能量的定態(tài),亦即電子從高能量Ei的軌道躍遷到低能量Ef 的軌道上時(shí), 要發(fā)射頻率為的光子,且,h = EiEf,下頁,上頁,結(jié)束,返回,2. 玻爾軌道半徑,玻爾利用上述假設(shè),結(jié)合經(jīng)典力學(xué)和電學(xué),解決了氫原子問題.,由庫侖定律和牛頓定律:,由假設(shè)2:,把(2)代入(1)有:,為第一玻爾軌道半徑,電子軌道半徑的可能值為: r1, 4r1, 9r1, 16r1, ,下頁,上頁,結(jié)束,返回,3. 氫原

16、子的定態(tài)能量,電子繞核運(yùn)動(dòng)速率可變?yōu)?,叫精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù).,氫原子的能量:,由(1)式:,其中:,E1稱為氫原子基態(tài).也是氫的電離能.,E2, E3, 激發(fā)態(tài).,令,下頁,上頁,結(jié)束,返回,4. 玻爾理論對(duì)氫光譜的解釋,電子從高能級(jí)Ei躍遷到低能級(jí)Ef時(shí),而,正好等于R，理論與實(shí)驗(yàn)相符.,能級(jí)圖,軌道圖,躍遷圖,下頁,上頁,結(jié)束,返回,四. 氫原子玻爾的困難,玻爾理論圓滿地解釋了氫原子光譜的規(guī)律;從理論上算出了里德伯常量;加以修正后能對(duì)類氫離子光譜給予說明.,但玻爾理論有局限性:,1.玻爾理論只能說明氫和類氫原子光譜;,2.對(duì)譜線寬度,發(fā)光強(qiáng)度沒有解釋;,3.對(duì)原子在強(qiáng)磁場(chǎng)中的行為,玻爾也沒有解

17、釋;,4.本質(zhì)上說, 玻爾理論在邏輯上不自洽.,玻爾理論是: 經(jīng)典 + 量子 =半量子 (舊量子),經(jīng)典:牛頓定律; 量子:量子化假設(shè);(人為的),玻爾理論對(duì)量子論的發(fā)展還是起了先導(dǎo)作用.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,五 弗蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn),1913年玻爾理論說明原子有定態(tài)能級(jí).1914年弗蘭克和赫茲用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了原子中存在分立能級(jí).,1.實(shí)驗(yàn)原理,燈絲F,發(fā)射熱電子,G為柵極,加速電壓U0,G,P間有反向電壓Ur,只有具有一定動(dòng)能的電子才能到達(dá)P,形成電流Ip,2. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果,玻璃管內(nèi)充汞蒸氣,下頁,上頁,結(jié)束,返回,3. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析,(1)熱電子在U0下加速運(yùn)動(dòng),并與汞原子碰撞. U04.9 V

18、時(shí),為彈性碰撞,電子無動(dòng)能損失,故電子能到達(dá)P,形成Ip ;且當(dāng)U0增加,Ip線性增加.,(2)當(dāng)U0 4.9V時(shí),有的電子與汞原子作非彈性碰撞,動(dòng)能損失,這些電子不能到達(dá)P, Ip急劇下降.,(3)當(dāng)U09.8V,電子與汞原子發(fā)生兩次非彈性碰撞, Ip又一次下降. 說明汞原子有4.9eV的能級(jí)差.,(4)能觀察到汞原子從激發(fā)態(tài)回到基態(tài)發(fā)射的光子.,h = En+1 - En= 4.9eV,或,=254nm,理論與實(shí)驗(yàn)完全相符.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,15-4 粒子的波動(dòng)性,一. 德布羅意波,光具有二象性: 波性(,), 粒子性(E, p),兩者的關(guān)系為:,實(shí)物粒子呢?,德布羅意假設(shè)(192

19、4年):,一個(gè)質(zhì)量為m的實(shí)物粒子具有波動(dòng)性.其波稱為物質(zhì)波.物質(zhì)波的波長(zhǎng)和頻率與粒子的能量和動(dòng)量滿足如下關(guān)系:,下頁,上頁,結(jié)束,返回,對(duì)自由運(yùn)動(dòng)粒子:,例1.電子經(jīng)電勢(shì)差為U的電場(chǎng)加速, 求此電子的德布羅意波長(zhǎng),當(dāng)v c時(shí),消去v得,所以,且 Ek= eU,聯(lián)立解得,考慮相對(duì)論關(guān)系,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例2計(jì)算質(zhì)量m=0.01kg,速率v=300m/s子彈的德布羅意波長(zhǎng),解：由公式,關(guān)于 物質(zhì)波的傳播速度,由波的頻率、波長(zhǎng)和波速的關(guān)系知： = u,對(duì)物質(zhì)波：,顯然，這里 u c, 且 uv. u 是什么呢?,波長(zhǎng)很小，所以主要表現(xiàn)為粒子性。,u是相速。粒子運(yùn)動(dòng)的速度是群速。可證明:物質(zhì)波

20、包的群速度恰好等于粒子的運(yùn)動(dòng)速度,它不會(huì)超過光速.,例3. 試由德布羅意波導(dǎo)出玻爾理論中角動(dòng)量量子化條件.,解: 一根兩端固定而定長(zhǎng)的弦上形成穩(wěn)定駐波的條件為:l = n/2,若此弦線首尾相連構(gòu)成一個(gè)圓, 則:,l = 2 r = n,從波粒二象性看, 原子中核外電子繞核運(yùn)動(dòng)有相應(yīng)的波動(dòng)圖象.,l =4,當(dāng)電子在圓周上形成駐波時(shí),滿足： 2r = n , n=1,2,3, ,所以：,角動(dòng)量量子化,下頁,上頁,結(jié)束,返回,二. 德布羅意波的實(shí)驗(yàn)證明,物質(zhì)波的波的特性, 應(yīng)由實(shí)驗(yàn)來證明.,1. 戴維孫-革末電子衍射實(shí)驗(yàn),電子束,散射線,電子槍,電子被鎳晶體散射,電子槍K D 之間有加速電壓U電子束

21、透過D打在鎳晶M上,它在晶面被散射進(jìn)入探測(cè)器B. G檢測(cè)電子束(電流)的強(qiáng)度.,實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):,加速電壓U=54V,散射角=50時(shí),探測(cè)器B中的電流有極值.,實(shí)驗(yàn)原理:,下頁,上頁,結(jié)束,返回,理論解釋,晶體晶面為點(diǎn)陣結(jié)構(gòu),物質(zhì)波散射和X射線的衍射完全類似,它也滿足布拉格公式.,兩反射的電子束,其相干加強(qiáng)條件,由三角公式得: d sin = k,正是X射線的布拉格公式.,由德布羅意公式 = h/mv,得,即:,d =0.215nm, U=54V,得 =51,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,2. G.P.湯姆孫電子衍射實(shí)驗(yàn),1927年湯姆孫觀察了電子束透過多晶薄片的衍射現(xiàn)象.,1961年,

22、C.約恩孫讓電子束通過單縫、多縫的衍射圖樣.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例4. 試計(jì)算溫度為25時(shí)慢中子的德布羅意波長(zhǎng).,解: 慢中子指處于熱平衡下的中子,按能均分定理, 慢中子的平均平動(dòng)動(dòng)能為:,代入數(shù)據(jù):,中子的質(zhì)量為 m =1.6710-27kg ,中子的動(dòng)量,= 4.5410-24kgms-1,德布羅意波長(zhǎng),與X射線同量級(jí), 因此穿過晶片可產(chǎn)生衍射圖樣.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,三. 德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋,具有頻率和波長(zhǎng),不是經(jīng)典的波 不代表實(shí)在的物理量的波動(dòng),1. 微觀粒子的粒子性,作為粒子具有“整體性”，即不可分性.,不是經(jīng)典粒子, 沒有“軌道”概念.,2. 微觀粒子的波動(dòng)性,具有“

23、彌散性”“可疊加性”“干涉”“衍射”“偏振”,3. 德布羅意的統(tǒng)計(jì)解釋,因此玻恩認(rèn)為: 在某處德布羅意波的強(qiáng)度是與粒子在該處鄰近出現(xiàn)的概率成正比.,在電子衍射實(shí)驗(yàn)中,電子總是作為整體出現(xiàn)的,它出現(xiàn)的概率與空間波的強(qiáng)度成正比.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,4. 電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)分析,(1)只開一縫,屏上電子累積成單縫衍射圖樣-波性,(2) 屏上接收器,每次只能接收一個(gè)完整的電子粒子性.,(3) 打開雙縫,屏上呈雙縫干涉圖樣電子的波性.,(4) 是否電子與電子之間發(fā)生干涉?,讓電子發(fā)射槍每次只發(fā)射一個(gè)電子,也出現(xiàn)干涉圖樣.,結(jié)論: 一個(gè)電子也能干涉, 說明電子本身是波.,(5) 一個(gè)電子如何通過雙縫?

24、,要知道如何通過必須觀察, 則必然使干涉圖樣消失.,對(duì)微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的有效測(cè)量,必將在可觀測(cè)的意義上使粒子原來的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生不可逆的改變.,電子的傳播行為更像波, 與物質(zhì)相互作用更像粒子,微觀粒子不是經(jīng)典意義上的粒子, 也不是經(jīng)典意義上的波.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,15.5 不確定關(guān)系,一. 力學(xué)量的不確定度,微觀粒子在某位置總是以概率的方式出現(xiàn).,粒子具有位置的不確定性.一維不確定度為x,實(shí)際的粒子不是嚴(yán)格的平面單色波(確定的動(dòng)量),即波長(zhǎng)有一定范圍, 則動(dòng)量P也有一定的范圍p.,當(dāng)然在某些特定情況下, 有些力學(xué)量有確定的值.,二. 不確定關(guān)系,1927年,海森伯不確定關(guān)系.,一維:,三維:

25、,不確定關(guān)系表明: 對(duì)于微觀粒子,不能同時(shí)用確定的位置和確定的動(dòng)量來描述.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,三.對(duì)不確定關(guān)系的認(rèn)識(shí),1.不確定關(guān)系是微觀粒子波粒子二象性及其統(tǒng)計(jì)關(guān)系的必然結(jié)果.并非儀器對(duì)粒子的干擾,也不是儀器精度的緣故,而是粒子的固有屬性.,2.對(duì)不確定關(guān)系的兩種理解,一種認(rèn)為:對(duì)單個(gè)粒子進(jìn)行測(cè)量時(shí),不可能同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)量其位置和動(dòng)量.因此也稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系.,另一種認(rèn)為:測(cè)不關(guān)系并非對(duì)單個(gè)粒子測(cè)量的結(jié)果,而是大量粒子遵守的統(tǒng)計(jì)規(guī)律. 不存在對(duì)單個(gè)粒子“測(cè)量坐標(biāo)愈準(zhǔn)確,則同時(shí)測(cè)量動(dòng)量愈不準(zhǔn)確”的說法.,量子測(cè)量是量子力學(xué)中最基礎(chǔ),最前沿的問題.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,四. 微觀粒子和經(jīng)典粒

26、子的比較,1.微觀粒子的運(yùn)動(dòng)原則上無“軌道”可言;,2.微觀粒子是不可能靜止的;,3.如果粒子的尺寸和動(dòng)量遠(yuǎn)大于各自的不確定量,R x, p p,粒子的位置和動(dòng)量近似認(rèn)為確定.看成經(jīng)典粒子.,若已知粒子運(yùn)動(dòng)范圍為L(zhǎng), 而,也可用L代替 R x 作為判斷依據(jù).,五.能量與時(shí)間的不確定關(guān)系,E為原子能級(jí)自然寬度, t為該能級(jí)的平均壽命.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例1.,試比較電子和質(zhì)量為10g的子彈位置的不確定量范圍. (設(shè)它們的速率為200m/s,動(dòng)量的不確定范圍為0.01%),解: 由 x p = h,對(duì)電子,p = (0.01%)p =(0.01%)mv,=110-49.110-31200=

27、1.810-32kgms-1,對(duì)子彈,p =110-40.01200=2.010-4kgms-1,子彈的大小R =10-2m,Rx 子彈可作經(jīng)典粒子.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例題2.電子在電視顯象管中時(shí)如何處理?,設(shè)電子速率v=105m/s, 其不確定范圍v=10m/s,解 已知 p = mv mv = p,而,電子運(yùn)動(dòng)范圍(顯象管尺寸) L0.1m,可見 p p , L x,或 p p , L ,電子可作經(jīng)典粒子處理.,若電子在原子中呢?,電子的運(yùn)動(dòng)范圍(原子的大小)L10-10m,不滿足L x ,此時(shí)電子只能作微觀粒子處理.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,例3 若原子中電子在某激發(fā)態(tài)的平均壽命

28、為108s,該激發(fā)態(tài)的能級(jí)寬度為多少？,解：由能量時(shí)間關(guān)系,例4.氦氖激光器發(fā)出的波長(zhǎng)632.9nm,譜線寬度=10-9nm,求這種光子沿x方向傳播時(shí)，x坐標(biāo)的不確定量。,解：由,兩邊微分,由不確定關(guān)系,15.6 波函數(shù)Schrodinger 方程,一. 波函數(shù),物質(zhì)波既然是波, 就要有波函數(shù).,德布羅意假設(shè):自由粒子為平面單色波,且為復(fù)數(shù).,已知平面機(jī)械波:,改為復(fù)數(shù)形式:,波函數(shù) (x,t),或表示為,0為復(fù)振幅.,三維:,下頁,上頁,結(jié)束,返回,波函數(shù)的物理意義,波函數(shù)本身無物理解釋. 但| |2= *有意義.,| |2為粒子出現(xiàn)在某點(diǎn)附近單位體積元中的概率密度.,波函數(shù)滿足：?jiǎn)沃?、有?/p>

29、和連續(xù),故:在空間某處波函數(shù)的二次方跟粒子在該處出現(xiàn)的概率成正比. 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.,歸一化條件:,在整個(gè)空間內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率為1.,波的振幅的平方正比于波的強(qiáng)度,而波的強(qiáng)度與粒子出現(xiàn)的概率成正比.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,二 .薛定諤方程,波函數(shù)應(yīng)有運(yùn)動(dòng)微分方程.,以自由粒子(非相對(duì)論)為例, 建立該方程,已知,上式對(duì)x取二階導(dǎo)數(shù), 對(duì)t 取一階導(dǎo)數(shù).,利用動(dòng)量與動(dòng)能的關(guān)系 E=p2/2m, 及上兩式得,自由粒子含時(shí)薛定諤方程,若非自由粒子, 則E = Ek+V 而 Ek= p2/2m,所以,含時(shí)薛定諤方程,下頁,上頁,結(jié)束,返回,定態(tài)薛定諤方程,若粒子的勢(shì)能 V僅是坐標(biāo)的函數(shù),與時(shí)間無關(guān)

30、.,則波函數(shù)可寫為 (x, t) = (x) f(t),通過分離變量法可求得:,下頁,上頁,結(jié)束,返回,即,兩邊同除f(t)(x),左邊有,分離變量,定態(tài)Schrodinger方程,變形后有,或,定態(tài)薛定諤方程,此時(shí)系統(tǒng)的能量E為常量.概率密度也不隨時(shí)間變.,三維:引入拉普拉斯算符2,右邊,下頁,上頁,結(jié)束,返回,定態(tài)Schrodinger方程,對(duì)自由粒子V=0,其解為,這正是平面單色波的復(fù)數(shù)形式。,15.7.1 一維勢(shì)阱問題,設(shè)質(zhì)量為m 的粒子在如下勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng):,V =,0 0 x a, 其它區(qū)域,由薛定諤方程:,(0 x a),阱內(nèi):,阱外:,(x) = 0,令,上式化為,為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程,

31、通解為:,(x) = Asinkx + Bcoskx,下頁,上頁,結(jié)束,返回,由邊界條件,x=0, (0)=0,B = 0.,故解化為： (x) = Asinkx,又由: x =a, (a) = 0,即： (a) = Asinka = 0,而A不能為零，只有 sinka = 0,(0) = Asink0 + Bcosk0 =0,能量量子化:,即:,自然結(jié)果.,得：,求系數(shù)A，,由歸一化條件：,所以,下頁,上頁,結(jié)束,返回,波函數(shù)即為,概率密度為,當(dāng)n很大時(shí),峰值很多,各處發(fā)現(xiàn)粒子的概率相同.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,對(duì)應(yīng)原理,在某些極限下,量子規(guī)律可轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律對(duì)應(yīng)原理.,考慮相鄰兩能級(jí)差：

32、,E = En+1En,可見 E n ,隨能級(jí)增加，能級(jí)差增大,當(dāng)a,E, 能量量子化顯著.,當(dāng) n 1時(shí),當(dāng)n時(shí), E En ,可認(rèn)為能量連續(xù)經(jīng)典.,所以, 經(jīng)典物理可以看成是量子物理在量子數(shù)n時(shí)的極限情況.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,15.8.2 一維方勢(shì)壘 隧道效應(yīng),其勢(shì)能分布為:,V(x) =,0 , x a,V0 , 0 xa,開始時(shí),若粒子處于x0區(qū)域,且其能量E 0區(qū)域.,但從量子力學(xué), 在 x 0區(qū)域,波函數(shù)不為零,即粒子能穿過勢(shì)壘.,遂道效應(yīng),下頁,上頁,結(jié)束,返回,隧道效應(yīng),粒子穿透勢(shì)壘的幾率,該幾率對(duì)勢(shì)壘寬度a和高度V0十分敏感, a和V0越大,穿透幾率越小,1982年G.

33、Binnig根據(jù)該現(xiàn)象制成的掃描隧道顯微鏡(STM)可以觀察到物質(zhì)表面的原子,并對(duì)單個(gè)原子進(jìn)行操作.,STM工作原理：將極細(xì)小的針尖(只有單個(gè)原子)和被研究材料表面作為兩個(gè)電極,當(dāng)兩者距離1nm左右時(shí),在電場(chǎng)作用下,隧道效應(yīng)電子穿越兩極產(chǎn)生隧道電流。,下頁,上頁,結(jié)束,返回,掃描隧道顯微鏡(STM)示意圖,樣品表面,隧道電流,掃描探針,計(jì)算機(jī),放大器,樣品,探針,運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng),顯示器,下頁,上頁,結(jié)束,返回,48個(gè)Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.,下頁,上頁,結(jié)束,返回,15.8 量子力學(xué)對(duì)氫原子的應(yīng)用,1. 處理方法,(1) 假定原子核是靜止的,氫原子的狀態(tài)由核外電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來決定;,(2) 用波函數(shù)描述處于原子勢(shì)場(chǎng)中的電子;,(3) 寫出薛定諤方程,在球坐標(biāo)系中求解;,(4) 得出結(jié)果(波函數(shù),能量,角動(dòng)量,概率密度),2. Schrodinger方程及其解,由三維Schrodinger 方程,下頁,上頁,結(jié)束,返回,量子力學(xué)對(duì)氫原子的處理,系統(tǒng)的勢(shì)能為,代入Sch方程,在球坐標(biāo)(r, , )中拉普拉斯算符為,由于勢(shì)能只是r的函數(shù)與 (, )無關(guān).可分離變量,設(shè) (r,) = R(r)()(),